用主动游泳的三维水母模型量化美杜莎的（medusan）机械空间的性能（二）(2017)

原文链接：https://doi.org/10.1017/jfm.2017.3

这是一篇关于水母的三维运动模拟仿真的一篇文章的中篇，内容还是很丰富的！

结果

3.1 参考案例的游泳动力学

  在本节中，我们考虑参考案例水母模型的向前游动。除非另有规定，否则使用表1中的参考无量纲参数，通过向钟形件边缘施加随时间变化的张力，钟形件开始收缩。回想一下，当无量纲化所有参数时，特征长度被设置为钟形件直径或钟形件高度，特征时间被设置为施加张力的持续时间。钟形件的膨胀阶段通过移除所施加的张力而开始，使得储存的弹性能量驱动钟形件膨胀。完整的推进循环，包括收缩和膨胀阶段，以 $\varphi =0.5s^{-1}$的频率驱动。收缩的持续时间为1秒，这样主动收缩在半个推进周期内都有效。钟形罩驱动8个推进循环，总共16秒。模拟在Re = 250时进行。参考案例模拟的电影可以在https://doi.org/10.1017/jfm.2017.3.的补充材料中找到.
  当参数设置为参考配置时，钟获得径向位移 $R$ 和向前游动速度 $U_z$，与Aurelia spp. 和 Polyorchis spp. 报道的相似。 (Demont & Gosline 1988b; Gemmell et al. 2013) ，在每个推进循环中，钟行进其高度的70 %。绘制的图3(a，b)是无量纲向前游泳速度，

和空间平均的无量纲径向位移，

关于无量纲化的时间

这里 $L_h$ 是钟形高度，因此 $L_h/L=0.49$ 。径向位移在 $Z<0.16L$ 的钟形区域内取平均值。我们注意到，初始径向位移对应于收缩期间产生的快速向前游泳速度。图3(c )显示了行驶的距离 $X_z$ ，这是通过

作为时间的函数。请注意，在钟形被动扩张期间，随着钟形接近稳定状态的游泳速度，向前的速度增加。作用在钟形边缘上的由施加的主动张力产生的功率，$P_m=T{U}^{rad}$，通过无量纲化

图3(d)显示，当主动张力施加到钟形边缘时，功率快速增加，随后随着张力逐渐释放，功率快速下降。当张力以相反的方向施加时，随着钟继续膨胀，功率变成负值。换句话说，在此期间，钟形件的被动弹性支配并驱动运动。
  涡度( $\nabla \times \mathbf{u}=\mathbf{\omega }=({\omega }_x，{\omega }_y，{\omega }_z)$)相对于驱动频率 $\varphi$ 是无量纲化的，

图4显示了一个完整推进循环中的平面外涡量 ${\hat{\omega }}_y$ 。图4(a–d)显示了施加主动张力时钟形件收缩期间的涡流动力学。在这个收缩过程中，钟的运动和角动量守恒的方法在钟的表面附近产生了一个涡旋的剪切层。当主动张力被移除时(图4e–I ),钟状物膨胀并产生一个停止涡环，其旋转方向与起始涡相反。随后边界附近涡度剪切层的变化是由于钟形结构的弹性振动。我们的钟的被动材料模型没有考虑钟的全部粘弹性性质，并且是欠阻尼的。在钟形件被动膨胀期间，当钟形件返回到其静止状态时，钟形件出现低振幅、高频率的弹性振动。钟状物膨胀期间的多重剪切层是由于角动量守恒和钟状物的高频振荡之间的相互作用。

图3。为参考情况绘制的是(a)在第七和第八个推进循环期间，作为时间函数(在半推进循环中) $\hat{t}$ 的钟状物向前游动的速度(在钟状物高度每半个循环中)，$U_z$，(b)在第七和第八个推进循环期间，作为时间函数的空间平均无量纲边缘半径(在钟状物直径中)，$\hat{R}$，(c )作为时间函数的钟状物位移(在钟状物高度中)，$\widehat{X_z}$，以及(d)与驱动钟状物的所施加主动张力相关的无量纲功率，$\widehat{P_m}$，注意，负功率意味着肌肉的动作方向与运动方向相反。

图4。在第一个推进循环中，时间(a) 0，(b) 0.25，(c ) 0.5，(d) 0.75，(e) 1.0，(f ) 1.25，(g) 1.5，(h) 1.75和(i) 2.0时的无量纲平面外涡度图, ${\hat{\omega }}_y$ 。主动收缩阶段(b–e)在d附近达到其施加张力的峰值，然后是扩张阶段(f–h)。在收缩阶段，一个起始涡从钟形边缘的尖端脱落，并从钟形边缘平流离开。随后又形成一个反向旋转的停止涡流，进入钟形空腔。

