文章目录
- 2 体积
- 2.1 旋转体的体积
- 2.2 平行截截面面积已知的立体的体积
- 2.3 例题
- 3 平面曲线的弧长
- 2.1 直接坐标系
- 2.2 参数方程
- 2.3 极坐标系
- 结语
2 体积
2.1 旋转体的体积
情形①平面图形由 y = f ( x ) , y = 0 , x = a , x = b y=f(x),y=0,x=a,x=b y=f(x),y=0,x=a,x=b所围成,其绕x轴一周所得旋转体的体积,如下图2.1-1所示:
解:积分变量
x
,积分区间
[
a
,
b
]
d
v
=
π
f
2
(
x
)
d
x
v
=
π
∫
a
b
f
2
(
x
)
d
x
解:积分变量x,积分区间[a,b]\\ \begin{aligned} &dv=\pi f^2(x)\mathrm{d}x\\ &v=\pi\int_a^bf^2(x)\mathrm{d}x \end{aligned}
解:积分变量x,积分区间[a,b]dv=πf2(x)dxv=π∫abf2(x)dx
②平面图形由
x
=
g
(
y
)
,
x
=
0
,
y
=
c
,
y
=
d
x=g(y),x=0,y=c,y=d
x=g(y),x=0,y=c,y=d所围成,其绕y轴选择一周所得旋转体体积,如下图2.1-2所示:
解:积分变量
y
,积分区间
[
d
,
c
]
d
v
=
π
g
2
(
y
)
d
y
v
=
π
∫
d
c
g
2
(
y
)
d
y
解:积分变量y,积分区间[d,c]\\ \begin{aligned} &dv=\pi g^2(y)dy\\ &v=\pi\int_d^c g^2(y)dy \end{aligned}
解:积分变量y,积分区间[d,c]dv=πg2(y)dyv=π∫dcg2(y)dy
③平面图形由
y
=
f
(
x
)
,
y
=
0
,
x
=
a
,
x
=
b
y=f(x),y=0,x=a,x=b
y=f(x),y=0,x=a,x=b所围成,其绕y轴旋转一周所得的体积,如下图2.1-3所示:
-
计算方式
- 方式一:紫色体积=大圆柱体积-绿色体积,很麻烦
解: V = π b 2 f ( b ) − π a 2 f ( a ) − ∫ a b f − 1 ( y ) d y 解:V=\pi b^2f(b)-\pi a^2f(a)-\int_a^b f^{-1}(y)dy 解:V=πb2f(b)−πa2f(a)−∫abf−1(y)dy
-
方式二(推荐):柱壳法,如下图2.1-4所示:
- 分析:
[
a
,
b
]
任取一小段
x
到
x
+
d
x
[a,b]任取一小段x到x+dx
[a,b]任取一小段x到x+dx,其绕y轴旋转一周,任意位置将其沿y轴剪开,即为下面图行所示的长方体
f
(
x
)
,
2
π
x
,
d
x
f(x),2\pi x,dx
f(x),2πx,dx
解:积分变量 x ,积分区间 [ a , b ] ,柱壳法计算 d v = 2 π x f ( x ) d x v = 2 π ∫ a b x f ( x ) d x 解:积分变量x,积分区间[a,b],柱壳法计算\\ \begin{aligned} &dv=2\pi xf(x)dx\\ &v=2\pi\int_a^bxf(x)dx \end{aligned} 解:积分变量x,积分区间[a,b],柱壳法计算dv=2πxf(x)dxv=2π∫abxf(x)dx
- 分析:
[
a
,
b
]
任取一小段
x
到
x
+
d
x
[a,b]任取一小段x到x+dx
[a,b]任取一小段x到x+dx,其绕y轴旋转一周,任意位置将其沿y轴剪开,即为下面图行所示的长方体
f
(
x
)
,
2
π
x
,
d
x
f(x),2\pi x,dx
f(x),2πx,dx
④平面图像由 x = f ( x ) , x = g ( x ) , x = a , x = b x=f(x),x=g(x),x=a,x=b x=f(x),x=g(x),x=a,x=b所围成,其绕x轴旋转一周的旋转体体积,如下2.1-5所示:
解:绕
x
轴旋转
v
=
π
∫
a
b
∣
f
2
(
x
)
−
g
2
(
x
)
∣
d
x
解:绕x轴旋转\\ v=\pi\int_a^b|f^2(x)-g^2(x)|dx\\
解:绕x轴旋转v=π∫ab∣f2(x)−g2(x)∣dx
⑤平面图像由
x
=
f
(
y
)
,
x
=
g
(
