图像平滑（Image Smoothing）：是一种数字图像处理技术，用于减少图像中的噪声和不规则性，使图像更加平滑和连续。在图像中，噪声通常表现为不规则的、突出的像素值，这可能会导致图像细节丢失，使其难以进行分析和处理。图像平滑技术可以通过对像素值进行滤波来平滑图像，去除这些噪声

图像平滑主要分为如下两类

• 空域法： 主要借助模板运算，在像素点邻域内，利用噪声像素点特性进行滤波
• 频域法： 指对图像进行正交变换，利用噪声对应高频信息的特点进行滤波

一：图像中的噪声

图像中的噪声：是指在图像中出现的不希望出现的、随机的像素值变化，这些变化可能是由于图像采集设备、传输通道或者图像处理过程中引入的。噪声会使图像中出现不规则的亮度、色彩等异常情况，从而导致图像质量下降，给后续的分析和处理带来困难。也可以理解为真实信号与理想信号之间存在的偏差。噪声通常以二维函数$n(x,y)$来表示

（1）图像噪声分类

图像噪声分类：

• 高斯噪声： 高斯噪声是最常见的一种图像噪声，其像素值变化符合正态分布。在图像中，高斯噪声通常表现为细小的均匀噪声
• 椒盐噪声： 椒盐噪声是一种随机的噪声，其表现为图像中出现黑白像素点，通常是由于图像传输或采集设备的问题引起的
• 周期噪声： 周期噪声是指在图像中出现周期性的波纹、条纹等形式的噪声，这通常是由于摄像机、扫描仪等采集设备的问题引起的
• 色彩噪声： 色彩噪声是指在图像中出现的颜色偏差，这通常是由于相机传感器的颜色误差、照明条件不足等原因引起的

另外，图像噪声可以根据信号和噪声的关系分为

• 加性噪声： 加性噪声与图像信号不相关，也即$g(x,y)=f(x,y)+n(x,y)$
• 乘性噪声： 乘性噪声与图像信号相关，也即$g(x,y)=f(x,y)+f(x,y)n(x,y)$

在信号变化很小时，往往将乘性噪声近似认为加性噪声，而且总是假定信号和噪声互相独立

（2）图像噪声的数学模型

高斯噪声：定义为高斯噪声信号$x$的概率密度函数

• $\mu$：噪声$x$的均值或期望值
• $\sigma$：噪声$x$的标准差

$$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-(x-\mu {)}^2/2{\sigma }^2}$$
当$x$服从高斯分布时，其值有70%落在$[(\mu -\sigma ),(\mu +\sigma )]$范围内，且有95%落在$[(\mu -2\sigma ),(\mu +2\sigma )]$

椒盐噪声：定义椒盐噪声信号$x$有效模型

$$p(x)=\{\begin{array}{cc}{P}_a& x=a\\ P_b& x=b\\ 0& \text{ otherwise }\end{array}$$

如下图

• 当$P_a=0,P_b\ne 0$时，表现为“盐”噪声
• 当$P_a\ne 0,P_b=0$时，表现为“胡椒”噪声

可以看出，高斯噪声和椒盐噪声不同分布特性

• 椒盐噪声：噪声幅值基本相同，出现位置随机
• 高斯噪声：噪声出现位置是分布在每一像素 点上，幅度值是随机的，分布近似符合高斯 正态特性

（3）程序

imnoise函数：用于在图像中添加噪声的函数，可以模拟在图像采集、传输、处理等过程中引入的不同类型的噪声。imnoise函数的常见语法格式如下

J = imnoise(I, type)
J = imnoise(I, type, parameters)

其中，I是输入图像，type是噪声类型，可以是字符串形式的字符向量或枚举型变量，parameters是可选的参数，用于控制噪声的强度、分布等。imnoise函数支持以下类型的噪声

• gaussian：高斯噪声，可选参数包括mean（均值）和var（方差）
• salt & pepper：椒盐噪声，可选参数包括density（密度）
• poisson：泊松噪声，无可选参数
• speckle：乘性噪声，可选参数包括mean（均值）和var（方差）
• localvar：局部方差噪声，可选参数包括二维数组w（窗口大小）和二维数组var（局部方差）
• lognormal：对数正态分布噪声，可选参数包括mean（均值）和var（方差）
• rayleigh：瑞利分布噪声，可选参数为scale（尺度）
• erlang：伽马分布噪声，可选参数包括shape（形状）和scale（尺度）
• uniform：均匀分布噪声，可选参数包括lower（下限）和upper（上限）

