AVL 树实现

news2024/12/23 7:25:30

AVL 树的概念

也许因为插入的值不够随机，也许因为经过某些插入或删除操作，二叉搜索树可能会失去平衡，甚至可能退化为单链表，造成搜索效率低。

二叉树不平衡

AVL Tree 是一个「加上了额外平衡条件」的二叉搜索树，其平衡条件的建立是为了确保整棵树的深度为 O ( l o g 2 N ) O(log_2N) O(log2​N)。

AVL Tree 要求任何节点的左右子树高度相差最多为 1。当违反该规定时，就需要进行旋转来保证该规定。

AVL 树的实现

节点的定义

AVL 树节点的定义比一般的二叉搜索树复杂，它需要额外一个 parent 指针，方便后续旋转。并在每个节点中引入平衡因子，便于判断是否需要旋转。

/// @brief AVL 树节点结构
/// @tparam K 节点的 key 值
/// @tparam V 节点的 value 值
template <class K, class V>
struct AVLTreeNode {
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv) 
		: _kv(kv)
		, _parent(nullptr)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _bf(0)
	{}

	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
    // 左右子树高度相同平衡因子为：0
    // 左子树高平衡因子为负
    // 右子树高平衡因子为正
	int _bf;
};

接口总览

template<class K, class V>
class AVLTree {
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	Node* Find(const K& key);
	bool Insert(const pair<K, V>& kv);

private:
	void RotateR(Node* parent);
	void RotateL(Node* parent);
	void RotateLR(Node* parent);
	void RotateRL(Node* parent);
private:
	Node* _root = nullptr;
};

查找

AVL 树的查找和普通的搜索二叉树一样：

  • 若 key 值大于当前节点的值，在当前节点的右子树中查找
  • 若 key 值小于当前节点的值，在当前节点的左子树中查找
  • 若 key 值等于当前节点的值，返回当前节点的地址
  • 若找到空，查找失败，返回空指针
/// @brief 查找指定 key 值
/// @param key 要查找的 key
/// @return 找到返回节点的指针，没找到返回空指针
Node* Find(const K& key) {
    Node* cur = _root;
    while (cur != nullptr) {
        // key 值与当前节点值比较
        if (key > cur->_kv.first) {
            cur = cur->_right;
        } else if (key < cur->_kv.first) {
            cur = cur->_left;
        } else {
            return cur;
        }
    }
    return nullptr;
}

插入

AVL 的插入整体分为两步：

  1. 按照二叉搜索树的方式将节点插入
  2. 调整节点的平衡因子

平衡因子是怎么调整的？

设新插入的节点为 pCur，新插入节点的父节点为 pParent。在插入之前，pParent 的平衡因子有三种可能：0、-1、1。

插入分为两种：

  • pCur 插入到 pParent 的左侧，将 pParent 的平衡因子减 1
  • pCur 插入到 pParent 的右侧，将 pParent 的平衡因子加 1

此时，pParent 的平衡因子可能有三种情况：0、正负 1、正负 2。

  1. 0：说明插入之前是正负 1，插入后被调整为 0，满足 AVL 性质插入成功
  2. 正负 1：说明插入之前是 0，插入后被调整为正负 1，此时 pParent 变高，需要继续向上更新
  3. 正负 2：说明插入之前是正负 1，插入后被调整为正负 2，此时破坏了规定，需要旋转处理
/// @brief 插入指定节点
/// @param kv 待插入的节点
/// @return 插入成功返回 true，失败返回 false
bool Insert(const pair<K, V>& kv) {
    if (_root == nullptr) {
        _root = new Node(kv);
        return true;
    }

    // 先找到要插入的位置
    Node* parent = nullptr;
    Node* cur = _root;
    while (cur != nullptr) {
        if (kv.first > cur->_kv.first) {
            parent = cur;
            cur = cur->_right;
        } else if (kv.first < cur->_kv.first) {
            parent = cur;
            cur = cur->_left;
        } else {
            // 已经存在，插入失败
            return false;
        }
    }

    // 将节点插入
    cur = new Node(kv);
    if (kv.first > parent->_kv.first) {
        parent->_right = cur;
        cur->_parent = parent;
    } else {
        parent->_left = cur;
        cur->_parent = parent;
    }

    // 更新平衡因子，直到正常
    while (parent != nullptr) {
        // 调整父亲的平衡因子
        if (parent->_left == cur) {
            --parent->_bf;
        } else {
            ++parent->_bf;
        }

        if (parent->_bf == 0) {
            // 此时不需要再继续调整了，直接退出
            break;
        } else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) {
            // 此时需要继续向上调整
            cur = parent;
            parent = parent->_parent;
        } else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) {
            // 此时需要旋转处理
            if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) {
                RotateR(parent);
            } else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) {
                RotateL(parent);
            } else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1) {
                RotateLR(parent);
            } else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1) {
                RotateRL(parent);
            } else {
                assert(false);
            }
            // 旋转完了就平衡了，直接退出
            break;
        } else {
            // 此时说明之前就处理错了
            assert(false);
        } // end of if (parent->_bf == 0)
    } // end of while (parent != nullptr)
    return true;
}

旋转

假设平衡因子为正负 2 的节点为 X，由于节点最多拥有两个子节点，因此可以分为四种情况：

  1. 插入点位于 X 的左子节点的左子树——左左：右单旋
  2. 插入点位于 X 的左子节点的右子树——左右：左右双旋
  3. 插入点位于 X 的右子节点的右子树——右右：左单旋
  4. 插入点位于 X 的右子节点的左子树——右左：右左双旋

