波士顿房价预测

目标

这是一个经典的机器学习回归场景，我们利用Python和numpy来实现神经网络。该数据集统计了房价受到13个特征因素的影响，如图1所示。
在这里插入图片描述对于预测问题，可以根据预测输出的类型是连续的实数值，还是离散值，区分是回归还是分类问题。**因为房价是一个连续值，这是一个回归任务。**下面利用简单的线性回归来解决这个问题，并利用神经网络来实现这个模型。

线性回归模型

假设房价和各个影像因素之间的函数关系是：
$\sum_{j=1}^{M}x_jw_j + b$
模型的目标就是通过拟合数据来求出 $w_j$ 和 $b$ 两个参数。线性回归模型采用均方误差MSE损失函数（ $L oss$ ）,用以衡量预测房价和真实值的差异，公式：

$MSE=\frac{1}{N}\sum_{i=1}{N}(Y_i^{\wedge} - Y_i)^2$

思考：为什么要以均方误差为损失函数？考虑到便于求解。

线性回归的神经网络结构

神经网络结构就是一个个神经元加层来组成。线性回归认为是神经网络模型的一种简单特例，是一个只有加权求和，没有非线性变换的神经元，如图2:。
在这里插入图片描述
两层神经网络

深度学习不仅实现了模型的端到端学习，还推动了人工智能进入工业大生产阶段，产生了标准化、自动化和模块化的通用框架。不同场景的深度学习模型具备一定的通用性，五个步骤即可完成模型的构建和训练。如图3所示。
在这里插入图片描述 ### 数据处理

数据探查

import numpy as np
import json
# 读入训练数据
datafile = './work/housing.data'
data = np.fromfile(datafile, sep=' ')

数据变形

feature_names = [ 'CRIM', 'ZN', 'INDUS', 'CHAS', 'NOX', 'RM', 'AGE','DIS', 
                 'RAD', 'TAX', 'PTRATIO', 'B', 'LSTAT', 'MEDV' ]
feature_num = len(feature_names)
data = data.reshape([data.shape[0] // feature_num, feature_num])
print(data.shape) # 将数据做了转化样本总数是506个样本

划分数据集
将数据集划分训练集和测试集，训练集用于确定模型的参数，测试集用于评估模型的效果。图5：
上学时总有一些自作聪明的同学，平时不认真学习，考试前临阵抱佛脚，将习题死记硬背下来，但是成绩往往并不好。因为学校期望学生掌握的是知识，而不仅仅是习题本身。另出新的考题，才能鼓励学生努力去掌握习题背后的原理。同样我们期望模型学习的是任务的本质规律，而不是训练数据本身，模型训练未使用的数据，才能更真实的评估模型的效果。

# 数据集划分操作
ratio = 0.8
offset = int(data.shape[0] * ratio)
training_data = data[:offset]
training_data.shape
# print(data.shape)

数据集归一化
利用最大值最小值归一方法，使得每个特征的值都是被缩放到[0,1]之间，这样做的好处有：1、模型训练更加高效，特征前的权重大小可以代表该变量对预测结果的贡献度。

maximums, minimums = \
                     training_data.max(axis=0), \
                     training_data.min(axis=0), 
# 对数据进行归一化处理
for i in range(feature_num):
    data[:, i] = (data[:, i] - minimums[i]) / (maximums[i] - minimums[i])

将上述过程封装为函数

def load_data():
    # 从文件导入数据
    datafile = './work/housing.data'
    data = np.fromfile(datafile, sep=' ')

    # 每条数据包括14项，其中前面13项是影响因素，第14项是相应的房屋价格中位数
    feature_names = [ 'CRIM', 'ZN', 'INDUS', 'CHAS', 'NOX', 'RM', 'AGE', \
                      'DIS', 'RAD', 'TAX', 'PTRATIO', 'B', 'LSTAT', 'MEDV' ]
    feature_num = len(feature_names)

    # 将原始数据进行Reshape，变成[N, 14]这样的形状
    data = data.reshape([data.shape[0] // feature_num, feature_num])

    # 将原数据集拆分成训练集和测试集
    # 这里使用80%的数据做训练，20%的数据做测试
    # 测试集和训练集必须是没有交集的
    ratio = 0.8
    offset = int(data.shape[0] * ratio)
    training_data = data[:offset]

    # 计算训练集的最大值，最小值
    maximums, minimums = training_data.max(axis=0), \
                            training_data.min(axis=0)
    # 对数据进行归一化处理
    for i in range(feature_num):
        data[:, i] = (data[:, i] - minimums[i]) / (maximums[i] - minimums[i])

    # 训练集和测试集的划分比例
    training_data = data[:offset]
    test_data = data[offset:]
    return training_data, test_data

获取数据

# 获取数据
training_data, test_data = load_data()
x = training_data[:, :-1]
y = training_data[:, -1:] # 实际值

模型设计

一层神经网络设计

模型的设计是深度学习模型关键要素之一，称为网络结构。相当于模型的假设空间，既是实现模型的“前向计算”（从输入到输出）过程。
如果将输入和输出都用向量表示，输入特征x有13个向量，y有1个向量。那么权重参数就是13*1。

w = [0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, -0.1, -0.2, -0.3, -0.4, 0.0] #第一层的权重参数
w_t = np.array(w).reshape([13, 1]) # 相当于矩阵的转置
w_t.shape
# 一个特征列就是一个向量

