用定点数表示数字时，会约定小数点的位置固定不变，整数部分和小数部分分别转换为二进制，就是定点数的结果。

但用定点数表示小数时，存在数值范围、精度范围有限的缺点，所以一般用「浮点数」来表示小数。

什么是浮点数

浮点数，是用科学计数法表示的，而这种方式其「小数点的位置是漂浮不定的」，故命名为浮点数。如下例：

25.125 = 0.25125 * 10 ^ 2
25.125 = 2.5125 * 10 ^ 1
25.125 = 25.125 * 10 ^ 0
25.125 = 251.25 * 10 ^ -1
25.125 = 2512.5 * 10 ^ -2
25.125 = 25125.0 * 10 ^ -3
25.125 = 251250 * 10 ^ -4

而同样的规则，二进制数也可以用科学计数法表示，将基数 10 换成 2 即可。

浮点数表示数字

浮点数用科学计数法表示数字的格式如下：

$$V=(-1{)}^S\ast M\ast R^E$$

如果要在计算机中，用浮点数表示一个数字，只需要确认这几个变量即可。其中各变量含义如下：

• S：符号位，0 表示正数，1 表示负数
• M：尾数，用小数表示，例如 $3.254\ast 10^{-2}$ 中 $3.254$ 就是尾数
• R：基数，表示十进制数则 R 就是 10，表示二进制数则 R 就是 2
• E：指数，用整数表示，例如 $3.254\ast 10^{-2}$ 中 $-2$ 就是指数

如果要用 32bit 表示一个浮点数，则只要把以上变量，填充到这些 bit 上就可以了：

假如我们定义如下填充这些 bit 的规则，图示如下：

• 符号位 S 占 1 bit
• 指数 E 占 10 bit
• 尾数 M 占 21 bit

浮点数的二进制表示

按此规则，将十进制数 25.125 转换为浮点数，过程如下图（D 表示十进制，B 表示二进制）：

1. 整数部分：25(D) = 11011(B)
2. 小数部分：0.125 = 0.001(B)
3. 用二进制的科学计数法表示：25.125(D) = 11001.001(B) = 1.1001001 * 2^4(B)
   

所以将上述 S、M、R、E 填充到 32 bit 中，则如下图即为「浮点数的二进制表示」：

浮点数的「IEEE754标准」二进制表示

背景

从上例可知，浮点数的格式会因为定义规则的不同，而导致范围和精度都不同：

1. 指数位约多，则尾数位越少：则其表示的范围越大，但精度也越差。
2. 指数位越少，则尾数位越多：则其表示的范围越小，但精度也会变好。

而早期各计算机厂商（如 IBM、微软）都会定义自己的一套浮点数规则，就会导致同一个程序在不同厂商的计算机下做浮点数运算时，必须「先转换」成此厂商规定的浮点数格式，才能计算，则加重了计算成本。

因此业界迫切需要统一的浮点数标准，1985年 IEEE 组织提出了 「IEEE754 浮点数标准」，其统一定义了浮点数的表示形式：

• 单精度浮点数 float：32 位，符号位 S 占 1 bit，指数 E 占 8 bit，尾数 M 占 23 bit
• 双精度浮点数 float：64 位，符号位 S 占 1 bit，指数 E 占 11 bit，尾数 M 占 52 bit

特殊约定

为了让其表示范围、精度最大化，还厎指数和尾数做了如下规定：

1. 因为尾数 M 的第一位总是 1（因为 1 <= M < 2），因此这个 1 可以省略不写，它是个隐藏位，这样单精度 23 位尾数可以表示了 24 位有效数字，双精度 52 位尾数可以表示 53 位有效数字
2. 因为指数 E 是个「无符号」整数，表示 float 时，一共占 8 bit，所以它的取值范围为 0 ~ 255。但因为指数可以是负的，所以规定在存入 E 时在它原本的值「加上一个中间数 127」，这样 E 的取值范围为 -127 ~ 128。表示 double 时，一共占 11 bit，存入 E 时加上中间数 1023，这样取值范围为 -1023 ~ 1024。

除了规定尾数和指数位，还做了以下规定，如下图：

• 指数 E 非全 0 且非全 1：规格化数字，按上面的规则正常计算
• 指数 E 全 0，尾数非 0：非规格化数，尾数隐藏位不再是 1，而是 0(M = 0.xxxxx)，这样可以表示 0 和很小的数
• 指数 E 全 1，尾数全 0：正无穷大/负无穷大（正负取决于 S 符号位）
• 指数 E 全 1，尾数非 0：NaN(Not a Number)

示例

有了这个统一的浮点数标准，我们再把 25.125 转换为标准的 float 浮点数：

1. 整数部分：25(D) = 11001(B)
2. 小数部分：0.125(D) = 0.001(B)
3. 用二进制科学计数法表示：25.125(D) = 11001.001(B) = 1.1001001 * 2^4(B)

所以 S = 0，尾数 M = 1.001001 = 001001(去掉1，隐藏位)，指数 E = 4 + 127(中间数) = 135(D) = 10000111(B)。填充到 32 bit 中，如下：

这就是标准 32 位浮点数的结果。

如果用 double 表示，和这个规则类似，指数位 E 用 11 bit 填充，尾数位 M 用 52 bit 填充即可。

浮点数为什么有精度损失

经常听到的浮点数会有精度损失的情况是怎么回事？

如果我们现在想用浮点数表示 0.2，它的结果会是多少呢？

0.2 转换为二进制数的过程为，不断乘以 2，直到不存在小数为止，在这个计算过程中，得到的整数部分从上到下排列就是二进制的结果。

0.2 * 2 = 0.4 -> 0
0.4 * 2 = 0.8 -> 0
0.8 * 2 = 1.6 -> 1
0.6 * 2 = 1.2 -> 1
0.2 * 2 = 0.4 -> 0（发生循环）
...

所以 0.2(D) = 0.00110…(B)。

因为十进制的 0.2 无法精确转换成二进制小数，而计算机在表示一个数字时，宽度是有限的，无限循环的小数存储在计算机时，只能被截断，所以就会导致小数精度发生损失的情况。

浮点数的范围和精度有多大

以单精度浮点数 float 为例，它能表示的最大二进制数为 +1.1.11111…1 * 2^127（小数点后23个1），而二进制 1.11111…1 ≈ 2，所以 float 能表示的最大数为 2^128 = 3.4 * 10^38，即 float 的表示范围为：-3.4 * 10^38 ~ 3.4 * 10 ^38。

它能表示的精度有多小呢？

float 能表示的最小二进制数为 0.0000….1（小数点后22个0，1个1），用十进制数表示就是 1/2^23。

用同样的方法可以算出，double 能表示的最大二进制数为 +1.111…111（小数点后52个1） * 2^1023 ≈ 2^1024 = 1.79 * 10^308，所以 double 能表示范围为：-1.79 * 10^308 ~ +1.79 * 10^308。

double 的最小精度为：0.0000…1(51个0，1个1)，用十进制表示就是 1/2^52。

从这里可以看出，虽然浮点数的范围和精度也有限，但其范围和精度都已非常之大，所以在计算机中，对于小数的表示我们通常会使用浮点数来存储。

参考资料

浮点数的二进制表示、IEEE754标准

浮点数的二进制转换示例