AVL 破坏

右单旋

单旋

假设平衡因子为正负 2 的节点为 parent，parent 的父节点为 pParent，parent 的左子树为 subL，subL 的右子树为 subLR。

右单旋的操作流程：

  1. 让 subLR 作为 parent 的左子树
  2. 让 parent 作为 subL 的右子树
  3. 让 subL 作为整个子树的新根
  4. 更新平衡因子
/// @brief 进行右单旋
/// @param parent 平衡因子为正负 2 的节点
void RotateR(Node* parent) {
    Node* pParent = parent->_parent;
    Node* subL = parent->_left;
    Node* subLR = parent->_left->_right;

    // 更改链接关系
    // 1. subLR 作为 parent 的左子树
    parent->_left = subLR;
    if (subLR != nullptr) {
        subLR->_parent = parent;
    }
    // 2. parent 作为 subL 的右子树
    subL->_right = parent;
    parent->_parent = subL;

    // 3. subL 作为整个子树的新根
    if (parent == _root) {
        // parent 为 _root，此时令 subL 为 _root
        _root = subL;
        subL->_parent = nullptr;
    } else {
        // parent 不为 _root，pParent 也就不为空
        if (parent == pParent->_left) {
            pParent->_left = subL;
        } else {
            pParent->_right = subL;
        }
        subL->_parent = pParent;
    }

    // 4. 更新平衡因子
    // 观察上图明显可知
    subL->_bf = 0;
    parent->_bf = 0;
}

左单旋

左单旋与右单旋类似，只是方向不同。

假设平衡因子为正负 2 的节点为 parent，parent 的父节点为 pParent，parent 的右子树为 subR，subR 的左子树为 subRL。

左单旋的操作流程：

  1. 让 subRL 作为 parent 的右子树
  2. 让 parent 作为 subR 的左子树
  3. 让 subR 作为整个子树的新根
  4. 更新平衡因子
/// @brief 进行左单旋
/// @param parent 平衡因子为正负 2 的节点
void RotateL(Node* parent) {
    Node* pParetn = parent->_parent;
    Node* subR = parent->_right;
    Node* subRL = parent->_right->_left;

    // 更改链接关系
    // 1. subRL 作为 parent 的右子树
    parent->_right = subRL;
    if (subRL != nullptr) {
        subRL->_parent = parent;
    }
    // 2. parent 作为 subR 的左子树
    subR->_left = parent;
    parent->_parent = subR;

    // 3. subR 作为整个子树的新根
    if (parent == _root) {
        _root = subR;
        subR->_parent = nullptr;
    } else {
        if (parent == pParetn->_left) {
            pParetn->_left = subR;
        } else {
            pParetn->_right = subR;
        }
        subR->_parent = pParetn;
    }

    // 4. 更新平衡因子
    subR->_bf = 0;
    parent->_bf = 0;
}

左右双旋

双旋1

假设平衡因子为正负 2 的节点为 parent，parent 的左子树为 subL，subL 的右子树为 subLR。

左右双旋就是对 subL 进行一次左单旋，对 parent 进行一次右单旋。双旋也就完成了，要注意的是双旋后平衡因子的更新。

此时分三种情况：

  1. 新插入的节点是 subLR 的右子树

双旋更新1

  1. 新插入的节点是 subLR 的左子树

双旋更新2

  1. 新插入的是 subLR

双旋更新3

结合上述情况，写出如下代码：

/// @brief 进行左右双旋
/// @param parent 平衡因子为正负 2 的节点
void RotateLR(Node* parent) {
    Node* subL = parent->_left;
    Node* subLR = parent->_left->_right;
    int bf = subLR->_bf;

    RotateL(subL);
    RotateR(parent);

    if (bf == 1) {
        // 新插入节点是 subLR 的右子树
        parent->_bf = 0;
        subL->_bf = -1;
        subLR->_bf = 0;
    } else if (bf == -1) {
        // 新插入的节点是 subLR 的左子树
        parent->_bf = 1;
        subL->_bf = 0;
        subLR->_bf = 0;
    } else if (bf == 0) {
        // 新插入的节点是 subLR
        parent->_bf = 0;
        subL->_bf = 0;
        subLR->_bf = 0;
    } else {
        assert(false);
    }
}

右左双旋

假设平衡因子为正负 2 的节点为 parent，parent 的右子树为 subR，subR 的左子树为 subRL。

右左双旋就是对 subR 进行一次右单旋，对 parent 进行一次左单旋。流程和左右双旋一样，这里就不过多介绍了。

void RotateRL(Node* parent) {
    Node* subR = parent->_right;
    Node* subRL = parent->_right->_left;
    int bf = subRL->_bf;

    RotateR(subR);
    RotateL(parent);

    if (bf == 1) {
        // 新插入节点是 subRL 的右子树
        parent->_bf = -1;
        subR->_bf = 0;
        subRL->_bf = 0;
    } else if (bf == -1) {
        // 新插入的节点是 subRL 的左子树
        parent->_bf = 0;
        subR->_bf = 1;
        subRL->_bf = 0;
    } else if (bf == 0) {
        // 新插入的节点是 subRL
        parent->_bf = 0;
        subR->_bf = 0;
        subRL->_bf = 0;
    } else {
        assert(false);
    }
}

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