y
)
,
y
=
a
,
y
=
b
x=f(y),x=g(y),y=a,y=b
x=f(y),x=g(y),y=a,y=b所围成,其绕y轴旋转一周的旋转体体积,如下2.1-6所示:
绕
y
轴旋转
v
=
π
∫
a
b
∣
f
2
(
y
)
−
g
2
(
y
)
∣
d
y
绕y轴旋转\\ v=\pi\int_a^b|f^2(y)-g^2(y)|dy\\
绕y轴旋转v=π∫ab∣f2(y)−g2(y)∣dy
⑥
1
°
由
y
=
f
(
x
)
,
y
=
0
,
x
=
a
,
x
=
b
1^\degree\quad 由y=f(x),y=0,x=a,x=b
1°由y=f(x),y=0,x=a,x=b所围图形绕
x
=
c
,
y
=
d
x=c,y=d
x=c,y=d旋转一周所得旋转体的体积,如下图2.1-7所示:
解:柱壳法,当
c
<
a
时,
d
v
=
2
π
(
x
−
c
)
f
(
x
)
d
x
,
v
=
2
π
∫
a
b
(
x
−
c
)
f
(
x
)
d
x
当
c
>
a
时,
v
=
2
π
∫
a
b
(
c
−
x
)
d
x
∴
v
=
2
π
∫
a
b
∣
x
−
c
∣
f
(
x
)
d
x
图形绕
y
=
d
旋转时,
v
=
π
∣
∫
a
b
[
f
(
x
)
−
d
]
2
−
d
2
∣
d
x
解:柱壳法,当c\lt a时,dv=2\pi(x-c)f(x)dx,v=2\pi\int_a^b(x-c)f(x)dx\\ 当c\gt a时,v=2\pi\int_a^b(c-x)dx\\ ∴v=2\pi\int_a^b|x-c|f(x)dx\\ 图形绕y=d旋转时, v=\pi|\int_a^b[f(x)-d]^2-d^2|dx
解:柱壳法,当c<a时,dv=2π(x−c)f(x)dx,v=2π∫ab(x−c)f(x)dx当c>a时,v=2π∫ab(c−x)dx∴v=2π∫ab∣x−c∣f(x)dx图形绕y=d旋转时,v=π∣∫ab[f(x)−d]2−d2∣dx
2
°
由
y
=
f
(
x
)
,
y
=
g
(
x
)
,
x
=
a
,
x
=
b
2^\degree\quad由y=f(x),y=g(x),x=a,x=b
2°由y=f(x),y=g(x),x=a,x=b所围成图形绕
x
=
c
,
y
=
d
x=c,y=d
x=c,y=d旋转一周所得旋转体的体积,如下图2.1-8所示:
解:绕
x
=
c
所得旋转体体积:
v
=
2
π
∫
a
b
∣
(
x
−
c
)
[
f
(
x
)
−
g
(
x
)
]
∣
d
x
绕
y
=
d
所得旋转体体积:
v
=
π
∫
a
b
∣
[
f
(
x
)
−
d
]
2
−
[
g
(
x
)
−
d
]
2
∣
d
x
解:绕x=c所得旋转体体积:\\ v=2\pi\int_a^b|(x-c)[f(x)-g(x)]|dx\\ 绕y=d所得旋转体体积:\\ v=\pi\int_a^b|[f(x)-d]^2-[g(x)-d]^2|dx
解:绕x=c所得旋转体体积:v=2π∫ab∣(x−c)[f(x)−g(x)]∣dx绕y=d所得旋转体体积:v=π∫ab∣[f(x)−d]2−[g(x)−d]2∣dx
3
°
由
x
=
g
(
y
)
,
x
=
0
,
y
=
c
,
y
=
d
3^\degree\quad由x=g(y),x=0,y=c,y=d
3°由x=g(y),x=0,y=c,y=d所围图形绕
x
=
a
,
y
=
b
x=a,y=b
x=a,y=b旋转一周所得旋转体的体积,如下图2.1-9所示:
解:绕
x
=
a
体积
v
=
π
∫
c
d
∣
[
g
(
y
)
−
a
]
2
−
a
2
∣
d
y
绕
y
=
b
体积
v
=
2
π
∫
c
d
∣
y
−
b
∣
g
(
y
)
d
y
解:绕x=a体积v=\pi\int_c^d|[g(y)-a]^2-a^2|dy\\ 绕y=b体积v=2\pi\int_c^d|y-b|g(y)dy
解:绕x=a体积v=π∫cd∣[g(y)−a]2−a2∣dy绕y=b体积v=2π∫cd∣y−b∣g(y)dy
4
°
由
x
=
ξ
(
y
)
,
y
=
ϕ
(
y
)
,
y
=
c
,
y
=
d
4\degree\quad由x=\xi(y),y=\phi(y),y=c,y=d
4°由x=ξ(y),y=ϕ(y),y=c,y=d所围图形绕
x
