卡特兰数

英文名Catalan number， 是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。其前几项为:
1 1 2 5 14 42 132 429 1430 4862 16796 58786 208012 742900 2674440 9694845 35357670 129644790 477638700 1767263190 6564120420 24466267020 91482563640
343059613650 1289904147324 4861946401452…

通项公式

卡特兰数的通项公式不止一种 $k(0)=1,k(1)=1$ ，如果接下来的项满足以下三种公式中的一种就是卡特兰数

1. $k(n)=k(0)\times k(n-1)+k(1)\times k(n-2)+\cdot \cdot \cdot +k(n-2)\times k(1)+k(n-1)\times k(0)$
2. $k(n)=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$
3. $k(n)=\frac{C_{2n}^n}{n+1}$ 这个公式就是复习408时背的n个元素进栈，有多少种出栈排列结果

常用的是范式1和2，3几乎不会使用到

括号匹配问题

这个问题模型非常重要，它包含了如何套用卡特兰数并且包含了一种重要的数学性质，有很多问题如果能转换成括号匹配模型就迎刃而解了。

问题描述 给你n个左括号( 和n个右括号) ，有多少种合法的摆放序列？

首先要回答最关键的问题：什么叫做不合法？一个长度为2n的字符串中，只要有任意一个前缀是：右括号的数量比左括号的数量多1，就说这个排列是不合法的 eg：$())(())$ 就是不合法的，因为其前缀()) 违规。

所以，要求有多少种合法的排序，我们只需要用总的排列种数减去不合法的种数 现在问题就转化成了：有多少种不合法的排列 总的排列数很好算，是：$C_{2n}^n$ 2n个位置中任意选n个位置放左括号。

现在要引入一个非常重要的数学概念等势。假如有集合A，B，存在一个一一映射 $f$ ，使得A中的每个元素都能映射到B中的唯一一个元素。由此可以得到：$A的元素数量\le B的元素数量$；如果同样存在这样一个由B到A的映射 $g$ ，那么就有：$B的元素数量\le A的元素数量$ 结合来看就有：$A的元素数量=B的元素数量$

假设2n个括号中所有不合法的排列为集合A，我们现在就是要找和A等势的集合B。我们可以这样定义 $f$ ：

任意一个不合法的排列，必定存在一个最短前缀使得右括号比左括号多1，找到这个最短前缀，假设其长度为 $2m+1$ ，必然是奇数长度，对于剩下所有的 $2n-(2m+1)$ 个括号，让左括号变右括号，右括号变左括号。如下表：

	最短前缀	剩下部分(变化前)	剩下部分(变化后)
长度	2m+1	2n-2m-1	2n-2m-1
左括号数量	m	n-m	n-m-1
右括号数量	m+1	n-m-1	n-m

所以变化后的整个字符串最短前缀那部分是不变的，变动的是后部分，并且总体上左括号有：$n-1$

右括号有：$n+1$ 。这样 $f$ 定义好后，$g$ 也可以水到渠成地得到，将这个字符串找出最短的违规前缀，让

剩余部分右变左，左变右就能得到原始串，并且是一一对应，所以我们找到了A的等势集合B，集合B是什么呢？ 集合B就是总共2n个括号，n-1个左括号，n+1个右括号的所有排列，我们找到了这个集合B，并且还证明了和我们想求的集合A是等势的，但是集合B的大小非常好得到就是：$C_{2n}^{n-1}$ ，所以最终的答案就是：

$$C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$$ 这就是通项公式2

其他一些可以转化成括号匹配模型的问题

n个元素入栈，有多少种出栈次序 可以把进栈想成 ↓ 出栈想成 ↑，n个元素进栈，最后也是出栈n次，所以总长度为2n，是不是任意时刻出栈次数都不能超过进栈次数，也就是说最终的整个长度为2n的序列，任意前缀都不能有↑超过↓，是不是和括号匹配一模一样的？

一个公司的股票走势要么是上涨↗️，要么是下降↘️，不管是什么走势，和水平线的夹角都是45度，每个时刻都有一个走势，那么n时刻时，该走势图进入第四象限的可能？ 也是在问括号的结合方式

一共有n个结点，问可以组成多少种不同的二叉树 $k(0)=0,k(1)=1,k(2)=2$ n>2时，要这样考虑：

根结点必然是包含1个结点的，就是左边0个，右边n-1个。。。。每一种的组合方式累加起来，就得到结果了，虽然 $k(0)\times k(n-1)=k(n-1)\times k(0)$ 但是在二叉树中，形状不同就是不同。所以就有：

$$k(n)=k(0)\times k(n-1)+k(1)\times k(n-2)+\cdot \cdot \cdot +k(n-2)\times k(1)+k(n-1)\times k(0)$$

这不就是卡特兰数通项公式1嘛