  同样值得注意的是，在收缩和被动膨胀期间，由于钟形边缘的运动，分别出现了界限分明的起始涡和终止涡 。图5显示了模拟过程中不同时间的平面外涡量。除了第一个和第二个起动涡流之外，在每个推进循环的尾流中都可以看到不同的起动涡流。在这种情况下，钟形罩最初是静止的，并且以比第二个起始涡环慢的速度平流第一个起始涡环。然后，第二个涡流穿过第一个涡流的中心而“跳跃”穿过第一个涡流，成为一个更大的涡流环，它比随后的涡流在钟声之后维持的时间更长。 尽管在本研究的模拟中观察到了这种效应，但在真实的水母尾流中没有观察到。扁圆水母通常连续游动，不会在静止的液体中静止不动。

图5。八个推进循环中时间(a) 0、(b) 1.0、(c ) 2.0、(d) 3.0、(e) 4.0、(f ) 5.0、(g) 6.0、(h) 10.0和(i) 16.0的无量纲平面外涡度图, ${\hat{\omega }}_y$ 。在完成一个推进循环(c，e，g–I)后的钟形涡量图中，可以看到起始涡脱落到尾流中的过程。涡度图(b，d，f)显示了前三个推进循环中张力释放附近的钟形。尽管注意到第一个和第二个起始涡流合并形成一个大的涡流结构(d–g ),但在最终图(I)的尾流中可以看到之前循环的起始涡流。

  图6-8分别显示了第一个推进循环不同快照的无量纲垂直速度、径向速度和压力的等值线。相对于钟形罩高度和驱动频率，垂直速度是无量纲化的

使得它描述了每半个推进循环行进的钟形高度。涡量的无量纲径向分量计算如下

使得它描述了每半个推进循环行进的钟形件直径。无量纲涡量级为

无量纲压力是

图6显示了第一个推进循环中时间(a) 0，(b) 0.5，( c ) 1.0，(d) 1.5和(e) 2.0的无量纲垂直速度($\widehat{u_z}$)的等值线。收缩将流体推出钟形罩，导致钟形罩尾流中的负(向下)垂直速度。收缩也推动钟向前，在钟内产生正的垂直速度。当钟的膨胀阶段开始时，在尾迹中形成一个起始涡环，在紧接着钟的尾迹中产生一个正的垂直速度。由于起始涡环和终止涡环之间的相互作用，这个区域的正垂直速度在膨胀后得以维持。这种相互作用在实验中被称为被动能量再捕获 (Gemmell et al，2013) ，在这种情况下，钟状物继续产生向前的推力，而没有额外的代谢成本。

图6。无量纲垂直速度 $u_z$ 在时间(a) 0、(b) 0.5、( c ) 1.0、(d) 1.5和(e) 2.0的等值线图。回想一下，速度是以每半个推进循环所经过的钟高度给出的，时间是以半个推进循环给出的。最初静止时(a)，收缩(b)将流体推出钟形罩，导致钟形罩尾流中的负(向下)垂直速度。这种收缩推动钟向前，在钟的顶部产生一个正的(向上的)垂直速度。当钟形罩收缩时，在尾流中形成一个起始涡环(c ),在紧接的钟形罩尾流中产生一个正的垂直速度(d)。在膨胀(e)之后，由于起始涡环和终止涡环之间的相互作用，这个区域的正垂直速度得以维持。这种相互作用允许钟重新获得收缩时消耗的能量.

  图7显示了第一个推进循环中时间(a) 0，(b) 0.5，(c ) 1.0，(d) 1.5和(e) 2.0的无量纲径向速度( ${\hat{u}}_{rad}$ )的等值线。收缩期间(图7b)，尾流中的流体被推离中心轴。在收缩结束时，一旦起始涡流完全形成(图7c)，钟形边缘附近的流体被引向中心轴。径向速度分布(流体被拉向钟形边缘正下方的中心轴)在膨胀后保持，部分是由于起始涡环和终止涡环的相互作用。

图7。在时间(a) 0、(b) 0.5、( c) 1.0、(d) 1.5和(e) 2.0时无量纲径向速度的等值线图。最初静止时(a)，钟形件的收缩(b)将流体向下推离钟形件的中心轴。钟形边缘的运动把流体拉向中心轴。收缩(c )后起始涡流的形成继续将流体拉向紧靠膜下腔的中心轴。这种径向速度分布在膨胀(d–e)后得以维持，部分原因是起始涡环和停止涡环的相互作用。

  图8显示了第一个推进循环中无量纲压力§的等值线。我们发现，收缩阶段(图8a)由于水母向前运动，在尾流和膜下腔以及水母前方产生高压区域。沿着钟形件的侧面在钟形件的外部产生低压区域。钟形罩顶部和两侧的压力差驱使水母前面的水流沿着钟形罩流动。随着张力的释放(图8b)，高压区域变成低压区域，反之亦然(图8c)。一旦钟形罩完全膨胀(图8e ),钟形罩边缘下游立即形成正压区域，这表明由于起始涡环和停止涡环之间的相互作用，流体被拉向钟形罩空腔。这种相互作用反过来产生被称为被动能量回收的二次推力。由于钟形罩的向前运动和涡环的停止和开始相互作用的结合，在钟形罩的侧面发现了负压区。在钟形尾流中也观察到与起始涡环有关的低压区。