=
a
,
x
=
b
x=a,x=b
x=a,x=b旋转一周所得旋转体的体积,如下图2.1-10所示:
解:绕 x = a 体积 v = π ∫ c d ∣ [ ξ ( y ) − a ] 2 − [ ϕ ( y ) − a ] 2 ∣ d x 绕 y = b 体积 v = 2 π ∫ c d ∣ y − b ∣ [ ξ ( y ) − ϕ ( y ) ] d y 解:绕x=a体积v= \pi\int_c^d|[\xi(y)-a]^2-[\phi(y)-a]^2|dx\\ 绕y=b体积v=2\pi\int_c^d|y-b|[\xi(y)-\phi(y)]dy 解:绕x=a体积v=π∫cd∣[ξ(y)−a]2−[ϕ(y)−a]2∣dx绕y=b体积v=2π∫cd∣y−b∣[ξ(y)−ϕ(y)]dy
2.2 平行截截面面积已知的立体的体积
一般,设有立体位于x轴上 a , b 点之间, ∀ x ∈ [ a , b ] a,b点之间,\forall x\in[a,b] a,b点之间,∀x∈[a,b]过x点的立体截面面积已知为A(x),求物体体积,如下图2.2-1所示:
解: v = ∫ a b A ( x ) d x 解:v=\int_a^bA(x)dx 解:v=∫abA(x)dx
2.3 例题
例1 连接坐标原点0及点p(h,r)的直线直线x=h及x轴围成的直角三角形绕x轴一周所得圆锥体的体积,如下图2.3-1所示:
解:去
x
为积分变量,积分区间
[
0
,
h
]
,
则
v
=
∫
0
h
π
(
x
r
h
)
2
d
x
=
r
2
h
2
π
∫
0
h
x
2
d
x
=
π
r
2
h
3
解:去x为积分变量,积分区间[0,h],则\\ v=\int_0^h\pi(x\frac{r}{h})^2dx=\frac{r^2}{h^2}\pi\int_0^hx^2dx\\ =\frac{\pi r^2h}{3}
解:去x为积分变量,积分区间[0,h],则v=∫0hπ(xhr)2dx=h2r2π∫0hx2dx=3πr2h
例2 计算椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
a2x2+b2y2=1所围图形绕
x
x
x轴一周所围成旋转体的体积,如下图2.3-2所示:
解:由图纸椭球体左右对称,我们计算
x
>
0
的部分
y
=
b
1
−
x
2
a
2
,
去
x
为积分变量,变化区间为
[
0
,
a
]
v
=
2
∫
0
a
π
y
2
d
x
=
2
π
∫
0
a
(
b
1
−
x
2
a
2
)
2
d
x
=
2
b
2
π
∫
0
a
(
1
−
x
2
a
2
)
d
x
=
4
3
a
b
2
π
解:由图纸椭球体左右对称,我们计算x\gt0的部分\\ y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}},去x为积分变量,变化区间为[0,a]\\ v=2\int_0^a\pi y^2dx=2\pi\int_0^a(b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}})^2dx\\ =2b^2\pi\int_0^a(1-\frac{x^2}{a^2})dx=\frac{4}{3}ab^2\pi
解:由图纸椭球体左右对称,我们计算x>0的部分y=b1−a2x2,去x为积分变量,变化区间为[0,a]v=2∫0aπy2dx=2π∫0a(b1−a2x2)2dx=2b2π∫0a(1−a2x2)dx=34ab2π
注:
- 如果绕y轴旋转所得旋转体体积为: 4 3 π a 2 b \frac{4}{3}\pi a^2b 34πa2b
例3 有摆线
{
x
=
a
(
t
−
sin
t
)
y
=
a
(
1
−
cos
t
)
的一拱与
y
=
0
所围成图形
\begin{cases} x=a(t-\sin t)\\ y=a(1-\cos t) \end{cases} 的一拱与y=0所围成图形
{x=a(t−sint)y=a(1−cost)的一拱与y=0所围成图形
分别绕x,y轴旋转所得旋转体的体积,如下图2.3-3所示:
解:绕 x 轴旋转,取积分变量 x ,变化区间为 [ 0 , 2 π a ] v = ∫ 0 2 π a π y 2 d x = π ∫ 0 2 π a 2 ( 1 − cos t ) 2 d [ a ( t − sin t ) ] = π a 3 ∫ 0 2 π ( 1 − cos t ) 3 d t = π a 3 ∫ 0 2 π ( 1 − 3 cos t + 3 cos 2 t − cos 3 t ) d t = π a 3 ( 2 π − 0 + 12 ⋅ 1 2 ⋅ π 2 − 0 ) = 5 π 2 a 3 绕 y 轴旋转体,柱壳法,取积分变量 x ,变化区间 [ 0 , 2 π a ] v = ∫ 0 2 π a 2 π x f ( x ) d x = 2 π ∫ 0 2 π a ( t − sin t ) ⋅ a ( 1 − cos t ) d [ a ( t − sin t ) ] = 2 π a 3 ∫ 0 2 π ( t − sin t − 2 t cos t + 2 sin t cos t − sin t cos 2 t + t cos 2 t ) d t = 6 π 3 a 3 解:绕x轴旋转,取积分变量x,变化区间为[0,2\pi a]\\ v=\int_0^{2\pi a}\pi y^2dx=\pi\int_0^{2\pi}a^2(1-\cos t)^2d[a(t-\sin t)]\\ =\pi a^3\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^3dt=\pi a^3\int_0^{2\pi}(1-3\cos t+3\cos^2t-\cos^3t)dt\\ =\pi a^3(2\pi-0+12\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}-0)=5\pi^2a^3\\ 绕y轴旋转体,柱壳法,取积分变量x,变化区间[0,2\pi a]\\ v=\int_0^{2\pi a}2\pi xf(x)dx=2\pi\int_0^{2\pi}a(t-\sin t)\cdot a(1-\cos t)d[a(t-\sin t)]\\ =2\pi a^3\int_0^{2\pi}(t-\sin t -2t\cos t+2\sin t\cos t-\sin t\cos^2t+t\cos^2t)dt\\ =6\pi^3a^3 解:绕x轴旋转,取积分变量x,变化区间为[0,2πa]v=∫02πaπy2dx=π∫02πa2(1−cost)2d[a(t−sint)]=πa3∫02π(1−cost)3dt=πa3∫02π(1−3cost+3cos2t−cos3t)dt=πa3(2π−0+12⋅21⋅2π−0)=5π2a3绕y轴旋转体,柱壳法,取积分变量x,变化区间[0,2πa]v=∫02πa2πxf(x)dx=2π∫02πa(t−sint)⋅a(1−cost)d[a(t−sint)]=2πa3∫02π(t−sint−2tcost+2sintcost−sintcos2t+tcos2t)dt=6π3a3
例4 求由圆 ( x − 2 ) 2 + y 2 = 1 绕 x = − 1 (x-2)^2+y^2=1绕x=-1 (x−2)2+y2=1绕x=−1旋转而成旋转体的体积,如下图2.3-4所示:
解:方法一,积分变量取 y ,积分区间 [ − 1 , 1 ] v = ∫ − 1 1 [ π ( 2 + 1 − y 2 + 1 ) 2 − π ( 2 − 1 − y 2 + 1 ) 2 ] d x = 2 π ∫ 0 1 6 ⋅ 2 1 − y 2 d y = 24 π ( y 2 1 − y 2 + 1 2 arcsin x ) ∣ 0 1 = 6 π 2 方法二 , 积分变量取 x ,积分区间 [ 1 , 3 ] v = ∫ 1 3 2 π ( x + 1 ) ⋅ 2 1 − ( x − 2 ) 2 d x = 4 π ∫ 1 3 ( x + 1 ) 1 − ( x − 2 ) 2 ) d x 令 x − 2 = s i n t , t ∈ [ − π 2 , π 2 ] v = 4 π ∫ − π 2 π 2 ( sin t + 3 ) cos 2 t d t = 0 + 24 π ∫ 0 π 2 cos 2 t d t = 6 π 2 解:方法一,积分变量取y,积分区间[-1,1]\\ v=\int_{-1}^1[\pi(2+\sqrt{1-y^2}+1)^2-\pi(2-\sqrt{1-y^2}+1)^2]dx\\ =2\pi\int_0^16\cdot2\sqrt{1-y^2}dy=24\pi(\frac{y}{2}\sqrt{1-y^2}+\frac{1}{2}\arcsin