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matlab实现：

Image = mat2gray( imread('original_pattern.jpg') ,[0 255]);
noiseIsp=imnoise(Image,'salt & pepper',0.1);  %添加椒盐噪声，密度为0.1  
imshow(noiseIsp,[0 1]); title('椒盐噪声图像');
noiseIg=imnoise(Image,'gaussian'); %添加高斯噪声，默认均值为0，方差为0.01
figure;imshow(noiseIg,[0 1]); title('高斯噪声图像');  

Python实现：

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 读取图像
img = cv2.imread('original_pattern.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)

# 将图像归一化到 [0,1] 范围内
img = cv2.normalize(img.astype('float'), None, 0.0, 1.0, cv2.NORM_MINMAX)

# 添加椒盐噪声，密度为 0.1
noiseIsp = img.copy()
noiseIsp = np.random.choice([0, 1], size=noiseIsp.shape, p=[0.9, 0.1]).astype('float') * 255
noiseIsp = cv2.merge([noiseIsp, noiseIsp, noiseIsp])
noiseIsp = cv2.cvtColor(noiseIsp, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
noiseIsp = cv2.normalize(noiseIsp.astype('float'), None, 0.0, 1.0, cv2.NORM_MINMAX)

# 显示椒盐噪声图像
plt.imshow(noiseIsp, cmap='gray', vmin=0, vmax=1)
plt.title('椒盐噪声图像')
plt.show()

# 添加高斯噪声，默认均值为 0，方差为 0.01
noiseIg = cv2.randn(img.shape, 0, 0.01)
noiseIg = cv2.add(img, noiseIg)

# 将图像归一化到 [0,1] 范围内
noiseIg = cv2.normalize(noiseIg.astype('float'), None, 0.0, 1.0, cv2.NORM_MINMAX)

# 显示高斯噪声图像
plt.imshow(noiseIg, cmap='gray', vmin=0, vmax=1)
plt.title('高斯噪声图像')
plt.show()

二：空间域平滑滤波

空间域平滑滤波：是数字图像处理中常用的一种滤波方法，也被称为模糊滤波。它通过对图像像素周围一定大小的邻域内像素灰度值进行加权平均，以消除图像中的高频噪声和细节信息，从而使图像变得更加平滑。常见有以下几种

• 均值滤波
• 高斯滤波
• 中值滤波
• 双边滤波

（1）均值滤波

A：均值滤波原理

均值滤波：是以某一像素为中心，在它的周围选择一邻域，将邻域内所有点的均值（灰度值相加求平均）来代替原来像素值

• $S$：以点$(x,y)$为中心的邻域
• $M$：领域$S$内总像素数目

$$g(x,y)=\frac{1}{M}\sum _{(m,n)\in S}f(m,n)$$

如下为常用的线性平滑简单均值模板

B：示例

如下图

C：分析

均值滤波的优点是简单易实现，对于一些噪声较小的图像能够取得不错的平滑效果。但是，它也存在一些缺点。例如，它会对图像中的边缘和细节信息造成模糊，同时也可能使得一些噪声点变得更加明显。此外，均值滤波对于椒盐噪声等高斯分布以外的噪声类型效果较差

• 若邻域内存在噪声，经过平均，噪声幅度会大为降低
• 点与点之间的灰度差值变小，边缘和细节处变得模糊
• 邻域半径越大，图像模糊程度越厉害

D：程序

fspecial函数：用于生成一些常见的滤波器卷积核的函数。这些卷积核可以用于各种图像处理任务，例如平滑、锐化、边缘检测等。fspecial 函数返回一个二维的卷积核矩阵 H，该矩阵的大小和形状由参数 type 和可选参数决定。可以将该卷积核作为参数传递给 MATLAB 中的卷积函数，如 conv2 函数，对图像进行滤波操作。该函数语法如下

H = fspecial(type, varargin)

其中，参数 type 指定了要生成的卷积核的类型。type 可以取以下字符串值：

• 'average'：平均滤波器；
• 'disk'：圆形平滑滤波器；
• 'gaussian'：高斯滤波器；
• 'laplacian'：拉普拉斯滤波器；
• 'log'：高斯-拉普拉斯（LoG）滤波器；
• 'motion'：运动模糊滤波器；
• 'prewitt'：Prewitt 滤波器；
• 'sobel'：Sobel 滤波器

filter函数：是一个二维滤波器函数，用于对图像进行滤波操作。它可以使用用户自定义的滤波器卷积核进行滤波，也可以使用 fspecial 函数生成的预定义滤波器卷积核进行滤波。函数返回一个滤波后的二维数组 B，其大小和形状由参数 shape 决定。可以将 filter2 函数用于图像处理任务，例如平滑、锐化、边缘检测等。需要注意的是，filter2 函数的滤波操作是基于卷积运算实现的，因此需要对输入的图像进行填充，以避免边缘像素的影响。可以使用 MATLAB 中的 padarray 函数对图像进行填充。该函数语法如下

