1 大数据亚线性空间算法

1.1 流模型的计数问题

问题定义？用什么算法？算法步骤？(提示：三层递进)

切比雪夫不等式？怎么证明？期望，方差，空间复杂度？

极其有限的空间存储极大的数目

morris，morris+，morris++

$1/(2^X)$ => $\hat{f}=(2^X-1)$

$E [γ] = N$

$D[γ]=\frac{N^2−N}{2k}$ 。

$P[|γ−N|≥ϵ]⩽\frac{N^2−N}{2kϵ^2}$

1.2 不重复元素数

问题定义？用什么算法？算法步骤？
(提示：存储实数：三层递进 + 无法存储实数：1+1)

怎么证明？期望，方差，空间复杂度？

统计一个数据流的不重复元素数

FM，FM+

$h : [n] \mapsto [0, 1]$ => $z=min\{z,h(i)\}$ => $\frac{1}{z}-1$

$E[Z]=\frac{1}{d+1}$

$var[Z]⩽\frac{2}{(d+1)(d+2)}\frac{1}{q}<\frac{2}{(d+1)(d+1)}\frac{1}{q}$

$P[|X−d|>ϵ'd]<\frac{2}{q}(\frac{2}{ϵ'}+1)^2$

FM’+

维护当前看到的最小的k个哈希值，返回 $\frac{k}{z_k}$

PracticalFM

如果 $zeros (h (j)) > z$ ： $z = zeros (h (j))$

返回 $\hat{d}=2^{z+\frac{1}{2}}$

$E[Y_{r}] = \frac{d}{2 ^ r}$

$var[Y_{r}] \leq \frac{d}{2^r}$ 。

最终正确的概率应该大于 $\frac{2\sqrt{2} }{C}$ 。

BJKST

若 $zeros (h (j)) > z$

$B = B \cup (g (j), zeros (h (j)))$
若 $\frac{c}{\epsilon^2}$
$z = z + 1$
从B中删除 $(α, β)$ ，其中 $β < z$

return $\hat{d}=|B|2^z$

1.3 点查询

问题定义？用什么算法？算法步骤？

空间复杂度？

计算流中所有的元素出现次数

Misra_Gries

维护一个集合A，其中的元素是 $(i,\hat{f_{i} })$

$A \leftarrow \emptyset$

对每一个数据流中的元素e

if e∈A，令 $(e,\hat{f_{e} }) \rightarrow (e,\hat{f_{e} } + 1)$

else if $\frac{1}{\epsilon}$ ：将(e,1)插入A

else

将所有A中计数减1
if $\hat{f_{j} } = 0$ ：从A中删除(j,0)

对于查询 i，如果 $i \in A$ ，返回 $\hat{f_{i} }$ ，否则返回0

空间代价是 $O(\epsilon^{-1}logn)$

Metwally

对每一个数据流中的元素e
if e∈A：令 $(e,\hat{f_i})←(e,\hat{f_i}+1)$
else if $\frac{1}{\epsilon}$ ：将(e,1)插入A
else 将(e,MIN+1)插入A，并删除一个满足 $\hat{f_{e} } = MIN$

查询 i，如果 $i \in A$ ，返回 $\hat{f_i}$ ，否则返回MIN

空间代价是 $O(\epsilon^{-1}logn)$

Count-Min

随机选择 t 个2−wise独立哈希函数 $h_i:[n]→[k]$

对每一个出现的更新(j,c)进行如下操作

for i=1 to t

$C[i][h_{i}(j)] = C[i][h_{i}(j)] + c$

针对对于a的查询，返回 $\hat{f_{a} } = \min_{1 \leq i \leq t}{C[i][h_{i}(a)]}$

Count-Median（min变median）

Count Sketch

随机选择1个2−wise独立哈希函数 $h : [n] \to [k]$

随机选择1个2−wise独立哈希函数 $g:[n]→{−1,1}$

对于每一个更新(j,c)

$C [h (j)] = C [h (j)] + c * g (j)$

针对查询a，返回 $\hat{f} = g(a) * C[h(j)]$

Count Sketch+
（相当于是将Count Sketch算法运行了t次，最后取了中值）

随机选择1个2−wise独立哈希函数 $h_i:[n]→[k]$

随机选择1个2−wise独立哈希函数 $g_i:[n] \rightarrow \{-1,1\}$

对于每一个更新(j,c)