x)|_0^1=6\pi^2\\ 方法二,积分变量取x,积分区间[1,3]\\ v=\int_1^3 2\pi(x+1)\cdot2\sqrt{1-(x-2)^2}dx=4\pi\int_1^3(x+1)\sqrt{1-(x-2)^2})dx\\ 令x-2=sin t,t\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\\ v=4\pi\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}(\sin t+3)\cos^2tdt=0+24\pi\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^2tdt=6\pi^2 解:方法一,积分变量取y,积分区间[−1,1]v=∫−11[π(2+1−y2+1)2−π(2−1−y2+1)2]dx=2π∫016⋅21−y2dy=24π(2y1−y2+21arcsinx)∣01=6π2方法二,积分变量取x,积分区间[1,3]v=∫132π(x+1)⋅21−(x−2)2dx=4π∫13(x+1)1−(x−2)2)dx令x−2=sint,t∈[−2π,2π]v=4π∫−2π2π(sint+3)cos2tdt=0+24π∫02πcos2tdt=6π2
例5 一平面经过半径为R的圆柱体底圆中心且与底面之角为 α \alpha α,计算平面截圆柱体所得立体的体积,如下图2.3-5所示:
解:取平面与圆柱体地面交线为
x
轴,地面上过圆心且垂直于
x
轴的直线为
y
轴,那么底原方程
x
2
+
y
2
=
R
2
A
(
x
)
=
1
2
R
2
−
x
2
⋅
R
2
−
x
2
⋅
tan
α
v
=
1
2
tan
α
∫
−
R
R
(
R
2
−
x
2
)
d
x
=
tan
α
∫
0
R
(
R
2
−
x
2
)
d
x
=
2
3
R
3
tan
α
解:取平面与圆柱体地面交线为x轴,地面上过圆心且垂直于x轴的直线为y轴,那么底原方程x^2+y^2=R^2\\ A(x)=\frac{1}{2}\sqrt{R^2-x^2}\cdot\sqrt{R^2-x^2}\cdot\tan\alpha\\ v=\frac{1}{2}\tan\alpha\int_{-R}^R(R^2-x^2) dx=\tan\alpha\int_0^R(R^2-x^2)dx\\ =\frac{2}{3}R^3\tan\alpha
解:取平面与圆柱体地面交线为x轴,地面上过圆心且垂直于x轴的直线为y轴,那么底原方程x2+y2=R2A(x)=21R2−x2⋅R2−x2⋅tanαv=21tanα∫−RR(R2−x2)dx=tanα∫0R(R2−x2)dx=32R3tanα
例6 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积,如下图所示:
解:取底圆所在平面为 x o y 平面,圆心 o 为原点,并使 x 轴与正劈锥的顶平行。底圆方程 x 2 + y 2 = R 2 A ( x ) = R 2 − x 2 h v = ∫ − R R A ( x ) d x = 2 h ∫ 0 R R 2 − x 2 d x = π R 2 h 2 解:取底圆所在平面为xoy平面,圆心o为原点,并使x轴与正劈锥的顶平行。底圆方程x^2+y^2=R^2\\ A(x)=\sqrt{R^2-x^2}h\\ v=\int_{-R}^RA(x)dx=2h\int_0^R\sqrt{R^2-x^2}dx=\frac{\pi R^2h}{2} 解:取底圆所在平面为xoy平面,圆心o为原点,并使x轴与正劈锥的顶平行。底圆方程x2+y2=R2A(x)=R2−x2hv=∫−RRA(x)dx=2h∫0RR2−x2dx=2πR2h
3 平面曲线的弧长
已知一平面曲线 y = f ( x ) , x ∈ [ a , b ] , f ( x ) y=f(x),x\in[a,b],f(x) y=f(x),x∈[a,b],f(x)具有一阶连续导,求该曲线弧KaTeX parse error: Undefined control sequence: \overparen at position 1: \̲o̲v̲e̲r̲p̲a̲r̲e̲n̲{AB}的长度,如下图3-1所示:
