仿射变换

前面提到的平移、旋转以及缩放，都可以通过一个变换矩阵来实现，以二维空间中的变换矩阵为例，记点的坐标向量为$(x,y,1)$，则平移矩阵可表示为

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& T_x\\ 0& 1& T_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

旋转矩阵可表示为

$$\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

在scipy.ndimage中，提供了专门的仿射变换函数affine_transform，用于坐标的仿射变换。

坐标变换的逻辑

假设现在有一个矩阵

$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$$

则$a,b,c,d$的坐标为$(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)$，那么假设现在给出一个变换矩阵

$$M=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$$

则坐标$(0,1)$变为

$$\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]$$

从而$(1,1)$处的值变为$c$。另一方面$(1,0)$坐标也变为$(1,1)$，所以$(1,1)$处也可能为$b$。

scipy实现

仿射变换函数支持output, order, mode, cval以及prefilter这5个参数，此外，二者均支持output_shape参数，用于调整输出的数组维度。除了这些参数之外，仿射变换的定义式为affine_transform(input, matrix, offset=0.0, )，其中matrix为变换矩阵，当输入不同维度的矩阵时，含义不同，设$n$为输入数组的维度，则matrix的矩阵维度及其含义如下

• $n\times n$ 对每一个输出轴进行线性变换
• $(n+1)\times (n+1)$ 此时，offset参数将不起作用，相当于把最后一个维度的参数作为偏移量
• $n\times (n+1)$ offset参数亦不起作用，但相当于最后一行的偏移量设为0。
• $n$ 输入为一个向量，表示进行针对对角线的变换

下面仍以对仿射变换进行一个演示

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.ndimage import *

ori = np.eye(20)
ori[10, :] = 1.0

a,b = 0.9,1.1
fDct = {
    "ori" : ori,
    "vector" : affine_transform(ori, [a, b], offset=(-10,-10)),
    "mat" : affine_transform(ori, [[a, b],[-b, a]], offset=(-10,10)),
}

fig = plt.figure()
for i, key in enumerate(fDct):
    fig.add_subplot(1, 3, i+1)
    plt.imshow(fDct[key], cmap='gray_r')
    plt.title(key)

plt.show()

效果如下