B = filter2(h, A, shape)

其中，参数 h 是一个二维滤波器卷积核，参数 A 是一个需要进行滤波的二维数组（通常是图像），shape 是一个可选参数，用于指定输出数组的大小和形状

• 当shape为same时：输出数组的大小与输入数组相同，但是边缘可能会受到卷积核的影响而变化
• 当shape为full时：输出数组的大小为输入数组大小与卷积核大小之和减去1，输出数组的边缘受卷积核影响而扩展
• 当shape为valid时，输出数组的大小为输入数组大小与卷积核大小之差加1，输出数组的边缘不受卷积核影响

imfilter函数：是一个通用的二维滤波器函数，用于对图像进行滤波操作。它可以使用用户自定义的滤波器卷积核进行滤波，也可以使用 fspecial 函数生成的预定义滤波器卷积核进行滤波。imfilter 函数返回一个滤波后的二维数组 B，其大小和形状由参数 options 决定。可以将 imfilter 函数用于图像处理任务，例如平滑、锐化、边缘检测等。该函数语法如下

B = imfilter(A, h, options)

其中，参数 A 是一个需要进行滤波的二维数组（通常是图像），参数 h 是一个二维滤波器卷积核，options 是一个包含滤波选项的结构体，可选参数包括：

• 'conv'：指定卷积操作；
• 'corr'：指定相关操作；
• 'same'：指定输出大小与输入相同；
• 'full'：指定输出大小为输入大小加上滤波核大小减一；
• 'valid'：指定输出大小为输入大小减去滤波核大小加一；
• 'replicate'：指定用边缘值来填充图像；
• 'symmetric'：指定用对称方式来填充图像；
• 'circular'：指定用循环方式来填充图像

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matlab实现：

Image=imread('Letters-a.jpg');
noiseI=imnoise(Image,'gaussian');                %添加高斯噪声
subplot(221),imshow(Image),title('原图');
subplot(222),imshow(noiseI),title('高斯噪声图像');
result1=filter2(fspecial('average',3),noiseI);                %3×3均值滤波
result2=filter2(fspecial('average',7),noiseI);                % 7×7均值滤波
subplot(223),imshow(uint8(result1)),title('3×3均值滤波');
subplot(224),imshow(uint8(result2)),title('7×7均值滤波');

Python实现：

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 读取图像
img = cv2.imread('Letters-a.jpg')

# 添加高斯噪声
noise_img = cv2.GaussianBlur(img, (5, 5), 0)

# 显示原图和噪声图像
plt.subplot(221), plt.imshow(cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2RGB)), plt.title('原图')
plt.subplot(222), plt.imshow(cv2.cvtColor(noise_img, cv2.COLOR_BGR2RGB)), plt.title('高斯噪声图像')

# 3x3均值滤波
result1 = cv2.blur(noise_img, (3, 3))

# 7x7均值滤波
result2 = cv2.blur(noise_img, (7, 7))

# 显示3x3和7x7均值滤波结果
plt.subplot(223), plt.imshow(cv2.cvtColor(result1, cv2.COLOR_BGR2RGB)), plt.title('3×3均值滤波')
plt.subplot(224), plt.imshow(cv2.cvtColor(result2, cv2.COLOR_BGR2RGB)), plt.title('7×7均值滤波')

plt.show()

（2）高斯滤波

A：高斯函数

高斯函数：高斯函数是一种连续的、平滑的、钟形曲线函数，用于表示在统计和概率领域中连续随机变量的概率密度函数。高斯函数在图像处理、信号处理、模式识别、机器学习等领域广泛应用

• 一维高斯函数： $G(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$。一维高斯函数的图像是一条钟形曲线，它的峰值位于均值处，随着$x$增加或减小，函数值逐渐减小，且标准差越大，函数的宽度越大
• 二维高斯函数： $G(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_x{\sigma }_y}{e}^{-\frac{{\left(x-{\mu }_x\right)}^2}{2{\sigma }_x^2}-\frac{{\left(y-{\mu }_y\right)}^2}{2{\sigma }_y}}$。 二维高斯函数的图像是一个二维钟形曲面，它的峰值位于$({\mu }_x,{\mu }_y)$处，随着$x$或$y$的增加或减小，函数值逐渐减小，且标准差越大，函数的宽度越大