对于 $i : 1 \to t$

$C[h_i(j)] = C[h_i(j)] + c * g_i(j)$

返回 $\hat f=median_{1≤i≤t}g_i(a)C[i][h_i(a)]$

1.4 频度矩估计

问题定义？用什么算法？算法步骤？

期望，方差，空间复杂度？

略

1.5 固定大小采样

问题定义？用什么算法？算法步骤？

期望，方差，空间复杂度？

水库抽样算法

使用数据流的前s个元素对抽样数组进行初始化
$A[1,...,s],m\leftarrow s$
对于每一个更新x
x以 $\frac{s}{m + 1}$ 概率随机替换A中的一个元素
m++

1.6 Bloom Filter

问题定义？用什么算法？算法步骤？

大数据集中划出一个小数据集，抽一个数，猜它是否属于小数据集

近似哈希

令H是一族通用哈希函数： $\frac{n}{\delta}$
随机选择 h∈H，并维护数组A[m]，S的大小是n
对每一个 i∈S， $A [h (i)] = 1$
给定查询q，返回yes当且仅当 $A [h (i)] = 1$

Bloom Filter

令H是一族独立的理想哈希函数：[U]→[m]

随机选取 $h_1,...,h_d \in H$ ，并维护数组A[m]

对于每一个i∈S

对于每一个j∈[1,d]

$A[h_j(i)] = 1$

给定查询q，返回yes当且仅当 $\forall j \in [d],A[h_j(q)] = 1$

2 大数据亚线性时间算法

2.1 求连通分量的数目

问题定义？用什么算法？算法步骤？

计算公式？时间复杂度？

如果搜索到的点的个数少于 $\frac{2}{\epsilon}$ 就继续搜索，否则直接返回 $\frac{2}{\epsilon}$ 。

从节点集合中随机选出 $b/{\epsilon}^2$ 个节点构成节点U，对每个节点应用这个算法

最终的 $\hat{C} = \frac{n}{r} \sum_{u \in U}{\frac{1}{\hat{n_u} } }$ ，时间复杂度为 $O(d/{\epsilon}^3)$

2.2 近似最小支撑树

问题定义？用什么算法？算法步骤？

计算公式？时间复杂度？

G的子图 $G^{(i)}=(V,E^{(i)})$ ， $E(i)=\{(u,v)|w_{uv}≤i\}$ ，连通分量的个数为C(i)

M为所有这样的子图的连通分量的数目的和： $M=n-w+\sum_{i=1}^{w-1}{C^{(i)} }$
$\begin{align*} M &= \sum_{i=1}^{w}{i \cdot \alpha_i}=\sum_{i=1}^{w}{\alpha_i} + \sum_{i=2}^{w}{\alpha_i} + \dots + \sum_{i=w}^{w}{\alpha_i}\\ &= C^{(0)}-1 + C^{(1)}-1 + \dots + C^{(w-1)}-1\\ &= n-1+C^{(1)}-1 + \dots + C^{(w-1)}-1\\ &= n-w+\sum_{i=1}^{w-1}{C^{(i)} } \end{align*}$

2.3 求点集合的直径

问题定义？用什么算法？算法步骤？

计算公式？时间复杂度？

The Indyk’s Algorithm

任选 $k \in [1, m]$
选出 $l$ ，使得 $\forall i,D_{ki} \leq D_{kl}$
返回 $k,l),D_{kl}$

2.4 计算图的平均度算法

Alg III

从V中抽取样本S， $\tilde{O}(\frac{L}{\rho\epsilon^2}),L=poly(\frac{log\ n}{\epsilon}),\rho = \frac{1}{t}\sqrt{\frac{\epsilon}{4}\cdot \frac{\alpha}{n} }$
$S_i \gets S \cap B_i$
$\boldsymbol{for}\ i \in \{0,\dots,t-1\}\ \boldsymbol{do}$
$\boldsymbol{if}\ |S_i| \geq \theta_\rho\ \boldsymbol{then}$
$\rho_i \gets \frac{|S_i|}{|S|}$
$estimate\ \Delta_i$

$\boldsymbol{else}$
$\rho_i\gets 0$

$\boldsymbol{return}\ \hat{\bar{d} } = \sum_{i=0}^{t-1}(1+\Delta_i)\rho_i(1+\beta)^{i}$

Alg IV

$\alpha \gets n$
$\hat{\bar{d} } < -\infty$
$\boldsymbol{while}\ \hat{\bar{d} } < \alpha\ \boldsymbol{do}$
$\alpha \gets \alpha/2$
$\boldsymbol{if}\ \alpha < \frac{1}{n}\ \boldsymbol{then}$
$\boldsymbol{return}\ 0;$

