01背包基础（二维数组）

思路

根据动态规划五部进行分析，先进行参数和下标的初始化
由于是背包探索我们用二维数组 创建一个 dp[i][j] i是指第几个书包，j是指背包最多能容下的体积
然后确定递推公式

在这里插入图片描述

递推公式

这道题递推公式的展开从两个方面一个是尺寸比书包小可以放进去一个是尺寸比书包放不进去

不放物品i：
由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以被背包内的价值依然和前面相同。)
放物品i
由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

初始化

首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。

// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}

遍历顺序

在二维数组中无论是先遍历物品后遍历背包或者先遍历背包后遍历物品都能够达成目的
不过在后序的一维数组中完成背包问题就固定下来了，先遍历物品后遍历书包。

一维dp数组（滚动数组）

在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：

dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);

与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。

一维数组的递推公式

dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j -
weight[i]的背包所背的最大价值。

dp[j - weight[i]] + value[i] 表示容量为 j - 物品i重量的背包加上
物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）

此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j] 相当于二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一个是取dp[j -
weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

遍历顺序

与二维数组不同，先物品再背包，背包遍历要求倒序遍历因为这样就可以保证每一个物品只放一次

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

LeetCode 416. 分割等和子集

思路

这里运用了 01背包的思路，我的做法是采用了一维数组的方式做的

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
            if(nums==null|| nums.length==0) return false;
            int n=nums.length;
            int sum=0;
            for(int num: nums)
            {  
                 sum+= num;
            }
            if( sum%2!=0) return false;
            int target= sum/2;
            int dp[]= new int [target+1];
            for( int i=0;i<n;i++)
            {
                for( int j=target;j>= nums[i];j--)
                {
                    dp[j]= Math.max( dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);
                }
            }
            return dp[target] == target;
    }
}