图8。无量纲压力p在(a) 0、(b) 0.5、( c) 1.0、(d) 1.5和(e) 2.0时的等等值线图。最初静止时(a)，收缩时(b)随着流体被推出钟形腔，在钟形腔内和其下游产生一个高压区。由于向前运动，钟形罩的顶部也有一个高压区。随着张力释放( c)，高压区域变成低压区域，反之亦然。相对压力的这些变化引起流体运动的变化。当钟状物膨胀和弯曲时，我们注意到较高和较低压力的交替区域。一旦钟形罩完全膨胀(e)，我们注意到紧接着钟形罩的尾流中存在正压区。在钟形尾流中也观察到与起始涡环有关的低压区。
  图9显示了速度的无量纲化垂直(a)和径向(b)分量的等值线、无量纲压力( c)和第八个推进循环结束时无量纲涡量(d)的等值线。这些图与图6-8的比较揭示了当钟达到其稳态游泳速度时，钟的流体环境是如何演变的。特别是，由于游泳速度的增加，在钟的顶部有更强的正垂直和径向速度。等高线图还揭示了流体运动如何受到在钟形件的先前推进循环期间形成的起始和停止涡流的影响。图9(a)表明，起始涡和停止涡的相互作用继续产生远离钟形罩的连续垂直流柱。在最近的起动和停止涡对之间，以及在第七个推进循环中形成的起动涡附近的区域，发现了正垂直气流区域。如图6(e)所示，这种正的垂直流动来自起始涡环和终止涡环之间的相互作用。检查图9(b)中物质速度的径向分量，起始涡环对和终止涡环对的互补方向性是这样的，即两个环之间的相互作用使流体在紧接钟形尾流中流向中心垂直轴。最强的径向速度出现在最近一次推进循环中形成的起始涡环和停止涡环之间的相互作用点。将它与图9(d)的涡度图相比较，可以清楚地看出，与强径向速度相关的区域不仅仅是由于最近的起始涡环，它是在钟形尾流中一个径向更紧凑的区域。检查图9(c )的压力等值线，低压区和高压区的形状与第一个推进循环结束时产生的形状相似(图8e)。在钟的前面和后面有更大的强正压区域。

图9。在第八个推进循环结束时的(a)无量纲垂直速度(${\hat{u}}_z$)，(b)无量纲径向速度(${\hat{u}}_{rad}$)，( c)无量纲压力($\hat{p}$)和(d)无量纲涡量(${\hat{\omega }}_{mag}$)的等值线图。

  图10显示了速度矢量场和第八个推进循环期间钟形空腔内和周围无量纲速度(uz)垂直分量的彩色图。在第八个周期开始时(图10a)，钟形罩内和正下方有一股强大的正(向上)垂直气流。如图5所示，在停止涡环中可以看到负的(向下的)垂直速度。尽管钟形罩在这一点上完全展开，但停止涡环的旋转产生了穿过直接尾流的正垂直速度。随着钟形收缩(图10b，c ),随着流体被推出钟形下腔，产生一股强烈的向下射流。收缩后(图10d ),在起始涡环内发现负垂直速度，然后加入前一循环起始涡环形成的尾流。在钟形件的膨胀阶段之后(图10e)，起始涡环和停止涡环之间的相互作用将周围流体的运动引向钟形腔，从而产生强大的正垂直流。

图10。在时间(a) 14、(b) 14.5、( c) 15、(d) 15.5和(e) 16时，在钟的最后推进循环期间，X-Z平面上的无量纲垂直速度图，${\hat{u}}_z$。矢量的长度与速度的大小成正比。在钟形罩收缩(b，c)和膨胀(d，e)期间，都会产生显著的垂直气流。在收缩期间，随着水母向前游，尾流中有一股强烈的向下(负)射流，钟形体内有一股强烈的向上(正)流。在膨胀阶段，钟形腔内停止涡流产生的流场继续产生强流，增大钟形腔内的正速度。

  在第八个推进循环结束时，比较了沿钟形腔内到尾流的五个不同水平切片的压力( $p$ )、垂直速度( $u_z$ )和横向速度( $u_x$ )的笛卡尔网格数据。在图11中，我们画出了无量纲压力( $\hat{p}$ )、无量纲垂直速度( ${\hat{u}}_z$ )和无量纲横向速度。

相对于水平轴

我们发现在钟形腔的中心出现了较高的正压，而在两侧出现了低压点。将这些读数与图5-10进行比较，我们注意到压力最小值的位置位于涡环内。比较不同垂直坐标下的垂直速度读数，我们发现在膜下腔的中心有一股强的正气流，而在膜下表面有一股向下的气流。尾流中气流沿径向轴线的方向滑动。沿着水母的中心轴下游观察到强烈的负向(向下)流动。横向速度读数显示在中心轴附近最小，两侧在正负读数之间交替。

图11。曲线对应于(a)第八个推进循环结束时，钟形空腔及其尾流中不同垂直高度的笛卡尔数据(流体速度和压力)的水平线输出记录。相对于离垂直轴的距离，标绘了(b)无量纲压力($\hat{p}$)，( c)无量纲垂直速度(${\hat{u}}_z$)和(d)无量纲横向速度(${\hat{u}}_x$)。回想一下，无量纲速度是作为每半个推进循环所经过的钟形高度给出的。