复习:弧微分 d s = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2} ds=(dx)2+(dy)2
以下我们省略求定积分的过程分隔、取近似值、求和、求极限
2.1 直接坐标系
弧长 s = ∫ a b 1 + ( y ′ ) 2 d x s=\int_a^b\sqrt{1+(y^{'})^2}dx s=∫ab1+(y′)2dx
例1 求 y = 2 3 x 3 2 y=\frac{2}{3}x^\frac{3}{2} y=32x23上相应于从 a 到 b a到b a到b的一段弧的长度,如下图2.1-1所示:
解:弧长
s
=
∫
a
b
1
+
(
y
′
)
2
d
x
=
∫
a
b
1
+
x
d
x
=
2
3
(
1
+
x
)
3
2
∣
a
b
=
2
3
[
(
1
+
b
)
3
2
−
(
1
+
a
)
3
2
]
解:弧长s=\int_a^b\sqrt{1+(y^{'})^2}dx=\int_a^b\sqrt{1+x}dx=\frac{2}{3}(1+x)^\frac{3}{2}|_a^b=\frac{2}{3}[(1+b)^\frac{3}{2}-(1+a)^\frac{3}{2}]
解:弧长s=∫ab1+(y′)2dx=∫ab1+xdx=32(1+x)23∣ab=32[(1+b)23−(1+a)23]
例2 计算半立方抛物线
y
2
=
2
3
(
x
−
1
)
3
y^2=\frac{2}{3}(x-1)^3
y2=32(x−1)3被抛物线
y
2
=
x
3
y^2=\frac{x}{3}
y2=3x截得的一段弧的长度,如下图2.1-2所示:
解:方程组 { y 2 = 2 3 ( x − 1 ) 3 , y 2 = x 3 的 x = 2 , y = ± 6 3 s = ∫ 1 2 1 + ( y ′ ) 2 d x = ∫ 1 2 1 + 3 2 ( x − 1 ) d x = 8 9 [ 5 2 3 2 − 1 ] 解:方程组 \begin{cases} &y^2=\frac{2}{3}(x-1)^3,\\ &y^2=\frac{x}{3} \end{cases} 的x=2,y=\pm\frac{\sqrt{6}}{3}\\ s=\int_1^2\sqrt{1+(y^{'})^2}dx=\int_1^2\sqrt{1+\frac{3}{2}(x-1)}dx\\ =\frac{8}{9}[\frac{5}{2}^\frac{3}{2}-1] 解:方程组{y2=32(x−1)3,y2=3x的x=2,y=±36s=∫121+(y′)2dx=∫121+23(x−1)dx=98[2523−1]
2.2 参数方程
设曲线
y
=
f
(
x
)
的参数方程为
y=f(x)的参数方程为
y=f(x)的参数方程为
{
x
=
ϕ
(
t
)
y
=
ξ
(
t
)
,
(
α
<
t
<
β
)
\begin{cases} x=\phi(t)\\ y=\xi(t) \end{cases} ,(\alpha\lt t\lt\beta)\\
{x=ϕ(t)y=ξ(t),(α<t<β)
在
[
α
,
β
]
[\alpha,\beta]
[α,β]上具有连续导数。
则 d s = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 = [ ϕ ′ ( t ) ] 2 + [ ξ ′ ( t ) ] 2 ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{[\phi^{'}(t)]^2+[\xi^{'}(t)]^2} ds=(dx)2+(dy)2=[ϕ′(t)]2+[ξ′(t)]2
s = ∫ α β [ ϕ ′ ( t ) ] 2 + [ ξ ′ ( t ) ] 2 d t s=\int_\alpha^\beta\sqrt{[\phi^{'}(t)]^2+[\xi^{'}(t)]^2}dt s=∫αβ[ϕ′(t)]2+[ξ′(t)]2dt
例题 计算摆线
{
x
=
a
(
θ
−
sin
θ
)
y
=
a
(
1
−
cos
θ
)
\begin{cases} x=a(\theta-\sin \theta)\\ y=a(1-\cos\theta) \end{cases}
{x=a(θ−sinθ)y=a(1−cosθ)
的一拱
(
