结论速递

本章涉及了图基本表示及传统的特征工程。
图由节点和连接组成，节点和连接上都可以有不同的属性。根据属性的特点，分为几类不同的图，其中异质图和二分图是比较重要的特殊图。
图可以用邻接矩阵进行结构化表示，如果图过于稀疏，也可以使用连接列表和邻接列表来表示。图的节点度、图的连接性是图非常重要的性质，他们都可以从邻接矩阵中直观计算得到。
图的传统特征工程分为节点的、边的、还有全图的特征工程。度、连接和graphlet是贯穿始终的重要概念。

前情提要

1. 图机器学习导论

1 图的基本表示

图由节点和连接组成。

1.1 图的本体设计

图的本体Ontology设计：设计好节点、连接的种类，包含的信息、可能存在的取值。

• 本体的设计应该在导入数据之前完成，导入数据后具体的图是这个抽象本体
• 设计图的本体应该根据将来想要用这张图解决的问题类型来进行。

1.2 图的种类

根据边的方向可以分为：

• 无向图（箭头无向）
• 有向图

一些结构比较复杂，但常见的图包括：

• 异质图heterogeneous graph：节点、连接存在不同的类型
• 二分图bipartite graph：两种节点，同类节点内部无连接

  • 可以将二分图展开Folded network：对一类节点，把与同一个另外一类节点有关系的节点相连，变成两张只有同类节点的图

    

此外如果根据边是否有权重，还可以分为无权图和有权图；如果无向图中节点存在自己连向自己的边，则为self-loop，两个节点间存在多条边，则为multigraph。

1.3 图的性质

1.3.1 节点连接数

• 度（Degree）：有多少个节点与该节点相连
  • 无向图：与该节点相连的边数
  • 有向图：分为进和出（进一步可以区分源与汇）
• 节点平均度：图中所有节点的平均连接数是多少。
  • 无向图：$k=\frac{E}{2N}$
  • 有向图：$k=\frac{E}{N}$

上述两个概念对有向图和无向图有不同的计算方式。

1.3.2 图的基本表示

将图变成结构化的矩阵形式，充分利用矩阵运算的能力。

• 邻接矩阵：可以用邻接矩阵来表示一个图，无向图的邻接矩阵为对称矩阵，有向图则为非对称。

由于图的节点非常多，但存在的连接或许并不多，则整个矩阵将非常稀疏，此时可以考虑使用连接列表，邻接列表来稀疏化表示。

• 连接列表：记录有连接的节点对。具体实现为python中一系列的tuple（三元组）。

• 邻接列表：记录对每一个节点来说，指向的下一个节点。具体实现为python中的一系列的dict。

  

可以补上代码实战

1.3.3 图的连通性

对无向图，如果

• 连通图connected graph：任意两个节点间都有一条路径可以连通。

• 非连通图disconnected graph：由多个连通域（连通的子图）构成，但不满足连通图的要求，其中连通域称为connected component，最大连通域giant component，离群点isolated node。

  非连通图在邻接矩阵中，可以整理为分块对角的形式，如果打破了这一形式，就会成为连通图。

  

在有向图中有相似的概念：

• 强连通图strongly connected graph：方向严格联通
• 弱连通图weakly connected graph：忽略方向时联通

同样也有强连通域等。

1.4 思考题

• 举几个Heherogeneous Graph（异质图）的例子
  人发表论文的发表网络，人和论文属于不同性质的节点。
• 异质图和普通图有什么区别？
  异质图上节点的性质不同，普通图节点的性质往往是一致的。
• 举几个Bipartite Graph（二分图）的例子
  人发表论文的发表网络。
• 举几个有向图的例子
  食物链；电视剧中的人物关系（人物间存在单向关系比如：仇恨、暗恋等）。
• 如何设计本体图Ontology？
  先抽象自己要研究的问题，确定哪些作为节点、哪些作为边，设计需要哪些属性。
• 为什么要把图表示成矩阵？
  方便计算机处理。近些年来计算机矩阵运算的算力和计算速度飞速发展，将图表示为矩阵可以有效利用计算机的运算能力。
• 如何从连通域的角度，理解“六度空间”理论：世界上任意两个人，可以通过不超过六个中间人，相互认识。
  世界上所有的人都在同一个连通域内，任意两人的连通最短路径将经过中间节点的数量不超过六个。
• 为什么很多真实场景的图都是稀疏的？
  真实场景中节点和节点间连接的关系并不会很密集，图的平均节点度也并不会很高。

2 图特征工程（传统方法，针对无向图）

传统方法包括：人工特征工程、机器学习。

为什么需要特征工程？

因为节点层面、连接层面、子图/全图层面都需要提取特征成为向量/矩阵才能给计算机处理。

邻接矩阵不够吗？

不够。因为节点、边都可以有一系列的attributes，如权重、类型、排名、甚至是多模态的特征等，这些称之为属性特征。此外，还有在图中，节点和边、节点与节点之间的连接关系，这些称之为连接特征。邻接矩阵过于离散，需要特征描述来补充信息。

此处特征工程主要涉及连接特征。合理的特征工程将帮助传统机器学习方法发挥更好的效果。

2.1 节点的特征

2.1.1 特征种类

即描述：节点在图中扮演什么角色。

机器学习任务：输入某个节点的D维向量，输出该节点是某类的概率。

可以构造如下特征：

• 节点度：只看数量、不看质量。邻接矩阵按行/列加起来就可以

• 节点重要程度node centrality

  • eigenvector centrality：特征向量节点重要度，节点在图中越中心，则节点越重要。（PageRank和这个有点接近，有什么区别？）

    相邻节点的重要度求和，$c_v=\frac{1}{\lambda }{\sum }_{u\in N(v)}{c}_u$

    这是一个递归求和问题。

    可以等价成，求邻接矩阵A的特征向量c，$\lambda c=Ac$.