$\hat{\bar{d} } \gets AlgIII_{\sim \alpha}$

$\boldsymbol{return}\ \hat{\bar{d} }$

算法相关指标

近似比： $\epsilon)$

运行时间： $\tilde{O}(\sqrt{n})\cdot poly(\epsilon^{-1}log\ n)\sqrt{n/\bar{d} }$

3 并行计算算法

3.1 构建倒排索引

问题定义？Map函数做什么？Reduce函数做什么？

给定一组文档，统计每一个单词出现在哪些文件中

map： $\rightarrow <word,docID>$
reduce： $\rightarrow <word,list\ of\ docID>$

3.2 单词计数

问题定义？Map函数做什么？Reduce函数做什么？

给定一组文档，统计每一个单词出现的次数

Map函数：<docID,content>→<word,1>
Reduce函数：<word,1>→<word,count>

3.3 检索

问题定义？

给定行号和相应的文档内容，统计指定单词出现的位置

Map函数： $< l in e I D, w or d >\to< w or d, l in e I D >$
Reduce函数： $< w or d, l in e I D >\to< w or d, l i s t o f l in e I D >>$

3.4 矩阵乘法

问题定义？

两种算法：Map函数做什么？Reduce函数做什么？

矩阵乘法1
Map：
((A,i,j),aij)→(j,(A,i,aij))
((B,j,k),bjk)→(j,(B,k,bjk))

Reduce：(j,(A,i,aij)),(j,(B,k,bjk))→((i,k),aij∗bjk)
Map：nothing（identity）
Reduce：((i,k),(v1,v2,…))→((i,k),∑vi)

矩阵乘法2

Map函数：

((A,i,j),aij)→((i,x),(A,j,aij)) for all x∈[1,n]
((B,j,k),bjk)→((y,k),(B,j,bjk)) for all y∈[1,m]

Reduce函数：((i,k),(A,j,aij))∧((i,k),(B,j,bjk))→((i,k),∑aij∗bjk)

3.5 排序算法

Map函数做什么？Reduce函数做什么？解决问题的一个关键？

使用p台处理器，输入 $< i, A [i] >$

Map： $\rightarrow <j,((i,A[i]),y)>$

输出 $<i\%p,((i,A[i]),0)>$

以概率T/n为所有 $j \in [0, p - 1]$ 输出 $< j, ((i, A [i]), 1) >$

否则输出 $< j, ((i, A [i]), 0) >$

Reduce：

将y=1的数据收集为S并排序
构造 $s_1,s_2,...,s_{p−1})$ ， $s_k$ 为S中第 $k\left \lceil \frac{|S|}{p} \right \rceil$
将y=0的数据收集为D
对任意(i,x)∈D满足 $s_k < x \leq s_{k+1}$ ，输出<k,(i,x)>

Map：nothing（identity）

Reduce：$ <j, ((i, A[i]), . . . )>$

将所有 $(i, A [i])$ 根据$ A[i]$排序并输出

3.6 计算最小支撑树（生成树）

主要思想？Map函数做什么？Reduce函数做什么？

利用图划分算法，将图G划分成k个子图，在每个子图中计算最小生成树

算法的本质就是先在局部算好生成树，然后用剩余的连接这些生成树的边组成一个新的图，并求出这个新的图的最小生成树作为最总的结果

Map：input:<(u,v),NULL>
转化<(h(u),h(v));(u,v)>
针对上述转化数据，如果h(u)=h(v)，则对所有 j∈[1,k]，输出<(h(u),j);(u,v)>

Reduce：input:<(i,j);Eij>
令Mij=MSF(Gij)
对Mij中的每条边e=(u,v)输出<NULL;(u,v)>

Map：nothing（identity）
Reduce：M=MST(H)

4 外存模型算法

4.1 外存模型

在I/O模型中，内存的大小为___，页面大小为___，外存大小___。连续读取外存上的N个数据，需要多少次I/O？

M，B，无限，N/B

4.2 计算矩阵乘法

输入两个大小为N×N的矩阵X和Y

将矩阵分为大小为___的块
考虑X×Y矩阵中的每个块，显然共有___个块需要输出
每个块需要扫描___对输入块
每次内存计算需要___次I/O
共计___次I/O

$\sqrt{M}/2\times\sqrt{M}/2$

$O((\frac{N}{\sqrt{M} })^2)$

$\frac{N}{\sqrt{M} }$

O(M/B)