在图像处理中，二维高斯函数通常用于进行图像平滑处理，即利用高斯函数的低通滤波性质，去除图像中的噪声和细节信息。同时，高斯函数还可以用于图像边缘检测、尺度空间分析等任务

B：高斯滤波原理

高斯滤波原理：是以某一像素为中心，在它的周围选择一个局部邻域，把邻域内像素的灰度按照高斯正态分布曲线进行统计，分配相应的权值系数，然后将邻域内所有点的加权平均值代替原像素值

$$g(x,y)=\sum _{r=-k}^k\sum _{s=-l}^{l}f(x-r,y-s)H(r,s)$$

如下为典型的高斯模板

C：程序

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matlab实现：

Image=imread('Letters-a.jpg');
sigma1=0.6; sigma2=10; r=3;  % 高斯模板的参数
NoiseI= imnoise(Image,'gaussian'); %加噪
gausFilter1=fspecial('gaussian',[2*r+1 2*r+1],sigma1);  
gausFilter2=fspecial('gaussian',[2*r+1 2*r+1],sigma2);  
result1=imfilter(NoiseI,gausFilter1,'conv');
result2=imfilter(NoiseI,gausFilter2,'conv');
imshow(Image);title('原图');
figure;imshow(NoiseI);title('高斯噪声图像');
figure;imshow(result1);title('sigma1 =0.6高斯滤波');
figure;imshow(result2);title('sigma2 =10高斯滤波');

python实现：

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

Image = cv2.imread('Letters-a.jpg')
sigma1 = 0.6
sigma2 = 10
r = 3

NoiseI = cv2.imread('Letters-a.jpg', 0)
NoiseI = cv2.GaussianBlur(NoiseI, (3,3), 0)
NoiseI = cv2.addWeighted(NoiseI, 1.5, NoiseI, -0.5, 0)

gausFilter1 = cv2.getGaussianKernel(2*r+1, sigma1)
gausFilter1 = np.outer(gausFilter1, gausFilter1)

gausFilter2 = cv2.getGaussianKernel(2*r+1, sigma2)
gausFilter2 = np.outer(gausFilter2, gausFilter2)

result1 = cv2.filter2D(NoiseI, -1, gausFilter1)
result2 = cv2.filter2D(NoiseI, -1, gausFilter2)

plt.imshow(cv2.cvtColor(Image, cv2.COLOR_BGR2RGB))
plt.title('原图')
plt.show()

plt.imshow(NoiseI, cmap='gray')
plt.title('高斯噪声图像')
plt.show()

plt.imshow(result1, cmap='gray')
plt.title('sigma1 =0.6高斯滤波')
plt.show()

plt.imshow(result2, cmap='gray')
plt.title('sigma2 =10高斯滤波')
plt.show()

（3）中值滤波

A：中值

中值：一组数$x_1,x_2,...,x_n$，把$n$个数按值的大小顺序排列如下：$x_{i_1}<x_{i_2}<...x_{in}$，则中值为

$$y=\{\begin{array}{l}{x}_{i\left(\frac{n+1}{2}\right)}\\ \frac{1}{2}\left[x_{i\left(\frac{n}{2}\right)}+x_{i\left(\frac{n}{2}+1\right)}\right]\end{array}n为奇数n为偶数$$

B：中值滤波原理

中值滤波原理：噪声的出现，使被处理点像素比周围像素亮(暗)许多。中值滤波则以被处理点为中心，选取一个邻域窗口，窗口内所有点值排序，取中值代替该点值

C：示例

D：中值滤波形状

E：程序

medfilt2函数：是MATLAB中的一个二维中值滤波函数，用于对图像进行去噪处理。该函数语法如下

B = medfilt2(A, [M N])
B = medfilt2(A, [M N], 'symmetric')
B = medfilt2(A, [M N], 'indexed', P)

其中

• A：输入的图像矩阵。
• [M N]：中值滤波器的大小，其中M和N分别表示滤波器在行方向和列方向的大小，必须为奇数，默认为[3 3]。
• 'symmetric'：指定对称性边界条件，即对边缘进行反射填充，默认为零填充。
• 'indexed'：指定输入图像的像素值采用整数标识，其中P是一个向量，其长度等于输入图像中可能出现的像素值的数量，向量中的值表示相应像素值的位置

---

matlab实现：

Image=rgb2gray(imread('lotus.bmp'));
noiseI=imnoise(Image,'salt & pepper',0.1);
imshow(noiseI),title('椒盐噪声图像');
result=medfilt2(noiseI);                                 %3×3中值滤波
figure,imshow(uint8(result)),title('3×3中值滤波');

python实现：

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

img = cv2.imread('lotus.bmp')
gray_img = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
noisy_img = cv2.addSaltAndPepper(gray_img, 0.1)
plt.imshow(noisy_img, cmap='gray')
plt.title('椒盐噪声图像')
plt.show()

result = cv2.medianBlur(noisy_img, 3)
plt.imshow(result, cmap='gray')
plt.title('3x3中值滤波')
plt.show()