    

  • betweenness centrality：节点是否在必经之地，是否为交通枢纽

    对某一个节点，图中不含它的节点对连通最短路径经过它的比例

    $c_v={\sum }_{s!=v!=t}\frac{连通节点对最短路径经过v的数量}{节点对数}$

  • closeness centrality：某个节点是不是去哪儿都近

    某一节点到其它节点的最短路径之和的倒数。

    $c_v=\frac{1}{{\sum }_{u!=v}节点v到其它节点v的最短路径}$

• 集群系数clustering coefficient：衡量一个节点周围有多抱团

  某一节点的邻接节点两两也相连的比例。

  $e_v=\frac{邻接节点两两相连数（三角形个数）}{C_{k_v}^2}$

• graphlets：统计预定义子图形状（连接形式）

  ego-network自我中心网络（三角形作为子图），周围子图可能构成的形状称为graphlet（有点像同分异构体可能的构成，只不过只考虑C不考虑H）。

  • Graphlet Degree Vector（GDV）：对某一个节点，提取其周围不同graphlet角色（预先定义好）的节点个数

    

    上述案例，统计附近5个节点，graphlet种类是upto3（也包括2）

    graphlet的模式是定义好的，相当于构造对应graphlet形式的直方图。

    

    GDV是一种非常全面的对连接信息的描述。

    在networkX里称为Atlas。

2.1.2 用途

如果要分析节点的重要程度：

• node degree
• node centrality

除此之外还有，PageRank， Katz Centrality，HITS Hubs and Authorities

如果要分析节点周围局部邻域的拓扑连接结构：

• node degree
• clustering coefficient
• graphlet count vector

2.1.3 思考题

standfor官方的思考题，描述了当前节点特征的局限性，即无法对图分片进行特征描述，后面的特征提取方法会继续涉及到这一部分。

2.2 连接的特征

即，提取连接的特征，把link变成D维向量，表征连接结构信息。

机器学习任务：通过已知的连接去补全未知的连接。

• 可能是同一时刻的有连接缺失补全，如蛋白质、分子
• 可能是预测下一个时刻会产生的新连接，如论文引用网络

如：你可能认识的人
工作流大致如下：

提取连接特征为D维向量，送入到机器学习模型中去做预测，得到一个分数，从而来判断连接是否存在。

连接的特征分为三类：

• 基于两节点距离distance-based feature：

  • 最短路径长度shortest-path distance between two nodes
    缺点：忽略了路径经过edge的数量和通路的结构

• 基于两节点局部连接信息local neighborhood overlap：
  缺点：无法衡量两个没有共同邻域节点之间的关系

  • 共同好友个数common neighbors
  • 交并比Jaccard’s coefficient：周围邻域节点集的交集比上并集
  • Adamic-Adar index：A和B的共同邻域节点的连接数的倒数（共同好友是不是社牛），数值越大那么说明联系紧密（共同好友是个社恐，他们可能比较亲密）

• 基于两节点在全图的连接信息global neighborhood overlap：

  • Katz index：节点u和v之间，长度为k的路径个数
    用邻接矩阵的power（幂）来计算：n次幂即为n-1个中间节点。

    
    
    

  节点u和节点v之间长度为k的路径个数就是第u行第v列的元素。

  如果需要编程，则按照下面的思路来计算会更便捷。

  

2.3 全图的特征

提取一个d维向量，反映全图特征。

核心思路依然是数数，数某一类的子图出现了多少次（Bag of Word，这个思路来源于自然语言处理）。

• Bag of node degrees，只看节点连接数，不看节点，也不看连接结构。如下图，即采集子图不同节点度个数的节点。

  

• Bag of graphlet & Graphlet Kernel：相较于node degree而言，允许孤立节点的统计，同时是全图的统计，而非子图的统计。

  

  把两张图得到的特征向量做数量积，可以得到一个标量，这个标量可以评价两个图是否足够相近，是否匹配。（Graphlet Kernel）
  如果两张图不一样大，那就做一个归一化。
  这个方法的缺点是：做子图匹配是一个非常消耗时间及算力的（是NP-Hard问题），所以不常用。

• Weisfeiler-Lehman Kernel：颜色微调的方法，不断迭代丰富节点词库。
  就是Graph embedding，先不断地将邻接节点的信息聚合到一个节点上，然后做一个哈希。再升阶，进一步聚合节点信息，做哈希。不断重复这一过程（重复k次）。
  则当连接结构一致时，哈希值相同。
  两张图进行同阶的处理，则可以得到两个向量进行数量积（Kernel），并进行比较

  

  这一方法是线性的复杂度。
  可以用gklearn中的函数来完成计算。

  
  这个和消息传递图神经网络中的消息传递范式真的很接近！

参考阅读

1. cs224w同济子豪兄Github
2. 斯坦福CS224W图机器学习、图神经网络、知识图谱【同济子豪兄】_哔哩哔哩_bilibili