$O((\frac{N}{\sqrt{M} })^3\cdot M/B)$

4.3 数据结构

4.3.1 外存栈

内存维护大小为___的数组，实现内存栈结构，外存中存储其余数据

怎么压栈（push）?
怎么弹栈（pop）？

I/O代价分析：
▷ 最坏情况代价：O(1)次I/O
▷ 均摊代价（amortized analysis）：___，最优

2B

没满就压，满了就外写后压

不空就弹，空了就读了再弹

O(1/B)

4.3.2 外存链表

队列（Queue）
▷ 内存维护2个大小为B的数组A和B，一个用于出队，一个用于入队
▷ A和B中分别存储?
▷ 外存中存储其余数据
如何处理队列操作？
▷ 入队（insert）?
▷ 出队（remove）?
I/O代价分析：
▷ 最坏情况代价：O(1)次I/O
▷ 均摊代价（amortized analysis）：___，最优

k个队头数据和k′个队尾数据

B没满就入内存，满了就外写后再入内存

A没空就弹，空了就读了再弹

O(1/B)

4.3.3 链表

进行三种操作：insert(x,p),remove§,traverse(p,k)

想法二：块“半满”⇒数据至少B/2；

在外存模型下，将一个链表中连续的元素放在一个大小为B的块中。同时，令每个块大小至少为B/2：
▷ remove: 什么情况下合并？什么情况下均分?
▷ insert: 什么情况下均分?
▷ traverse: ___，insert和remove最坏情况代价为O(1)

▷ 均摊代价：N次连续插入___，连续删除___

小于B/2，则与邻居块合并，合并后大于B则均分

大于B，平均划分

O(2k/B)

N次连续插入O(2N/B)，连续删除 $O(log_2 B · N/B)$
想法三：连续的两个块至少包含2B/3个数据；

连续的两个块至少包含2B/3个数据；内存维护大小为B缓冲区
▷ remove: 什么情况下合并？什么情况下均分？
▷ insert: 什么情况下合并？什么情况下均分?
▷ traverse: ___

▷ 均摊代价：N次连续插入___，连续删除___
▷ 均摊代价：N次连续更新___

删除并检查是否有相邻块使得数据量 ≤ 2B/3，有则合并

若当前块满，向邻居插入；邻居均满，均分当前块

O(3k/B)

O(2N/B)，O(3N/B)

O(12N/B)

4.4 搜索结构

进行三种操作：insert(x),remove(x),query(x)

$(a, b) - t ree :$ a与b的关系

类似二分查找树 $\Rightarrow (p_0, k_1, p_1, k_2, p_2, . . . , k_c, p_c)$

root节点有__个孩子；每个非叶子节点的孩子数目__：

remove：怎么操作?
insert：怎么操作?
query：时间复杂度？

2 ≤ a ≤ (b + 1)/2

根节点有0或≥ 2个孩子，其它非叶子节点的孩子数目∈ [a, b]

删除后若小于a，与邻接块合并，合并后若大于b，平均划分

插入后若大于b，均分

$ O(log_a(N/a))$

插入操作

假设插入的键值为K，首先找到对应的叶结点L

如果L中有空闲空间，那么直接插入，结束；
否则将叶结点分裂为两个结点，并且把其中的键分到这两个新结点中，使得键个数满足最小要求；
- 当分裂叶结点N时：
  
  ▷创建一个新结点M，让M为N的右侧兄弟，将键排序，前 $⌈(n + 1) /2 ⌉$ 个留在N中，其他键‐指针放入M中。
- 当分裂非叶结点N时：
  ▷将键‐指针排序，前 $⌈(n + 2) /2 ⌉$ 个指针留在N中，剩下的 $⌊(n + 2) /2 ⌋$ 个指针放入M中。
  ▷前 $⌈ n /2 ⌉$ 个键留在N中，后 $⌊ n /2 ⌋$ 个键放入M中，中间那个键留出来，插入到上一层结点中，该键指针指向M。

删除操作

假设删除的键值为K，首先找到对应的叶结点L。

如果L中删除K后仍然具有满足最小要求的键个数，停止
否则需要做如下处理：

▷尝试与L的相邻兄弟节点之一合并（合并后仍能放入同一节点），合并后，相当于在上层结点删除了一个键值，那么递归处理；

▷否则，考虑L的相邻兄弟
- 假设其中一个能够提供L一个键‐指针，并且去除该键‐指针后该兄弟结点仍然满足键数的最小要求，那么L从该兄弟处借得一对键‐指针，并更新父节点的对应键值；
- 如果两个兄弟都无法提供一个键‐指针，那么必然是如下情况：L的键数少于最小数，L兄弟M的键数恰好为最小数，那么两个结点可以合并。