【 1、欧拉公式的频谱】

对于余弦信号 $cos(2\pi f_0 t)=\frac{1}{2}e^{j2\pi f_0 t}+\frac{1}{2}e^{-j2\pi f_0 t}$ ，对上式进行傅里叶变换得到
$X_{cos(2\pi f_0t)}(f)=\frac{1}{2}\delta (f-f_0)+\frac{1}{2}\delta (f+f_0)$
相应的，对于正弦信号 $sin(2\pi f_0 t)=\frac{1}{2}je^{-j2\pi f_0 t}-j\frac{1}{2}e^{-j2\pi f_0 t}$ ，其傅里叶变换为
$X(f)_{sin(2\pi f_0t)}(f)=\frac{1}{2}j\delta (f+f_0)-\frac{1}{2}j\delta (f-f_0)$
反应在频谱上，为
下面将正弦信号 $sin(2\pi f_0 t)$ 乘以 j （原信号乘以j相当于其频谱在复平面上逆时针旋转90°），再与余弦信号 $cos(2\pi f_0 t)$ 相加，得到： $e^{j2\pi f_0 t}=cos(2\pi f_0 t)+jsin(2\pi f_0 t)$ ，其频谱可表示为：
将一个时域信号乘以复指数信号 $e^{j2\pi f_0 t}$ ，可以使频谱向上搬移 $f_0$ Hz，该过程被称为 正交混频（也称为复混频）；类似的，将一个时域信号乘以复指数信号 $e^{j2\pi f_0 t}$ ，可以将其频谱向下搬移 $f_0$ Hz。即傅里叶变换的频移公式： $e^{±j2\pi f_0t }f(t)=X(f∓f_0)$ 。

【 2、模拟正交采样】

如下图 a 所示，为正交采样的过程，输入带通信号 $x_{bp}(t)$ 分别与 $cos(2\pi f_0 t)$ 、 $-sin(2\pi f_0 t)$ 相乘，得到 $x_i(t)$ 、 $x_q(t)$ ；再经 LPF低通滤波器，得到低通分量 $i (t) 、 q (t)$ ；最后经过模数转换器，得到数字量 $i (n) 、 q (n)$ ，并合成为解析信号 $x_c(n)=i(n)+q(n)$ ，后面几图分别为各分量的频谱。