逻辑回归

在分类问题中，要预测的变量y为离散值（y=0~1），逻辑回归模型的输出变量范围始终在 0 和 1 之间。

训练集为
$$\{(x^{(1)},y^{(1)}),(x^{(2)},y^{(2)}),...,(x^{(m)},y^{(m)})\}$$
输入
x ∈ [ x 0 x 1 ⋮ x n ] 其中 x 0 = 1 , y ∈ { 0 , 1 } x \in \left[ \begin{matrix} x_0 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{matrix} \right] 其中x_0=1,y \in \{0,1\} x∈ ​x0​x1​⋮xn​​ ​其中x0​=1,y∈{0,1}
逻辑回归模型的假设是：
$$h_{\theta }(x)=g({\theta }^{\mathrm{T}}X)$$
$X$为特征变量，$g(.)$为逻辑函数
$$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$

如果对于逻辑回归沿用线性回归的代价函数，此时的代价函数是非凸函数，不利于找局部最优值，

逻辑回归的代价函数为：
$$J(\theta )=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}Cost(h_{\theta }(x^{(i)}),y^{(i)})$$

$$Cost(h_{\theta }(x),y)=\{\begin{array}{c}-log(h_{\theta }(x)),ify=1\\ -log(1-h_{\theta }(x)),ify=0\end{array}$$

$$Cost(h_{\theta }(x),y)=-y\cdot log(h_{\theta }(x))-(1-y)\cdot log(1-h_{\theta }(x))$$

当实际的 𝑦 = 1 且$h_{\theta }(x)$也为 1 时，误差为 0，

当 𝑦 = 1 但$h_{\theta }(x)$不为 1 时，误差随着$h_{\theta }(x)$变小而变大；

当实际的 𝑦 = 0 且$h_{\theta }(x)$也为 0 时，误差为 0，

当𝑦 = 0 但$h_{\theta }(x)$不为 0 时误差随着 $h_{\theta }(x)$的变大而变大。

利用梯度下降算法
$${\theta }_j:={\theta }_j-\alpha \frac{\partial }{\partial {\theta }_j}J(\theta )$$
代价函数的导数为
$$\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}J(\theta )=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m[h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}]x_j^{(i)}$$
则最终结果为（可同时更新所有的$\theta$）
$${\theta }_j:={\theta }_j-\alpha \frac{1}{m}\sum _{i=1}^m[h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}]x_j^{(i)}$$
此时的梯度函数跟线性回归不太相同，因为$h_{\theta }(x)$不同。