动态规划 _LeetCode1143.最长公共子序列 1035.不相交的线 53. 最大子序和
今天继续子序列问题！
1143.最长公共子序列
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。
一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
例如，“ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。
本题和动态规划：718. 最长重复子数组区别在于这里不要求是连续的，其他思路都一样的
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j] - 确定递推公式
主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同- 如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
- 如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。
即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
- dp数组如何初始化
text1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以dp[i][0] = 0;
同理dp[0][j]也是0。
其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。 - 确定遍历顺序
从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp[i][j]，那么为了在递推的过程中，这三个方向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。 - 举例推导dp数组
class Solution:
def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
dp = [[0 for _ in range(len(text2)+1)] for _ in range(len(text1)+1)]
for i in range(1, len(text1) + 1):
for j in range(1, len(text2) + 1):
if text1[i-1] == text2[j-1]:
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
else:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
return dp[-1][-1]
1035.不相交的线
本题和上一题本质是一样的，本题说是求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度！代码也是一样的。
class Solution:
def maxUncrossedLines(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
dp = [[0 for _ in range(len(nums2)+1)] for _ in range(len(nums1)+1)]
for i in range(1, len(nums1)+1):
for j in range(1, len(nums2)+1):
if nums1[i-1] == nums2[j-1]:
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
else:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
return dp[-1][-1]
53. 最大子序和
给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
子数组 是数组中的一个连续部分。
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]。 - 确定递推公式
dp[i]只有两个方向可以推出来：
dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和
nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和
一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]); - dp数组如何初始化
从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态，dp[0]就是递推公式的基础。
根据dp[i]的定义，很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]。 - 确定遍历顺序
递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。 - 举例推导dp数组
class Solution:
def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
dp = [0] * len(nums)
dp[0] = nums[0]
for i in range(1,len(nums)):
if dp[i-1] <= 0:
dp[i] = nums[i]
else:
dp[i] = dp[i-1] + nums[i]
return max(dp)
class Solution:
def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
dp = [0] * len(nums)
dp[0] = nums[0]
for i in range(1,len(nums)):
dp[i] = max(nums[i], dp[i-1] + nums[i])
return max(dp)
今天的题还可以哦，有了昨天的题的训练，今天思路比较清晰！
