失衡天平

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/24213/1021

题目描述

终于Alice走出了大魔王的陷阱，可是现在傻傻的她忘了带武器了，这可如何是好???这个时候，一个神秘老人走到她面前答应无偿给她武器，但老人有个条件，需要将所选武器分别放在天平的两端，若天平平衡则可以将天平上的所有武器拿走，还好这个天平锈迹斑斑，只要两端重量相差小于等于m就会保持平衡，Alice傻傻的认为越重的武器越好，求Alice最多能拿走的武器总重量。（不限操作次数）

输入描述

第一行2个整数 n, m;
第二行n个整数x，分别表示n件武器的重量。
1 <= n <= 100; 0 <= m <= 100; 1 <= x <= 100;

输出描述

一个整数，表示Alice最多能拿走的武器总重量。

样例

#1

5 4
1 5 61 65 100

132

可以称两次，第1次：(1 ; 5),第二次(61 ; 65)。

#2

5 0
10 20 30 40 100

200

称一次，(10,20,30,40 ; 100)。

提示

解析

为了便于操作，造数据如下：

4 2
1 2 4 5

12

DP 信息：

• 原问题：将一堆物品分成两堆，他们的天平差不能超过 m，求最大重量
• 子问题：求前 i 个物品，满足天平差 j 下的最大值
• DP 定义：$dp[i][j]$ 将前 i 个物品进行天平的摆放，天平差为 j 时的最大重量
• DP 方程：有三种情况
  • 不放：$dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j])$
  • 放右边：$dp[i][j+W[i]]=max(dp[i][j+W[i]],dp[i-1][j]+W[i])$
  • 放左边：$dp[i][j-W[i]]=max(dp[i][j-W[i]],dp[i-1][j]+W[i])$

解释DP的第二维，天平差为 j 是的最大重量：

dp[2][1] = 3 // 放入前2个物品，天平差为1时，最大值为3
那么如何体现这句话呢？
先将前2个物品进行天平摆放：
	(1)+(2) // 天平差为1，最大值为3

dp[2][2] = 2 // 放入前2个物品，天平差为2时，最大值为2
	(0)+(2) // 天平差为2，最大值为2

dp[3][1] = 7 // 放入前3个物品，天平差为1时，最大值为7
	(1+2)+(4)=7 // 天平差为1，最大值为7

dp[3][2] = dp[2][2] + 4 = 6
	dp[3][2] = max(dp[3][2], dp[2][2]);
	dp[3][2+4] = max(dp[3][2+4], dp[2][2+4] + W[3]);
	dp[3][abs(2-4)] = max(dp[3][2], dp[2][2] + W[3]); // 2+4
	// 前面dp[2][2]已经把前2个物品在天平差为2时的最大值计算好了
	// 我们现在只是新加一个物品，因此在此基础上加上当前的物品重量即可。

以 $dp[3][1]=7$ 为例，解释如何来的：

i = 3, j = 3, W[3] = 4
不放：dp[3][3] = max(dp[3][3], dp[2][3]);
放右边：dp[3][7] = max(dp[3][7], dp[2][7] + W[3]);
放左边：dp[3][1] = max(dp[3][1], dp[2][1] + W[3]); // 3(原本是3), 3+4

AC Code

import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt(), m = sc.nextInt();
        int[] W = new int[10005];
        int[][] dp = new int[105][10005];
        int sum = 0;
        
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            W[i] = sc.nextInt();
            sum += W[i];
        }
        
        for(int i = 0; i <= n; i++) Arrays.fill(dp[i], -0x8f);
        
        dp[0][0] = 0;
        
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = 0; j <= sum; j++) {
                dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i-1][j]);
                if(j + W[i] <= sum) dp[i][j+W[i]] = Math.max(dp[i][j+W[i]], dp[i-1][j] + W[i]);
                dp[i][Math.abs(j-W[i])] = Math.max(dp[i][Math.abs(j-W[i])], dp[i-1][j] + W[i]);
            }
        }
        
        int ans = 0;
        
        for(int i = 0; i <= m; i++) {
            ans = Math.max(ans, dp[n][i]);
        }
        
        System.out.println(ans);
    }
}