一、极大极小搜索（Minimax Algorithm）

在零和博弈（有完整信息的，确定的、轮流行动的，两个参与者收益之和为0的博弈）中，双方都希望自己获胜，因此每一步都选择对自己最有利，对对方最不利的做法。

假设我们是参与博弈的一方。我们用静态估计函数 $f (p)$ 来估计博弈双方的态势：

有利于我方的态势： $f (p) > 0$
有利于敌方的态势： $f (p) < 0$
双方均衡的态势： $f (p) = 0$

显然，我方希望 $f (p)$ 最大化，敌方希望 $f (p)$ 最小化。因此称我方为Max方，敌方为Min方。

在Max方的角度，因为是我们自己做决策，我们可以选择任意一种方案，所以我们只需选择收益最大的方案，也就是说每种方案之间是“或”的关系。
而对于Min方而言，因为是敌方做决策，我们无法控制敌方选择哪种策略，假设敌方足够聪明，我们应该假设敌方选择对他最有利的方案，也就是对我们最不利的方案、使我们收益最小的方案，所以对他而言每种方案之间是“与”的关系。

假设我们在进行动态博弈——你一步，我一步，且一方做完决策之后另一方知晓他所做的决策，那么我们可以把双方的行动展开成一棵树——博弈树。
在博弈树中，每个节点代表一种格局，每条边代表Max方或Min方的一步操作。那些下一步该Max方走的节点称为Max节点，下一步该Min方走的节点称为Min节点。

博弈树的特点：
(1) 博弈的初始状态是初始节点（假如Max方为先手，则初始节点为Max节点）；
(2) Max节点是“或”节点，Min节点是“与”节点，这两种节点逐层交替出现；
(3) 整个博弈过程始终站在一方（一般为Max方）的立场上。

博弈树上有以下几种节点：

端节点（叶节点）
与节点（Min节点）
或节点（Max节点）

其中，端节点可能是可解节点或非可解节点。使自己一方（Max方）获胜的为可解节点，使对方（Min）方获胜的为非可解节点。

对于当前的格局，我们的目标是找到一个最有利于自己获胜的策略。将当前棋局作为根节点，假设现在该Max方走了，Max方需要枚举根节点的所有子节点，来判断哪个子节点所对应的格局的静态估计函数的数值，那么这个节点对于Max方就最有利，Max方的下一步应该将格局转变为这个子节点的格局。

设 $f (u)$ 是节点 $u$ 所对应的格局的静态估计函数数值（也称效用值）。 $f (u)$ 越大，节点 $u$ 的格局对Max方越有利，对Min方越不利。显然，博弈树每层的节点类型的交替的——与节点、或节点、与节点、或节点、……，因为博弈双方是轮流采取行动的。

现在，要获得节点 $u$ 的 $f (u)$ 值，就需要进行极小极大搜索（min-max search）。极小极大搜索是指：在有限的深度范围内，使用深度优先搜索（DFS）算法，利用递归回溯从可能的走法中选择对自己最有利的走法，即让自己的收益最大、对手的收益最小。

博弈树

或节点（Max方）：该节点的效用值为所有子节点效用值的最大值。即：若节点 $u$ 为或节点且 $u$ 的子节点为 $v_1,v_2,\cdots,v_k$ ，则 $f(u)=\max\limits_{1\le i\le k}f(v_i)$ 。
与节点（Min方）：该节点的效用值为所有子节点效用值的最小值。即：若节点 $u$ 为与节点且 $u$ 的子节点为 $v_1,v_2,\cdots,v_k$ ，则 $f(u)=\min\limits_{1\le i\le k}f(v_i)$ 。
端节点：这类节点的效用值取决于具体问题。

由此我们可以归纳出极小极大搜索算法（Minimax Algorithm）的一般步骤：
(1) 利用广度优先搜索算法生成Max方当前状态下可猜测的 $k$ 步博弈树；
(2) 定义静态估计函数，计算端节点的效用值；
(3) 回溯评估：利用极大极小运算自下而上逐层推出各节点的效用值，其中在Max节点取最大值，在Min节点取最小值；
(4) 根据当前状态子节点的效用值做出最优决策，状态转移到子节点的状态，对方变为Max方，回到(1)开始新的搜索。
极大极小搜索过程

例（井字棋）给定一个 $3\times3$ 的棋盘，Max方和Min方轮流走棋，每次仅能在空格摆一个自己的棋，自己的棋子三个连成一线即为获胜。
规定估计函数 $f (p)$ 为：

若格局 $p$ 是Max方获胜，则 $f(p)=+\infty$ ；
若格局 $p$ 是Min方获胜，则 $f(p)=-\infty$ ；
若双方均未获胜，则 $f(p)=f_{\max}(p)-f_{\min}(p)$ ，其中
- $f_{\max}(p)$ 表示所有空格全放上Max方的棋子后三子一线的总数，
- $f_{\min}(p)$ 表示所有空格全放上Min方的棋子后三子一线的总数。
  
