一、多尺度边缘检测方法

多尺度边缘检测通过在不同分辨率/平滑度下分析图像，实现：

1. 粗尺度（大σ值）：抑制噪声，提取主体轮廓
2. 细尺度（小σ值）：保留细节，检测微观缺陷
3. 尺度融合：综合各层级特征形成完整边缘描述

1.1 数学表达（高斯尺度空间）

图像$$I(x,y)$$在尺度$$t$$（$$t={\sigma }^2$$）下的表示为：
$$L(x,y,t)=G(x,y,t)\ast I(x,y)$$
其中高斯核$$G(x,y,t)=\frac{1}{2\pi t}{e}^{-\frac{x^2+y^2}{2t}}$$

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1.2 典型案例

高斯金字塔多尺度Canny

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def multi_scale_canny(img, scales=[1.0, 2.0, 4.0]):
    # 初始化结果矩阵
    edges_stack = np.zeros_like(img, dtype=np.uint8)

    for sigma in scales:
        # 高斯模糊
        blurred = cv2.GaussianBlur(img, (0, 0), sigmaX=sigma)
        # 动态阈值Canny（阈值随尺度调整）
        low_thresh = int(30 * (sigma / 2.0))
        high_thresh = int(90 * (sigma / 2.0))
        edges = cv2.Canny(blurred, low_thresh, high_thresh)
        # 多尺度叠加
        edges_stack = cv2.bitwise_or(edges_stack, edges)

    return edges_stack

img = cv2.imread("../sports.jpg", 0)
result = multi_scale_canny(img, scales=[1.0, 2.0, 4.0])

plt.figure(figsize=(15, 5))
plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap='gray'), plt.title('Original')
plt.subplot(122), plt.imshow(result, cmap='gray'), plt.title('multi_scale_canny')
plt.show()

Laplacian of Gaussian（LoG）算子

Laplacian of Gaussian（LoG）是一种基于二阶导数的边缘检测方法，通过结合高斯平滑与拉普拉斯算子实现多尺度边缘检测，其核心优势在于：

1. 噪声免疫：高斯滤波先消除高频噪声，再进行边缘定位
2. 零交叉特性：通过检测二阶导数过零点（Zero-Crossing）精确定位边缘中心
3. 多尺度适应：调节高斯核σ值可控制边缘检测的粗细程度

数学表达式：
$$LoG(x,y)=-\frac{1}{\pi {\sigma }^4}\left(1-\frac{x^2+y^2}{2{\sigma }^2}\right)e^{-\frac{x^2+y^2}{2{\sigma }^2}}$$
实际应用中常使用离散近似核（如9×9核，σ=1.4）
代码例子

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成测试图像
img = np.zeros((300, 300), dtype=np.uint8)
cv2.rectangle(img, (50, 50), (250, 250), 200, 20)  # 灰色矩形框
img[120:180, 140:160] = 100  # 添加垂直划痕
img = cv2.GaussianBlur(img, (5, 5), 0.5)  # 模拟表面模糊

# LoG计算
gaussian = cv2.GaussianBlur(img, (9, 9), sigmaX=1.4)
laplacian = cv2.Laplacian(gaussian, cv2.CV_64F, ksize=3)

# 过零检测
log_edges = np.zeros_like(img, dtype=np.uint8)
h, w = laplacian.shape
for i in range(1, h - 1):
    for j in range(1, w - 1):
        # 检测相邻像素符号变化
        if (laplacian[i, j] * laplacian[i + 1, j] < 0) or \
                (laplacian[i, j] * laplacian[i, j + 1] < 0):
            log_edges[i, j] = 255

# 可视化
plt.figure(figsize=(15, 5))
plt.subplot(131), plt.imshow(img, cmap='gray'), plt.title('Original')
plt.subplot(132), plt.imshow(laplacian, cmap='jet'), plt.title('LoG Response')
plt.subplot(133), plt.imshow(log_edges, cmap='gray'), plt.title('Zero-Crossing Edges')
plt.show()

小波多分辨率检测

使用OpenCV的高斯金字塔模拟小波多尺度分解，通过残差计算提取高频信息，实现多分辨率边缘检测。

import cv2
import numpy as np

def opencv_wavelet_edge(img, levels=3):
    # 初始化高斯金字塔
    pyramid = [img.astype(np.float32)]
    
    # 构建高斯金字塔
    for _ in range(levels):
        layer = cv2.pyrDown(pyramid[-1])
        pyramid.append(layer)
    
    # 各尺度边缘检测
    edges = []
    for i in range(1, levels+1):
        # 上采样重建低频图像
        upsampled = cv2.pyrUp(pyramid[i], dstsize=pyramid[i-1].shape[::-1])
        
        # 计算高频残差（近似小波高频子带）
        residual = cv2.subtract(pyramid[i-1], upsampled)
        residual = cv2.normalize(residual, None, 0, 255, cv2.NORM_MINMAX)
        
        # 动态阈值Canny（基于尺度调整）
        thresh_low = 30 + 20*(i-1)
        thresh_high = 90 + 20*(i-1)
        edge_layer = cv2.Canny(np.uint8(residual), thresh_low, thresh_high)
        
        # 尺寸对齐（避免层级尺寸不匹配）
        if edge_layer.shape != img.shape:
            edge_layer = cv2.resize(edge_layer, img.shape[::-1])
        
        edges.append(edge_layer)
    
    # 多尺度融合（加权叠加）
    final = cv2.addWeighted(edges[0], 0.5, edges[1], 0.3, 0)
    if levels > 2:
        final = cv2.addWeighted(final, 0.7, edges[2], 0.2, 0)
    return final

# 使用示例
img = cv2.imread("sports.jpg", 0)
result = opencv_wavelet_edge(img, levels=3)

二、形态学方法

1.1 核心原理与基础操作

形态学方法基于集合论和结构元素对图像进行形状分析，主要操作包括：

操作类型	数学定义	视觉效果	工业应用场景
腐蚀	$$A\ominus B$$	收缩物体，消除细小噪声	去除塑料表面微小噪点
膨胀	$$A\oplus B$$	扩张物体，填充孔洞	连接断裂的注塑件边缘
开运算	$$(A\ominus B)\oplus B$$	平滑轮廓，保持主体形状	毛刺去除
闭运算	$$(A\oplus B)\ominus B$$	闭合小孔，连接邻近区域	气泡缺陷修复

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2.1 基础形态学操作

import cv2
import numpy as np

def morphology_optimization(edges):
    # 定义结构元素（十字形消除毛刺，椭圆形填充孔洞）
    kernel_cross = cv2.getStructuringElement(cv2.MORPH_CROSS, (3,3))
    kernel_ellipse = cv2.getStructuringElement(cv2.MORPH_ELLIPSE, (5,5))

    # 去噪：开运算消除孤立噪点
    cleaned = cv2.morphologyEx(edges, cv2.MORPH_OPEN, kernel_cross)
    
    # 连接：闭运算修复断裂边缘
    connected = cv2.morphologyEx(cleaned, cv2.MORPH_CLOSE, kernel_ellipse)
    
    # 细化处理（可选）
    thin = cv2.ximgproc.thinning(connected)
    return thin

canny_edges = cv2.Canny(img, 50, 150)  # 初始Canny边缘
kernel = np.ones((3, 3), np.uint8)
edges = cv2.dilate(canny_edges, kernel, iterations=1)
optimized_edges = morphology_optimization(canny_edges)