单调性和奇异性

sympy.calculus.singularities提供了4个关于单调性判定的函数，分别是

is_decreasing(expr, interval, symbol=None)
is_increasing(expr, interval, symbol=None)
is_strictly_decreasing(expr, interval, symbol=None)
is_strictly_increasing(expr, interval, symbol=None)

expr为目标函数的表达式；interval为判定的定义域范围，默认是全
体实数；symbol为表达式中的自变量，默认为None。

下面以is_decreasing为例，查看一下$\frac{1}{x^2-3x}$的单调性

import sympy
from sympy import is_decreasing
from sympy import Interval, oo
from sympy.abc import x, y
expr = 1/(x**2 - 3*x)
is_decreasing(expr)  # False
is_decreasing(expr, Interval.open(1.5, 3))    # True
is_decreasing(expr, Interval.Lopen(3, oo))    # True
is_decreasing(expr, Interval.Ropen(-oo, 1.5)) # False
# 绘制函数图像
sympy.plot(expr, xlim=(-5,5), ylim=(-10,10))

图像如下

从图像中可以看到，当 x ∈ { 0 , 3 } x\in\{0,3\} x∈{0,3}时存在奇点。sympy中，通过函数singularities可以查找函数的奇点

from sympy import singularities
singularities(expr, x) # 返回 {0, 3}
singularities(expr, x, Interval.Lopen(3,5)) # 返回EmptySet

函数monotonicity_helper可以判定单调性，而不管其递增或递减。

monotonicity_helper(expr, predicate, interval=Reals, symbol=None)

连续性、极值、周期、不动点

sympy.calculus.util中提供了一系列关于连续性、极值、周期性、不动点的判定函数

continuous_domain用于获取连续区间，function_range返回函数值域，示例如下

>>> from sympy.calculus.util import function_range, continuous_domain
>>> function_range(expr, x, domain=sympy.Reals)
Union(Interval(-oo, -4/9), Interval.open(0, oo))
>>> continuous_domain(expr, x, domain=sympy.Reals)
Union(Interval.open(-oo, 0), Interval.open(0, 3), Interval.open(3, oo))

结合图像以及表达式可知，函数$f(x)=\frac{1}{x^2-3x}$值域的确被分为两个部分，正式function_range返回的$(-\infty ,-\frac{9}{4})\cup (0,+\infty )$；而其连续区间则被分成三个部分，分别在$x=0,x=3$处中断。

函数maximum, minimum可以查找函数的最值，stationary_points可查找驻点，就是导数为0的店，这三个函数的domain均默认为Reals。

>>> from sympy.calculus.util import maximum, minimum, stationary_points
>>> maximum(expr, x)
oo
>>> minimum(expr, x)
-oo
>>> stationary_points(expr, x)
{3/2}
>>> minimum(x**2+2*x, x)
-1