假设第一个样本x[0]和一层神经网络进行运算。 $y=x.w^T$ 运算逻辑。其中 $x[0]={x_1,x_2,...x_{13}}$ ，x [0]的shape是（1,13）, $w^T$ 的维度是(13,1)，刚好满足两个矩阵乘法的运算原则。

x1=x[0] #获取第一个样本
print(x1.shape)
t = np.dot(x1, w_t) 
print(t.shape) 
# 我们发现样本的特征向量与参数向量相乘的结果是scaler。
# 矩阵的乘法（1,13）(13,1) A*B其中A的列要和B的行相等才可进行矩阵的乘法运算。
b = -0.2
z = t + b
print(z)

完整的线性回归计算公式是: $z = t + b$ ，b是初始化偏移量，以上从特征[0]到计算输出值的过程就是“前向计算”。
定义一个类方便后面调用：

class MyNetwork(object):
    def __init__(self, num_of_weights):
        np.random.seed(0)
        self.w = np.random.randn(num_of_weights,1)
        self.b = 0.

    def forward_m(self,x):
        # 表示的是前向计算
        res = np.dot(x,self.w) +self.b
        return res

二层神经网络

定义两层的神经网络，其中需要注意的地方：输入数据是直接和第一层进行 $x.w^T$ 运算，第一层每个神经元的输出则是做为第二层每个神经元的输入x。那么在第二层神经运算是 $w . x$ ，就是对应位置元素相乘 $x_1^1.w_1^1,x_1^2.w_1^2,x_1^3.w_1^3,...x_1^{13}.w_1^{13}]$ ，在与第二层的权值参数 $w_2$ 进行运算。

# 定义两层神经网络输出
class My2Network(object):
    def __init__(self, num_of_weights):
        np.random.seed(0)
        # 两层神经网络共享权值w 
        self.w = np.random.randn(num_of_weights,1)
        self.ww = np.random.randn(num_of_weights,1)
        self.b = 0.

    def forword(self,x):
        # 前向计算有两层神经网络
        z_1 = np.dot(x,self.w)
        # 计算第一层输出做为第二层的输入
        out_1 = self.w.reshape([1,13]) * x
        z_2 = np.dot(out_1,self.ww)
        return z_1 + z_2 + self.b

训练配置

模型设计完成后，需要通过训练配置寻找模型的最优值，即通过损失函数来衡量模型的好坏。训练配置也是深度学习模型关键要素之一。
通过模型计算 $x_1$ 表示的影响因素所对应的房价应该是z, 但实际数据告诉我们房价是y。这时我们需要有某种指标来衡量预测值z跟真实值y之间的差距。对于回归问题，最常采用的衡量方法是使用均方误差作为评价模型好坏的指标，公式为:
$Loss = (y-z)^2$
Loss就是损失函数，衡量模型好坏的指标。在回归问题中一般是均方误差作为损失函数，而在分类问题中采用交叉熵作为损失函数。
$x_1$ 样本的损失：

loss = (y_1 - res_1)*(y_1-res_1)
print(loss)

因为在计算损失函数需要把每个样本的损失函数得到，求和在平均。
$Loss=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(y_i - z_i)^2$
在前Network类中增加loss函数。

class Network(object):
    def __init__(self, num_of_weights):
        # 随机产生w的初始值
        # 为了保持程序每次运行结果的一致性，此处设置固定的随机数种子
        np.random.seed(0)
        self.w = np.random.randn(num_of_weights, 1)
        self.b = 0.
        
    def forward(self, x):
        z = np.dot(x, self.w) + self.b
        return z
    
    def loss(self, z, y):
        error = z - y
        cost = error * error
        cost = np.mean(cost)
        return cost

训练过程

在模型的前面两部完成，接下来就是求解参数 $w ， b$ 的数值，这就是模型训练的过程。求解w和b使得损失函数取得极小值。
$e g .$ 下面给出一个微积分的案例：一个曲线在某点的导数。导数等于在该点处的切线的斜率。
在这里插入图片描述
上图曲线在极值点处的斜率等于0，既是函数的极值点。那么损失函数的取值为下面方程组的解：
$\frac{\partial L}{\partial w} = 0$
$\frac{\partial L}{\partial b} = 0$
上述两个方程组的解就是最后模型训练获取到的参数。但是这种方法有个缺点：当模型中含有非线性变换，则不好计算。我们引入一种普世的方法——梯度下降法。

梯度下降算法
在现实中存在大量函数正向求解容易，但是反向求解不容易，被称为单向函数。神经网络的损失函数就是单向函数。
这种情况我们可以在现实生活中类比一个想从山峰走到山谷的盲人。他看不见山谷在哪儿（无法逆向求解损失函数为0时的参数值），但是可以伸出脚探索身边的坡度(当前点的导数，梯度)。所以求解Loss的最小值过程就是：在从当前参数取值，一步步按照梯度的反方向下降。直到到达最低点。
下面。我们随机从损失函数中去参数 $w_5,w_9$ 看看他们的变化情况。
$L=L(w_5,w_9)$
我们将 $w_0,w_1,...2_{12}]$ 中除去 $w_5,w_9$ 之前的参数和b全部固定下来。可以用图画出 $L(w_5,w_9)$ 的形式。

net = Network(13)
losses = []
#只画出参数w5和w9在区间[-160, 160]的曲线部分，以及包含损失函数的极值
w5 = np.arange(-160.0, 160.0, 1.0)
w9 = np.arange(-160.0, 160.0, 1.0)
losses = np.zeros([len(w5), len(w9)])

#计算设定区域内每个参数取值所对应的Loss
for i in range(len(w5)):
    for j in range(len(w9)):
        net.w[5] = w5[i]
        net.w[9] = w9[j]
        z = net.forward(x)
        loss = net.loss(z, y)
        losses[i, j] = loss

#使用matplotlib将两个变量和对应的Loss作3D图
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)

w5, w9 = np.meshgrid(w5, w9)

ax.plot_surface(w5, w9, losses, rstride=1, cstride=1, cmap='rainbow')
plt.show()