  对于图12中的参考配置，可以看到钟的空间激活和释放模式的快照。沿着钟形边缘的张力激活后，钟形收缩(图12a-e)。然后，随着施加的张力移除，钟形件膨胀(图12f–I)。当钟膨胀时，它的边缘会弯曲。这种效应取决于钟形罩的材料特性， ${\eta }_m$ 和 ${\eta }_{var}$ ，这将在后面讨论。在钟形件收缩期间没有观察到屈曲，此时主动张力的应力支配变形体的被动弹性应力。如果中胶层是一种均质的不可压缩材料，那么由于材料上的轴向应变而产生的压缩将导致横向轴向的膨胀。体积模量的贡献，在我们的模型中不存在，反过来可能导致收缩阶段的屈曲。值得注意的是，由于放射状纤维的存在，中胶层是一种非均质材料 (Megill et al，2005) ，需要进行额外的工作来表征这种生物材料的体积模量 (Wainwright，1982) ，以从数学上全面检查钟形结构是否以这种方式变形。

图12。在钟的推进循环中，在时间(a) 0、(b) 0.25、(c ) 0.5、(d) 0.75、(e) 1.0、(f ) 1.25、(g) 1.5、(h) 1.75和(i) 2.0时钟的快照。注意时间是以半推进周期给出的。钟形颜色表示收缩的瞬时强度。在收缩阶段(b–e ),主动张力被施加到钟形边缘。然后，钟形件被允许被动膨胀(f-I)至其静止状态。注意张力释放时边缘(f)的弯曲。

3.2 改变钟的主动和被动材料属性

  在下面的一组模拟中，通过改变无量纲的边缘刚度 ${\eta }_m$ 和无量纲的最大外加张力 $T_{max}$ (见(2.11)、(2.19)和(2.20))来研究钟形模型的被动和主动材料特性之间的关系。在第一组模拟中，被动弹性特性保持固定，而主动特性(如施加的张力)是变化的。在第二组模拟中，我们保持主动属性不变，而改变边缘的被动弹性属性。在最后一组模拟中，主动和被动特性都发生了变化，因此边缘刚度和最大施加张力成比例变化。然后，我们比较这个机械空间的运输成本和 $S{t}^{-1}$。以下一组模拟的电影可以在补充材料中找到。

3.2.1 改变施加的张力

  在这组模拟中，钟形件的被动弹性特性固定在其参考值，而最大施加张力在 $T_{max}$ = 16 000、32 000、48 000、64 000、80 000时变化。目标是量化所施加的张力的变化如何导致钟收缩量的变化以及由此产生的游泳速度。随着最大施加张力的增加，钟形件移动的距离 ${\hat{X}}_z$ (图13a)和最大径向位移 $\hat{R}$ (图13b)也增加。图13( c)显示了向前游泳速度与时间的函数关系。我们注意到，在钟形物体被动膨胀的过程中，向前游动的速度也保持着类似的变化。记录在钟顶部的向前游泳速度 $U_z$ ，反映了分别由张力的激活和释放引起的快速上升和下降之后的这些振荡。从钟形件顶部的较大变形可以看出，施加的张力值较大时会出现高频振荡。如图13(d)所示，随着 $T_{max}$ 的增加，在一个推进循环中的平均稳态游泳速度也增加。随着 $T_{max}$ 增加，收缩期观察到的峰值功率也增加(图13e)。

图13。不同大小的无量纲外加张力下泳钟位移和游泳性能的比较。标绘的是(a)作为时间的函数的钟的位移(以钟的高度计)， ${\hat{X}}_z$ (以半推进循环计)， $\hat{t}$ ，(b)作为时间的函数的在第七和第八推进循环期间的空间平均边缘半径(以钟的直径计)， $\hat{R}$ ，(c )作为时间的函数的钟的向前游动速度(以每半推进循环行进的钟的高度计)， ${\hat{U}}_z$ ，在第七和第八推进循环期间， (d)作为循环次数函数的时间平均速度(以每半个推进循环运行的钟高度表示),以及(e)与驱动钟收缩的施加主动张力相关的无量纲功率 ${\hat{P}}_m$。 随着张力的增加，向前游动的速度和径向位移也增加。注意，对于不同程度的张力，即使最终的游泳速度不同，在伸展阶段向前游泳速度的振荡是相似的。

图14。第八个推进循环结束时的平面外涡度图, ${\hat{\omega }}_y$ ，$T_{max}$ 等于(a) 16 000，(b) 32 000，( c) 48 000，(d) 64 000和(e) 80 000。随着张力的增加，起始涡环变得更加明确，并且被平流输送到离钟形罩更远的地方(d，e)。在低张力情况(a)中，在钟形罩的尾流中没有轮廓分明的涡环。

  图14显示了不同张力值模拟结束时的平面外涡量 ${\hat{\omega }}_y$ 。对于 $T_{max}>48000$ ，我们注意到尾流中存在轮廓分明的起始涡环，同时还存在强的停止涡在钟腔里。在 $T_{max}=16000$ 的情况下，我们发现一个不太明确的尾涡，对应于可以忽略的向前游动速度。