（4）双边滤波

A：原理

双边滤波：“双边”意味着平滑滤波时不仅考虑邻域内像素的空间邻近性，而且要考虑邻域内像素的灰度相似性

$$\begin{array}{c}BF[I{]}_P=\frac{1}{W_P}{\sum }_{q\in S}{G}_{{\sigma }_s}(\Vert p-q\Vert )G_{{\sigma }_r}\left(\left|I_p-I_q\right|\right)I_q\\ W_P={\sum }_{q\in S}{G}_{{\sigma }_s}(\Vert p-q\Vert G_{{\sigma }_r}\left(\left|I_p-I_q\right|\right)\\ G_{{\sigma }_s}(\Vert p-q\Vert )=e^{\frac{(\Vert p-q\mid {)}^2}{2{\sigma }_s^2}}{G}_{{\sigma }_r}\left(\left|I_p-I_q\right|\right)=e^{-\frac{{\left(I_p-I_q\right)}^2}{2{\sigma }_r^2}}\end{array}$$

B：程序

matlab实现：

Image=im2double(imread('girl.bmp'));  
NoiseI= Image+0.05*randn(size(Image)); 
w=15;       % 定义双边滤波窗口宽度  
sigma_s=6; sigma_r=0.1; % 双边滤波的两个标准差参数  
[X,Y] = meshgrid(-w:w,-w:w); 
Gs = exp(-(X.^2+Y.^2)/(2*sigma_s^2));%计算邻域内的空间权值
[hm,wn] = size(NoiseI); 
result=zeros(hm,wn); 
for i=1:hm    
    for j=1:wn  
        temp=NoiseI(max(i-w,1):min(i+w,hm),max(j-w,1):min(j+w,wn));
        Gr = exp(-(temp-NoiseI(i,j)).^2/(2*sigma_r^2));%计算灰度邻近权值        
        % W为空间权值Gs和灰度权值Gr的成绩       
        W = Gr.*Gs((max(i-w,1):min(i+w,hm))-i+w+1,(max(j-w,1):min(j+w,wn))-j+w+1);      
        result(i,j)=sum(W(:).*temp(:))/sum(W(:));            
    end
end  
subplot(1,3,1),imshow(Image),title('原始图像');  
subplot(1,3,2),imshow(NoiseI),title('随机噪声图像');   
subplot(1,3,3),imshow(result),title('双边滤波图像'); 

python实现：

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 读取图像并将像素值转换为浮点数
Image = cv2.imread('girl.bmp', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)
Image = cv2.normalize(Image.astype('float'), None, 0.0, 1.0, cv2.NORM_MINMAX)

# 添加高斯噪声
NoiseI = Image + 0.05 * np.random.randn(*Image.shape)

# 双边滤波
w = 15
sigma_s = 6
sigma_r = 0.1
X, Y = np.meshgrid(np.arange(-w, w+1), np.arange(-w, w+1))

# 计算邻域内的空间权值
Gs = np.exp(-(X**2 + Y**2) / (2 * sigma_s**2))

hm, wn = NoiseI.shape
result = np.zeros((hm, wn))

for i in range(hm):
    for j in range(wn):
        # 取出当前像素的邻域
        temp = NoiseI[max(i-w, 0):min(i+w, hm), max(j-w, 0):min(j+w, wn)]
        
        # 计算灰度邻近权值
        Gr = np.exp(-(temp - NoiseI[i, j])**2 / (2 * sigma_r**2))
        
        # W 为空间权值 Gs 和灰度权值 Gr 的乘积
        W = Gr * Gs[max(i-w, 0):min(i+w, hm)-i+w+1, max(j-w, 0):min(j+w, wn)-j+w+1]
        
        # 对 W 和邻域内像素值的乘积求和并除以 W 的和，得到当前像素的值
        result[i, j] = np.sum(W * temp) / np.sum(W)

# 显示图像
plt.subplot(1, 3, 1)
plt.imshow(Image, cmap='gray')
plt.title('原始图像')

plt.subplot(1, 3, 2)
plt.imshow(NoiseI, cmap='gray')
plt.title('随机噪声图像')

plt.subplot(1, 3, 3)
plt.imshow(result, cmap='gray')
plt.title('双边滤波图像')

plt.show()