有介质的高斯定理详细证明（电偶极子模型）以及例题讲解

news2024/9/20 14:53:53

静电场中的电介质

电极化强度的引入

电偶极子模型的计算

电介质极化过程

极化电荷引入

推导

各向同性和线性的电介质

例题

静电场中的电介质

电介质与导体的区别：所有的粒子被束缚在原子核周围（限制空间）

电介质分为两种

1.无极性分子电介质没有电场的时候，不显电性，但是分子的正负电荷中心是重合的

一旦受到电场，会产生极化，正负电荷中心被拉开，我们称之为位移极化

2.有极性分子电介质虽然正负电荷中心不重合，但是由于热运动，仍然随机无规则分布，不显电性

此时我们施加电场，将会重新排布，我们称之为转向极化

原先电介质对于外电场没有影响，但是极化以后，电介质会产生极化电荷，极化电荷会反过来作用于外电场，所以我们必须重新考虑高斯定律

电极化强度的引入

假定电介质由一个又一个分子构成，分子受到电场作用的时候，正负中心会被拉开，所以无极性分子会变成极性分子

此时我们就需要考虑单个有极性分子对外电场区域的电场力该怎么计算？

电偶极子模型的计算

由此可以看出极化之后产生的有极性分子（电偶极子）对于外电场区域的作用

可以写成

$\Delta \phi (r)=\sum$ 所有电偶极子的电势之和

$\Delta \phi (r)=\sum \frac{\vec p_{i} \cdot \vec e_R}{ 4 \pi \varepsilon_0 R^2} (i=1,2,3,...n)$ 其中n为电偶极子的个数

在物理中我们习惯性从平均的角度思考问题，所以我们会想着求单位体积的电偶极子对外电场区域的作用，此时我们定义电极化强度

$\vec p=\lim_{\Delta v \to 0}\frac{\sum \vec P_{i}}{\Delta v}$

这样电极化强度就会变成一个有三个变量的函数，求和也就会变成积分,对于外电场区域的作用就会变成

$\Delta \phi (r)=\int_{V^{\prime}} \frac{\vec p \cdot \vec e_R}{ 4 \pi \varepsilon_0 R^2} dV^{\prime}$

由此我们就完成了从无穷到积分的引入，而p向量就变成在那一点出被极化出的等效电偶极子的电偶极矩

电介质极化过程

极化电荷引入

因为在原先的模型中，被极化过后的电介质，变成了一个区域，区域中的每一个点都有对应的电偶极矩，都可以对外电场区域产生作用，但是我们在计算作用的时候，更喜欢等效成电荷，而并非电偶极子

所以我们还需要把由电偶极子组成的空间区域等效成由极化电荷组成的区域

所以我们假设区域内存在体电荷，面电荷和线电荷以及电荷，然后根据我们最后的推导结果，看一看究竟是什么样子的

推导

此时根据电偶极子模型

电介质所产生的电位

$\varphi(\vec r)=\int_{V} \frac{\vec p (\vec r^{\prime})dV^{\prime} \cdot \vec e_{R}}{4 \pi \varepsilon_{0}R^{2}}$

结合 $\nabla^{\prime}(\frac{1}{R})=\frac{\vec e_{R}}{R^{2}}$

代入 $\varphi(\vec r)=\int_{V} \frac{\vec p (\vec r^{\prime})dV^{\prime} \cdot \vec e_{R}}{4 \pi \varepsilon_{0}R^{2}}$

$\varphi(\vec r)=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\int_{V} \vec p(\vec r^{\prime}) \nabla^{\prime} (\frac{1}{R})d v^{\prime}$

结合公式 $\nabla \cdot (\frac{\vec p}{R}) =\vec p \cdot \nabla (\frac{1}{R})+\frac{1}{R}\nabla \cdot\vec p$

变换一下形式可以得到 $\nabla^{\prime} \cdot (\frac{\vec p(\vec r^{\prime})}{R}) =\vec p(\vec r^{\prime}) \cdot \nabla^{\prime} (\frac{1}{R})+\frac{1}{R}\nabla^{\prime} \cdot\vec p(\vec r^{\prime})$

代入 $\varphi(\vec r)=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\int_{V} \vec p(\vec r^{\prime}) \nabla^{\prime} (\frac{1}{R})d v^{\prime}$

可以得到

$\varphi(\vec r)=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\int_{V} \nabla^{\prime} \cdot (\frac{\vec p(\vec r^{\prime})}{R}) -\frac{1}{R}\nabla^{\prime} \cdot\vec p(\vec r^{\prime})d v^{\prime}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\int_{V} \nabla^{\prime} \cdot (\frac{\vec p(\vec r^{\prime})}{R}) d V^{\prime}-\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\int_{V}\frac{1}{R}\nabla^{\prime} \cdot\vec p(\vec r^{\prime})d V^{\prime}$

利用高斯公式

$\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\int_{V} \nabla^{\prime} \cdot (\frac{\vec p(\vec r^{\prime})}{R}) d V^{\prime}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\int_{S} \frac{\vec p(\vec r^{\prime})}{R}\cdot \vec S$

可以得到

$\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\int_{V} \nabla^{\prime} \cdot (\frac{\vec p(\vec r^{\prime})}{R}) d V^{\prime}-\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\int_{V}\frac{1}{R}\nabla^{\prime} \cdot\vec p(\vec r^{\prime})d V^{\prime}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\int_{S} \frac{\vec p(\vec r^{\prime})}{R}\cdot d\vec S^{\prime}+\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\int_{V}\frac{1}{R}\nabla^{\prime} \cdot\vec p(\vec r^{\prime})d V^{\prime}$

如果取 $\rho_{p}=-\nabla \cdot \vec p,\sigma_{p}=\vec p \cdot \vec e_{n}$

可以得到

$\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\int_{S} \frac{\vec p(\vec r^{\prime})}{R}\cdot \vec S+\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0} }\int_{V}\frac{1}{R}\nabla^{\prime} \cdot\vec p(\vec r^{\prime})d V^{\prime}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_S \frac{\sigma_{p} dS^{\prime}}{R}+\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_S \frac{\rho_{p} dV^{\prime}}{R}$