图15。在第八个推进循环结束时，无量纲垂直速度uz的等值线图， $T_{max}$ 等于(a) 16 000，(b) 32 000，(c ) 48 000，(d) 64 000和(e) 80 000。随着张力的增加，钟形尾流中垂直速度为正的区域的体积也增加。在 $T_{max}=16000$ 时，出现一小列负垂直速度，但没有明显的正垂直速度。

  比较图15中无量纲垂直速度的等值线 ${\hat{u}}_z$ ，我们发现，增加所施加的主动张力的大小会增加紧接钟形尾流中的正垂直速度。如图16所示，增加施加的有效张力会在钟形罩的尾流中产生更大的负径向速度。

图16。在第八个推进循环结束时，速度的无量纲径向分量 ${\hat{u}}_{rad}$ 的等值线图，$T_{max}$ 等于(a) 16 000，(b) 32 000，(c ) 48 000，(d) 64 000和(e) 80 000。随着张力的增加，紧接着钟形尾流中负径向速度的等容线体积也增加。

  图17显示了在一个推进循环后，每一个外加张力的无量纲涡量级的等值线图。随着最大施加张力的增加，起始涡环和钟形罩之间的距离增加。对于 $T_{max}=16000$ ，我们注意到不存在起始涡，而 $T_{max}=80000$ 的曲线显示在钟形罩内腔附近存在起始涡。

图17。在第一个推进循环结束时，无量纲涡量级的等值线图，$T_{max}$ 等于(a) 16 000，(b) 32 000，(c ) 48 000，(d) 64 000和(e) 80 000。注意，对于 $T_{max}=80000$ ，起始涡环比 $T_{max}$ = 32 000、48 000和64 000时离钟形罩平流得更远。注意$T_{max}=16000$ 缺少一个确定的起始涡环。

  图18(a、b)分别报告了不同张力值的运输成本和 $S{t}^{-1}$ 。运输成本随着最大外加张力的增加而降低，在 $T_{max}=48000$ 处达到稳定状态，在 $T_{max}=80000$ 处略有增加。这表明，更快的稳定游泳速度增加的阻力在增加运输成本中发挥了作用，因为阻力与速度的平方成正比。检查 $S{t}^{-1}$ 时，我们发现 $T_{max}$ 越大， $S{t}^{-1}$ 越高。注意对于 $T_{max}>48000$ ，游泳钟在泰勒等人(2003)描述的峰值推进效率范围内。

图18。(a)COT，通过参考案例的运输成本( $CO{T}_{ref}$ )标准化，以及(b)逆Strouhal数，St 1，作为所施加张力大小的函数。注意，运输成本最初随着所施加张力的增加而降低。对于$T_{max}>48000$ ，我们注意到运输成本开始略有增加，这表明随着钟形罩经历更大的变形，阻力的作用增加。 $S{T}^{-1}$ 随着$T_{max}$的增加而增加。注意，当 $T_{max}>48000$ 时，钟形部件处于峰值推进效率范围， $0.2<St<0.4$ 。

3.2.2 可变边缘刚性

  对3.2.1进行补充研究，将最大外加张力固定在 $T_{max}=48000$ ，并改变边缘刚度 ${\eta }_m$ = 125，250，375，500，625。考虑到 ${\eta }_m$ 的变化，通过调整 ${\eta }_{var}$ 来固定钟形罩顶部的刚度 ${\eta }_{tot}$ ，当 ${\eta }_m$ 减小时，移动的距离增加，如图19(a)所示，钟形罩膨胀所需的时间也增加，如图19(b)所示。在图19(c，d)中，对于更灵活的钟形边缘，可以看到更高的向前游动速度和更高的平均游动速度。图19(e)表明，在推进循环中观察到的最大功率随着 ${\eta }_m$ 的增加而减小，这是由于钟形罩的被动弹性增加了阻力。

图19。在施加固定大小的张力的情况下，针对不同的钟形边缘弹性模量，比较钟形位移和不同的游泳性能指标。标绘的是(a)作为时间的函数的钟的位移(以钟的高度计)， ${\hat{X}}_z$ (以半推进循环计)， $\hat{t}$ ，(b)作为时间的函数的在第七和第八推进循环期间的空间平均边缘半径(以钟的直径计)， $\hat{R}$ ，(c )作为时间的函数的钟的向前游动速度(以每半推进循环行进的钟的高度计)， ${\hat{U}}_z$ ，在第七和第八推进循环期间， (d)作为循环次数函数的时间平均速度(以每半个推进循环运行的钟高度表示),以及(e)与驱动钟收缩的施加主动张力相关的无量纲功率 ${\hat{P}}_m$。随着钟形边缘的刚度 ${\eta }_m$ 减小，向前游动的速度增加，最大径向位移增加。