0
≤
θ
≤
2
π
)
(0\le\theta\le2\pi)
(0≤θ≤2π)的长度,如下图2.2-1所示:
解: s = ∫ 0 2 π ( x ′ ) 2 + ( y ′ ) 2 d θ = ∫ 0 2 π a 2 ( 1 − cos θ ) 2 + a 2 sin 2 θ d θ = 2 a ∫ 0 2 π 1 − cos θ d θ = 8 a 解:s=\int_0^{2\pi}\sqrt{(x^{'})^2+(y^{'})^2}d\theta=\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2(1-\cos\theta)^2+a^2\sin^2\theta}d\theta\\ =\sqrt{2}a\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos\theta}d\theta=8a 解:s=∫02π(x′)2+(y′)2dθ=∫02πa2(1−cosθ)2+a2sin2θdθ=2a∫02π1−cosθdθ=8a
2.3 极坐标系
设曲线极坐标方程为 ρ = ρ ( θ ) , ( α < θ < β ) \rho=\rho(\theta),(\alpha\lt\theta\lt\beta) ρ=ρ(θ),(α<θ<β)。其中 ρ = ρ ( θ ) 在 [ α , β ] \rho=\rho(\theta)在[\alpha,\beta] ρ=ρ(θ)在[α,β]上具有连续导数。
则直接坐标系参数方程是
{
x
=
ρ
(
θ
)
⋅
cos
θ
y
=
ρ
(
θ
)
⋅
sin
θ
,
(
α
<
θ
<
β
)
\begin{cases} x=\rho(\theta)\cdot\cos\theta\\ y=\rho(\theta)\cdot\sin\theta \end{cases} ,(\alpha\lt \theta\lt\beta)
{x=ρ(θ)⋅cosθy=ρ(θ)⋅sinθ,(α<θ<β)
弧长元素:
d
s
=
(
d
x
)
2
+
(
d
y
)
2
d
θ
=
ρ
2
(
θ
)
+
(
ρ
′
(
θ
)
)
2
d
θ
ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}d\theta=\sqrt{\rho^2(\theta)+(\rho^{'}(\theta))^2}d\theta
ds=(dx)2+(dy)2dθ=ρ2(θ)+(ρ′(θ))2dθ
弧长: s = ∫ α β ρ 2 ( θ ) + ( ρ ′ ( θ ) ) 2 d θ s=\int_\alpha^\beta\sqrt{\rho^2(\theta)+(\rho^{'}(\theta))^2}d\theta s=∫αβρ2(θ)+(ρ′(θ))2dθ
例题:求阿基米德螺线 ρ = a θ ( a > 0 ) \rho=a\theta(a\gt0) ρ=aθ(a>0)相应于 θ 从 0 到 2 π \theta从0到2\pi θ从0到2π的弧长,如下图2.3-1所示:
解: s = ∫ 0 2 π ρ 2 ( θ ) + ( ρ ′ ( θ ) ) 2 d θ = ∫ 0 2 π a 2 θ 2 + a 2 d θ = a 2 [ 2 π 1 + 4 π 2 + ln ( 2 π + 1 + 4 π 2 ) ] 解:s=\int_0^{2\pi}\sqrt{\rho^2(\theta)+(\rho^{'}(\theta))^2}d\theta\\ =\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2\theta^2+a^2}d\theta=\frac{a}{2}[2\pi\sqrt{1+4\pi^2}+\ln(2\pi+\sqrt{1+4\pi^2})] 解:s=∫02πρ2(θ)+(ρ′(θ))2dθ=∫02πa2θ2+a2dθ=2a[2π1+4π2+ln(2π+1+4π2)]
结语
❓QQ:806797785
⭐️文档笔记地址:https://gitee.com/gaogzhen/math
参考:
[1]同济大学数学系.高等数学 第七版 上册[M].北京:高等教育出版社,2014.7.p276-286.
[2]同济七版《高等数学》全程教学视频[CP/OL].2020-04-16.p39.