数学建模第三天：数学建模算法篇之线性规划及matlab的实现

news2024/10/7 14:32:24

一、前言

二、线性规划简介

1、线性规划模型介绍与特征

2、线性规划模型的一般形式

三、单纯形法

1、标准化

2、单纯形法解题

四、matlab解决问题1、matlab线性规划函数

2、解题代码

一、前言

数学建模，本意就是用来解决生活中的问题，我们今天想讲一讲装修的相关问题。没错，我们的伍老师通过自己赚的钱，斥巨资买了一套单身公寓。买完单身公寓后，伍老师发现，装修有杂七杂八的一系列问题，太麻烦了！此时伍老师的男朋友小李站出来了，对伍老师特别man的说：“别担心，这不是还有我吗，我来处理这些事情好了！”但是小李是一个四肢发达，头脑简单的人，对装修更是一窍不通。但是牛皮已经吹出去了，话再收回来就要被啪啪打脸了。所以，为了维护小李作为男人的尊严，我们今天就需要帮一下小李。

引例：伍老师刚拿到毛坯房，觉得房子里面空气质量太差了，于是决定买一些花朵来改善一下房子里的空气。已知伍老师看中了满天星、向日葵、洋桔梗以及红玫瑰四个品种。其单价、功效与装饰效果如下：

A.洋桔梗：每平方米75元，一天能净化0.8千克空气，装饰效果评分为2颗星

B.满天星：每平方米130元，一天能净化0.72千克空气，装饰效果评分为7颗星

C.向日葵：每平方米105元，一天能净化0.75千克空气，装饰效果评分为6颗星

D.红玫瑰：每平方米200元，一天能净化0.65千克空气，装饰效果评分为10颗星

已知，伍老师打算拿出一千块买花，预计拿出20平方米的空间放绿植，且希望装饰效果评分不低于45颗星，那么如何购买能使空气质量净化效果最佳？

二、线性规划简介

1、线性规划模型介绍与特征

线性规划（Linear Programming,缩写为LP）通常研究资源的最优利用、设备最佳运行等问题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多、利润最大）。

线性规划的数学模型由决策变量 Decision variables 、目标函数Objective function 与约束条件Constraints 构成。称为线性规划三要素。

线性规划模型的特征是：

1．解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值；

2．解决问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。

2、线性规划模型的一般形式

一般地，假设线性规划数学模型中，有m个约束，有n个决策变量xj, j=1,2…,n，目标函数的变量系数用cj表示, cj称为价值系数。约束条件的变量系数用aij表示，aij称为工艺系数。约束条件右端的常数用bi表示，bi称为资源限量。则线性规划数学模型的一般表达式可写成：

由此，引例的线性规划模型可以写为：

设xj（j=1,2，…，4）分别代表洋桔梗、满天星、向日葵以及红玫瑰所占面积（平方米），得到下列线性规划模型：

$max\, \, z=0.8x_{1}+0.72x_{2}+0.75x_{3}+0.65x_{4}$

$\left\{\begin{matrix} 75x_{1}+130x_{2}+105x_{3}+200x_{4}\leq 1000 & \\ 2x_{1}+7x_{2}+6x_{3}+10x_{4}\geq 45& \\ x_{j}\geq 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, j=1,2,3,4 \end{matrix}\right.$

三、单纯形法

如何解出线性规划问题的解？很简单，学过高中数学的同学们应该知道：画图嘛，画二维平面图可以解决两个变量的线性规划问题，画空间涂可以解决三个变量的线性规划问题。那么四个变量、五个变量的呢？大家是想让自己变为高纬度生物，再解出题目呢，还是用其他方法解出来？诶嘿，还真有一种方法解决线性规划问题，叫做单纯形法，请听小编娓娓道来。

1、标准化

在用单纯法求解线性规划问题时，为了讨论问题方便，需将线性规划模型化为统一的标准形式。线性规划问题的标准型为:

1.目标函数求最大值

2.约束条件都为等式方程

3.变量xj非负

4.常数bi非负

5.在≤左端加入松驰变量 (slack variable)；在≥号左端减去剩余变量(Surplus variable)

6.目标函数是最小值，为了化为求最大值，令Z′ =－Z,得到 max Z′ =－Z

那么，例题的标准化模型为：

$max\, \, z=0.8x_{1}+0.72x_{2}+0.75x_{3}+0.65x_{4}$

$\left\{\begin{matrix} 75x_{1}+130x_{2}+105x_{3}+200x_{4}+x_{5}= 1000 & \\ 2x_{1}+7x_{2}+6x_{3}+10x_{4}-x_{6} =45& \\ x_{j}\geq 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, j=1,2,3,4,5,6 \end{matrix}\right.$

2、单纯形法解题

计算步骤：

1.求初始基可行解，列出初始单纯形表，求出检验数。其中

基变量的检验数必为零；

2.判断：

（a）若λj≤０（j＝１，２，…，n）得到最优解；

（b）某个λk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性规划具有无界解(见例1-18)。

（c）若存在λk>0且aik (i=1,…,m)不全非正，则进行换基；

3.换基：

（a）选进基变量 :设λk=max｛λj | λj >0｝,xk为进基变量

（b）选出基变量，求最小比值：

第Ｌ个比值最小，选最小比值对应行的基变量为出基变量，若有相同最小比值，则任选一个。aLk为主元素。

（c）求新的基可行解：用初等行变换方法将aLk 化为１,k列其它元素化为零（包括检验数行）得到新的可行基及基本可行解，再判断是否得到最优解。

四、matlab解决问题
1、matlab线性规划函数

其实单纯形法在数学建模里面只作为了解即可，因为我们更偏重于动手编程能力。在MATLAB里面，有一个专门解决线性规划的函数，叫做linprog，其函数与参数含义如下：

①x=linprog（c, A, b）

$min Z=cX$

$s.t. AX\leq b$

注意：A与b均为矩阵的形式

②x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）

$min Z=cX$

$s.t. \, \, \, \, \, \begin{matrix}AX\leq b\\ Aeq X=beq \end{matrix}$

注意：1.若没有不等式： $AX\leq b$ 存在，则令A=[ ]，b=[ ]

2.A、Aeq、b、beq均为矩阵的形式

③x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB）

$min Z=cX$

$s.t. \, \, \, \, \, \begin{matrix}AX\leq b\\ Aeq X=beq \end{matrix}$

$VLB\leq X\leq VUB$

注意：1.若没有等式约束: $Aeq X=beq$ , 则令Aeq=[ ], beq=[ ]

2. A、Aeq、b、beq、VLB、VUB均为矩阵的形式

2、解题代码

    c=[-0.8 -0.72 -0.75 -0.65];
    A=[-2 -7 -6 -10;75 130 105 200];
    b=[-45 ; 1000];
    Aeq=[];
    beq=[];
    vlb=[0,0,0,0];
    vub=[];             
    [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);
   -fval,x

结果为：