  图20显示了不同边缘弹性模拟结束时的平面外涡量, ${\hat{\omega }}_y$ 。随着边缘弹性模量的降低，在钟形罩的尾流中出现了更多确定的起始涡环，同时在钟形罩空腔中出现了更多确定的补充停止涡环。这是因为钟形罩在较低的刚度下变形更大。对于最刚性的情况，${\eta }_m=625$ ，钟形运动不会在尾流中产生强的停止涡环，这与最慢的向前游动速度相对应。

图20。第八个推进循环后的无量纲平面外涡度图, ${\hat{\omega }}_y$ ， ${\eta }_m$ 等于(a) 125，(b) 250，(c ) 375，(d) 500和(e) 625。随着裕度灵活性的增加，收缩期间脱落的起始涡环变得更加明确，并向下游平流。对于 ${\eta }_m=625$ ，钟形腔内没有清晰的停止涡环。

  比较图21中无量纲垂直速度的等值线 ${\hat{u}}_z$ ，我们发现，增加边缘挠性也会增加紧接钟形尾流中的正垂直速度。如图22所示，增加裕度挠性会在钟形尾流中产生更大的负径向速度。

图21。第八个推进循环结束时无量纲垂直速度 ${\hat{u}}_z$ 的等值线图， ${\eta }_m$ 等于(a) 125、(b) 250、(c ) 375、(d) 500和(e) 625。随着裕度挠性的增加，在紧接着的钟形尾流中，以相当大的正垂直速度运动的流体体积增加。在尾流中以负垂直速度运动的流体的强度和体积也增加。

图22。第八个推进循环结束时无量纲径向速度的等值线图， ${\eta }_m$ 等于(a) 125、(b) 250、(c ) 375、(d) 500和(e) 625。随着裕度挠性的增加，在紧接着钟形罩的尾流中，以显著的负径向速度运动的流体体积增加。

  检查第一次推进循环后的涡量级(图23)，我们注意到，随着边缘弹性模量的降低，起始涡环与钟的距离随着水母游得更快而增加。在较低的张力下，确实会出现一个弱的起始涡，但它低于绘制涡量等值线的阈值。一般来说，游泳速度随着起始涡流的强度而增加。

图23。在第一个推进循环结束时，无量纲涡量级的等值线图， ${\eta }_m$ 等于(a) 125，(b) 250，(c ) 375，(d) 500和(e) 625。注意，对于 ${\eta }_m=125$ ，在一个推进循环后，起始涡环比 ${\eta }_m$ = 250，375，500，625平流到更下游。

  图24(a，b)分别检验了不同弹性模量的运输成本和 $S{t}^{-1}$ 。随着边际弹性模量的增加，运输成本也增加。在 ${\eta }_m=625$ 时观察到一个显著的增加。 $S{t}^{-1}$ 随着边缘刚度的增加而降低。在较低的边缘刚度下， ${\eta }_m\le 375$ ，钟形罩在最佳 $St$ 范围内工作。

图24。(a)根据参考配置的运输成本( $CO{T}_{ref}$ )标准化的COT，以及(b)逆Strouhal数， $S{t}^{-1}$ ，作为施加固定大小张力的钟形边缘弹性模量的函数。请注意，运输成本随着 ${\eta }_m$ 的增加而急剧增加。随着${\eta }_m$ 增大， $St^{- 1} 减小。当 ${\eta }_m\le 375$ 时，钟在最佳 $St$ 范围内跳动。

3.2.3 改变有效边缘刚度

  在3.2.1和3.2.2中，我们分别改变了最大外加张力和边缘弹性，以探讨它们在游泳表现中的作用。在这一部分，最大施加张力与边缘弹性模量 ${\eta }_m\propto T_{max}$ 成比例变化。使用我们的参考案例中 $T_{max}$ 和 ${\eta }_m$ 的参数比，${\eta }_m$ 是变化的， $T_{max}$ 依次被调整以保持相同的比例。研究了钟的垂直位移(图25a)和平均向前游泳速度(图25d ),我们发现当 ${\eta }_m>250$ 时，钟以相当的向前游泳速度移动。对于 ${\eta }_m=125$ ，这个钟明显比其他钟慢。注意，尽管在推进循环中， ${\eta }_m>250$ 的平均速度是相似的，但随着钟形结构的收缩和扩张，向前游动的轮廓(图25c)变化很大。检查图25(b)中钟形件的径向位移，注意到 ${\eta }_m=125$ 时的径向位移较小，相对于其他情况，张力释放后的被动膨胀更加平缓。这一结果表明，将流体推出钟形罩所需的力大于使弹性钟形罩变形所需的力。图25(e)表明，随着asηm的增加，推进循环中最大和最小功率的大小也大大增加。

