边学边记——Java数据结构☞树和二叉树

news2024/11/15 21:51:21

一.树

1.定义

2.一些基本概念

3.树的表示形式

二.二叉树

1.概念

2.两种特殊的二叉树

3.二叉树的性质

4.二叉树的存储

5.二叉树的遍历（The traversal of A binary Tree）

一.树

1.定义

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

它具有以下的特点：

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点。
除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <=m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
树是递归定义的。
子树之间无交集。

2.一些基本概念

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度。
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度。
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点。（叶子结点：度==0，非叶子结点：度>0）
树的结点={叶子结点+非叶子结点}。
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点。（根结点没有双亲）
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点。
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点。
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推。
树的高度或深度：树中结点的最大层次。

树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：

非终端结点或分支结点：度不为0的结点。
兄弟结点（sinling node）：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点。
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟。
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点。
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。
森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林。

3.树的表示形式

通常（没有特殊要求的）情况下，树经常用链式结构表示（结点）。

树结构相对线性表就比较复杂，要存储表示起来就比较麻烦，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。

这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法：

class Node {
    int value; // 树中存储的数据
    Node firstChild; // 第一个孩子引用
    Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

二.二叉树

1.概念

二叉树（Binary Tree）：最多只有两个子树的树型结构，有序树。

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

或者为空。
或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

注意：

二叉树不存在度大于2的结点（值只有0，1，2）。
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.两种特殊的二叉树

(1). 满二叉树：

一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是 $2^{k}$ - 1 ，则它就是满二叉树。

(2). 完全二叉树：

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。

注意：

要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
按照层序在编号：给定一个结点的编号记为n，则该结点左孩子的编号为2 * n + 1，右孩子的编号为2 * n + 2。

3.二叉树的性质

(1). 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 (i>0)个结点。

(2). 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 (k>=0)

(3). 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1。

证明：一颗二叉树中，一共有n0个度为0的结点，n1个度为1的结点，n2个度为2的结点。由于二叉树中所有结点的度只能是0、1、2，所以整棵树的结点个数n = n0 + n1 + n2。

树中所有边数 m：

度为0的结点：0条边
度为1的结点：1条边
度为2的结点：2条边

所以边数 m = 0 * n0 + 1 * n1 + 2 * n2。

边数 = 结点个数 + 1，即n = m + 1，所以可以得到 n0 + n1 + n2 = 0 * n0 + 1 * n1 + 2 * n2 + 1，化简得到 n0 = n2 + 1。

(4). 具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2(n + 1)向上取整（+1）（根据求结点个数的公式 n = $2^{k}$ - 1 反推）。

(5). 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

        若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点;

        若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子;

        若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子。

4.二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，因为我们只关注二叉树的结点，而不关心二叉树本身，所以只写结点类，暂时没有树类。

如下：

// 孩子表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}


// 孩子双亲表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
    Node parent; // 当前节点的根节点
}

5.二叉树的遍历（The traversal of A binary Tree）

        遍历（traversal）：将一个容器中（无论按照什么结果组织）所有元素，按照一定的顺序，要求每个元素都必须经历一次，并且只经历一次。

        隐含：哪个元素在前，哪个元素在后 -> 线性结构。

                   即：二叉树（非线性）-> 遍历（线性）。

(1). 分类：

a. 深度优先的遍历：

NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点--->根的左子树--->根的右子树。
LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树--->根节点--->根的右子树
LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树--->根的右子树--->根节点

b. 广度优先的遍历：