  那么，先手做出第一步决策的过程是这样的：

井字棋
搜索过程中将很多对称的情况合并为一个情况，给出了 $k = 2$ 步博弈树，并确定最优策略为走中间。

极大极小搜索过程比较简单，但当考虑的步数过多后就会导致博弈树太大、搜索效率变低，需要进行优化。

二、α-β剪枝（Alpha-Beta Pruning）

α-β剪枝是一种优化方法，在博弈树生成的过程中同时计算各节点的估计值及倒推值，通过对估值的上下限进行估计，减去没有用的分支，减少搜索范围，提高效率。

α-β剪枝的基本思想：

“或”节点（Max方）：取当前子节点中效用值的极大值为该节点效用值的下界，称为α（α≥该极大值），只有当下一个节点的值大于α才会被选择
“与”节点（Min方）：取当前子节点中效用值的极小值为该节点效用值的上界，称为β（β≤该极小值），只有当下一个节点的值小于α才会被选择

α：目前Max方可以搜索到的最好值，初始值为 $-\infty$
β：目前Min方可以接受的最坏值，初始值为 $+\infty$

注意：
设节点 $u$ 为或节点， $u$ 的效用值为 $f (u)$ ， $f(u)\ge\alpha$ 不一定成立。
同理，设 $v$ 为与节点， $v$ 的效用值为 $f (v)$ ， $f(v)\le\beta$ 也不一定成立。
α，β是中间量，它们的作用是排除对结果没有影响的分支，不能决定最终节点的效用值。

或节点（Max方）α剪枝规则：
设当前节点为 $u$ ， $u$ 是或节点，则 $u$ 的子节点都是与节点或端节点，设为 $v_1,v_2,\cdots,v_k$ 。我们在扫描 $v_1,v_2,\cdots,v_k$ 的过程中，若发现 $v_i$ 的β值小于等于其任何祖先节点的α值时，则对该节点以下的分支停止搜索，且 $v_i$ 的最终倒推值就是其β值（可能与未加优化的极大极小搜索的结果不同）。

与节点（Min方）β剪枝规则：
设当前节点为 $v$ ， $v$ 是与节点，则 $v$ 的子节点都是或节点或端节点，设为 $u_1,u_2,\cdots,u_k$ 。我们在扫描 $u_1,u_2,\cdots,u_k$ 的过程中，若发现 $u_i$ 的α值大于等于其任何祖先节点的β值时，则对该节点以下的分支停止搜索，且 $u_i$ 的最终倒推值就是其α值（可能与未加优化的极大极小搜索的结果不同）。

用一个实际的例子来说明：如果你和一个人在下棋，现在轮到你走。现在你有两种选择：走“A”或者走“B”。如果走“A”，那么你的局势会变好。走“B”也比较好，但是如果你走“B”的话，对方可以在两步之内获胜，这对你是非常不利的。也就是说，你考虑到了走“B”的最坏结果，那么其他可能的结果就可以不考虑了（因为对手不傻，肯定会想方设法使你败北），那么你相当于在博弈树中剪掉了“B”的其他情况。最终，因为“A”至少不会让你在两步以内输棋，所以你选择走“A”。（摘自维基百科）

核心思想是：如果存在一个比某一分支更好的走法，那么就不考察这一分支。

α-β剪枝的一个Python实现：

# encoding: GB2312

tree = [ # 博弈树的结构
    [
        [
            [4, 8, 6],
            [1, 9]
        ],
        [
            [5, 8],
            [-1, 2]
        ]
    ],
    [
        [
            [0, 3],
            [-6, 6]
        ],
        [
            [1],
            [0, 9, -7]
        ]
    ]
]

def is_terminal(node): # 判断是否为端节点
    return isinstance(node, int)

infinity = int(1e10) # 无穷大

def alpha_beta(node, alpha, beta, ismax):
    # node: 当前节点
    # ismax: 若为True则当前节点是Max节点，否则为Min节点
    # 当node为Max节点时，alpha为当前节点的α，beta为父节点的β
    # 当node为Min节点时，alpha为父节点的α，beta为当前节点的β
    if is_terminal(node):
        return node # 若当前节点为端节点，直接返回其效用值
    if ismax:
        value = -infinity # 当前节点的效用值
        for child in node:
            value = max(value,
                alpha_beta(child, alpha, beta, False))
                # 当前节点的效用值是子节点效用值的最大值
            alpha = max(alpha, value)
            if value >= beta:
                # 这个子节点的效用值不小于beta，不可能被选择
                break # 进行β剪枝
        return value
    else:
        value = +infinity
        for child in node:
            value = min(value,
                alpha_beta(child, alpha, beta, True))
            beta = min(beta, value)
            if value <= alpha:
                # 这个子节点的效用值不大于alpha，不可能被选择
                break # alpha剪枝
        return value

print(alpha_beta(tree, -infinity, +infinity, True))