图25。当施加的张力大小与无量纲化的弹性模量成比例时，铃位移和游泳性能的比较。标绘的是(a)作为时间的函数的钟的位移(以钟的高度计)， ${\hat{X}}_z$ (以半推进循环计)， $\hat{t}$ ，(b)作为时间的函数的在第七和第八推进循环期间的空间平均边缘半径(以钟的直径计)， $\hat{R}$ ，(c )作为时间的函数的钟的向前游动速度(以每半推进循环行进的钟的高度计)， ${\hat{U}}_z$ ，在第七和第八推进循环期间， (d)作为循环次数函数的时间平均速度(以每半个推进循环运行的钟高度表示),以及(e)与驱动钟收缩的施加主动张力相关的无量纲功率 ${\hat{P}}_m$。随着边缘刚度的增加，所施加张力的大小与弹性模量之间的比率保持不变。对于 ${\eta }_m$ = 250，375，500，625，向前游动的速度彼此相似，尽管在径向位移上有一些差异。例外情况是 ${\eta }_m$ = 125，其径向位移和向前游动的速度远小于其他情况。

  图26显示了不同 ${\eta }_m$ 值下 $t=1.25$ 膨胀阶段钟形件的变形和施加张力的激活模式。不同 ${\eta }_m$ 膨胀循环期间钟形件边缘尖端的快照如图27所示。补充材料中提供了一个比较模拟总长度的钟形边缘移动的电影。在钟形件膨胀期间观察到的钟形件边缘的屈曲模式是钟形件的弹性恢复力、任何剩余的主动张力和周围流体施加的力之间的相互作用的结果。随着 ${\eta }_m$ 的减小，我们注意到在钟形框边缘存在高频屈曲模态。我们还注意到，最大屈曲变形发生在膨胀阶段的后期。最后，随着 ${\eta }_m$ 的增加，屈曲模式的幅度也增加。

图26。 ${\eta }_m$ 等于(a) 125、(b) 250、( c) 375、(d) 500和(e) 625的扩展阶段(时间= 1.25)的钟形。 $T_{max}$ 与弹性模量成比例变化。张力的空间激活被映射到钟上。注意，以 ${\eta }_m$ 表示的屈曲模式是变化的。

图27。在 ${\eta }_m$ 等于(a) 125，(b) 250，(c ) 375，(d) 500和(e) 625的第一个推进循环的膨胀阶段钟形边缘变形的快照。补充材料中提供了一个比较模拟总长度的钟形边缘移动的电影。注意，施加的最大张力出现在接近等于0.75的时间，尽管如果来自周围环境的流体力大于被动弹性力，裕度可能继续收缩。随着 ${\eta }_m$ 的减小，我们注意到在钟形边缘出现了更高的屈曲模态。峰值屈曲振幅的时间也取决于 ${\eta }_m$ ，随着 ${\eta }_m$ 的增加，钟形罩完全展开所需的时间减少。

  检查不同选择的 ${\eta }_{var}$ 和 $T_{max}$ 的运输成本(图28a)，我们注意到随着钟形边缘弹性模量和最大施加张力的增加，运输成本也增加。这是根据这样一个想法得出的:当 ${\eta }_m$ 增加时，使钟形罩变形需要更多的能量，即使 ${\eta }_m\ge 125$ 时，产生的速度保持相对相似。检查图28(b)中不同参数的 $S{t}^{-1}$ ，我们发现 ${\eta }_m=250375$ 具有最佳性能。由于有许多用于描述动物运动的效率和性能的指标，我们使用两个更常见的选择来说明“最佳”设计是如何根据所使用的指标而变化的。虽然 ${\eta }_m=125$ 可能具有最低的运输成本，但它并不在产生最佳推进效率的 $S{t}^{-1}$ 范围内。另一方面， ${\eta }_m=250375$ 的运输成本相对较低，处于最佳的 $S{t}^{-1}$ 范围内。

图28。(a)根据参考案例的运输成本标准化的成本( $CO{T}_{ref}$ ),以及(b)逆Strouhal数， $S{t}^{-1}$ ，作为边缘弹性模量与所施加张力成比例的函数。请注意，运输成本随着边际弹性模量和外加张力的增加而增加。尽管 ${\eta }_m=125$ 具有最低的运输成本，但它不在具有最高推进性能的 $St$ 范围内。此处 ${\eta }_m$ = 250，375处于最佳 $St$ 范围内，随 ${\eta }_m$ 增加，性能会下降。

3.3 改变雷诺数

  模型的游泳性能也取决于它游泳的雷诺数范围。在这组模拟中，我们研究了游泳 $Re$ = 0.5、2.5、5、25、50、250、500、2500时的性能。仅通过改变流体的动力粘度来调整雷诺数。请注意，在之前的研究中，模型贝尔在 $Re$ = 250 时游泳。钟形的材料参数被设置为参考配置。我们发现随着 $Re$ 的减少，钟移动的距离急剧减少(图29a ),并且 $Re\le 5$ 的情况没有产生任何显著的净向前移动。我们还发现，减小 $Re$ 会导致钟形边缘的径向位移显著减小，如图29(b)所示。在较高 $Re$ 下游泳的模型钟显示出几乎相同的径向位移，而向前游泳的速度(图29c)随着 $Re$ 的增加而增加。检查每个推进周期的平均速度(图29d ),我们发现只有 $Re\ge 25$ 时才产生基本平均的游泳速度。图29(e)显示最大功率随着 $Re$ 的降低而降低.。