三、解题技巧

对于我们的期末考试而言，给你一棵树，请问需要在哪里剪枝。其实我们并不需要搞那些α，β什么的，只需要简单的逻辑就能算出来。

考虑下面的树：

首先我们假设路线是 $Q\to P\to J\to A\to R$ 。现在考虑节点 $A$ 。Min方不选择去 $R$ 而是选择去其他端节点的条件是什么呢？是其他端节点的效用值小于 $f (R) = 4$ 。但是 $f (S) = 8$ 和 $f (T) = 6$ 都大于 $4$ ，所以Min方还是选择去 $R$ 。所以 $f(A)=\min\{4,8,6\}=4$ 。

现在考虑节点 $J$ 。Max方选择去 $B$ 而不是去 $A$ 的条件是什么呢？就是 $f (B) > f (A) = 4$ 。而 $f(B)=\min\{f(U),f(V)\}$ ，所以转化为 $min\{f(U),f(V)\}>4$ ，即 $[f(U)>4]\land[f(V)>4]$ 这是一个且的关系。现在 $f (U) = 1$ ， $f (U) > 4$ 已经不满足了，所以这个且的关系肯定不成立，不论 $f (V)$ 是多少都不可能成立，所以Max方不会去 $B$ 。因此要把 $V$ 剪掉， $f (J) = f (A) = 4$ 。

再考虑节点 $P$ 。Min方去 $K$ 而不是去 $J$ 的条件是什么呢？就是 $f (K) < f (J) = 4$ 。而 $f(K)=\max\{f(C),f(D)\}$ ，故转化为 $[f(C)<4]\land[f(D)<4]$ 又 $f(C)=\min\{f(W),f(X)\}$ ， $f(D)=\min\{f(Y),f(Z)\}$ ，又转化为 $\{[f(W)<4]\lor[f(X)<4]\}\land\{[f(Y)<4]\lor[f(Z)<4]\}$ 其中 $f (W) = 5$ 、 $f (X) = 8$ ，都不小于 $4$ ，所以 $[f(W)<4]\lor[f(X)<4]$ 不成立，那么 $f (K) < 4$ 也不可能成立，所以就没必要考察 $D$ 了，把 $D$ 剪掉，并令 $f (P) = 4$ 。

再考虑节点 $Q$ 。Max方不去 $P$ 而是去 $N$ 的节点是什么呢？是 $f (N) > f (P) = 4$ 。而 $f(N)=\min\{f(L),f(M)\}$ ，故转化为 $[f(L)>4]\land[f(M)>4]$ 而 $f(L)=\max\{f(E),f(F)\}$ ， $f(M)=\max\{f(G),f(H)\}$ ，故转化为 $\{[f(E)>4]\lor[f(F)>4]\}\land\{[f(G)>4]\lor[f(H)>4]\}$ 又 $f(E)=\min\{f(\Delta),f(\Omega)\}$ ， $f(F)=\min\{f(\Psi),f(\Sigma)\}$ ， $f(G)=f(\Pi)$ ， $f(H)=\min\{f(\Phi),f(\Gamma),f(\Xi)\}$ ，故转化为 $\{[f(\Delta)>4\land f(\Omega)>4]\lor[f(\Psi)>4\land f(\Sigma)>4]\}\land\{[f(\Pi)>4]\lor[f(\Phi)>4\land f(\Gamma)>4\land f(\Xi)>4]\}$ 观察这个式子。这个式子成立，需要 $\{[f(\Delta)>4\land f(\Omega)>4]\lor[f(\Psi)>4\land f(\Sigma)>4]\}$ 和 $\{[f(\Pi)>4]\lor[f(\Phi)>4\land f(\Gamma)>4\land f(\Xi)>4]\}$ 都成立。而前者成立，只需使 $[f(\Delta)>4\land f(\Omega)>4]$ 或 $[f(\Psi)>4\land f(\Sigma)>4]$ 成立。
现在 $f(\Delta)=0$ 不大于 $4$ ，故 $[f(\Delta)>4\land f(\Omega)>4]$ 不成立，不论 $f(\Omega)$ 为何值，因此剪掉 $\Omega$ 。而 $f(\Psi)=-6$ 也不大与4，故 $[f(\Psi)>4\land f(\Sigma)>4]$ 不成立，不论 $f(\Sigma)$ 为和值，因此剪掉 $\Sigma$ 。这意味着， $\{[f(\Delta)>4\land f(\Omega)>4]\lor[f(\Psi)>4\land f(\Sigma)>4]\}$ 不成立。那么 $f (N) > f (P)$ 的条件就已经不能满足了， $N$ 这边彻底没戏了，所以把剩下没去过的的都剪掉——也就是把 $M$ 剪掉。最后， $f (Q) = f (P) = 4$ ，也就是说在 $Q$ 状态下Max方选择去 $P$ 。