图29。当Re变化时，钟位移和游泳性能的比较。标绘的是(a)作为时间的函数的钟的位移(以钟的高度计)， ${\hat{X}}_z$ (以半推进循环计)， $\hat{t}$ ，(b)作为时间的函数的在第七和第八推进循环期间的空间平均边缘半径(以钟的直径计)， $\hat{R}$ ，(c )作为时间的函数的钟的向前游动速度(以每半推进循环行进的钟的高度计)， ${\hat{U}}_z$ ，在第七和第八推进循环期间， (d)作为循环次数函数的时间平均速度(以每半个推进循环运行的钟高度表示),以及(e)与驱动钟收缩的施加主动张力相关的无量纲功率 ${\hat{P}}_m$。请注意，减少Re会导致更低的向前游泳速度和减少钟的收缩。

  在推进循环中产生的涡流的强度和平流也受到 $Re$ 的影响。检查 $Re$ = 25 的平面外涡度(图30)，我们发现钟形尾流缺少轮廓分明的起始涡环。尽管在钟形罩收缩期间产生了显著的旋涡，但增加的流体阻尼量会导致起始旋涡的迅速消散。向前运动几乎完全是在推进循环的收缩阶段产生的。检查 $Re$ = 2.5 时产生的涡量(图31)，我们发现粘性力几乎平衡了推进循环中产生的惯性力，并且涡在与钟形分离之前就消散了。产生的流动几乎是可逆的，看不到明显的向前游动。当 $Re$ 增加到2500时，推进循环期间产生的涡量(图32)与参考情况相似，在膨胀阶段之后，尾流中出现分离的起始涡环，钟形部分出现停止涡环。流体阻尼的减小会导致边缘更强的屈曲。

图30。在时间(a) 0、(b) 1.0、(c ) 2.0、(d) 3.0、(e) 4.0、(f ) 5.0、(g) 6.0、(h) 10.0和(i) 16.0， $Re$ = 25 的无量纲平面外涡度图，${\hat{\omega }}_y$。回想一下，时间是以半推进周期给出的，所以显示了八个脉冲。请注意，虽然在钟形收缩过程中会产生显著的涡流，但流体有效粘度的增加会导致起始涡流迅速消散。

图31。在时间(a) 0、(b) 1.0、(c ) 2.0、(d) 3.0、(e) 4.0、(f ) 5.0、(g) 6.0、(h) 10.0和(i) 16.0，$Re$ = 2.5时的无量纲平面外涡度图， ${\hat{\omega }}_y$ 。显示了八个脉冲。由于粘性力几乎与惯性力平衡，产生的水流几乎是可逆的，看不到明显的向前游动

图32。$Re$ = 2500时 (a) 0、(b) 1.0、(c ) 2.0、(d) 3.0、(e) 4.0、(f ) 5.0、(g) 6.0、(h) 10.0和(i) 16.0的无量纲平面外涡度图。降低有效流体粘度会导致边缘屈曲对涡流尾流的贡献更大

  图33显示了无量纲垂直速度 ${\hat{u}}_z$ 的等值线。随着 $Re$ 的增加，尾流中出现显著差异。在 $Re$ = 2.5时，在推进循环中产生的几乎可逆的气流导致在膨胀阶段钟形尾流中的正垂直速度区域。随着 $Re$ 的增加，在钟形尾流中发现了一个强大的负垂直速度柱，正如先前较高 $Re$ 模拟所见。当 $Re$ = 25时，紧接着钟形尾流有一个较小的正垂直速度区。

图33。第八个推进循环结束时的无量纲垂直速度 ${\hat{u}}_z$ 图， $Re$ 等于(a) 2.5，(b) 25，(c ) 250和(d) 2500。在 $Re$ = 2.5时，我们注意到钟形尾流中的负垂直速度中心柱的损失，正如在以前的模拟中所看到的那样。当 $Re\ge 25$ 时，有效流体粘度的降低会在尾流中产生更大的负垂直速度柱，并在钟形空腔附近产生一个正垂直速度区域。

  比较不同可再生能源的运输成本(图34a ),我们发现运输成本随着可再生能源的减少而增加。这意味着，随着 $Re$ 减小，粘性力开始平衡钟收缩期间产生的惯性力，钟的游泳性能下降。在中间 $Re$ ，当钟形收缩结束和下一次收缩开始之间停止时，第二推力消失。在较低的 $Re$ 下，钟形件在膨胀过程中向后移动。检查 $S{t}^{-1}$ ，我们发现 $S{t}^{-1}$ 随着Re的增加而增加(图34b)。当 $Re\ge 250$ 时，钟在峰值推进效率范围内游动。注意，$S{t}^{-1}$ 在较高 $Re$ 下趋于平稳，因为在较高 $Re$ 下粘性效应的相对变化相对较小。

图34。(a)根据参考案例的运输成本标准化的成本($CO{T}_{ref}$),以及(b)作为雷诺数 $Re$ 的函数的逆斯特罗哈尔数 $S{t}^{-1}$ 。随着可再生能源的减少，运输成本急剧增加。 $Re>250$ 时，钟形推进器在 $St$ 峰值范围内游动。

3.4 环流分析

  为了量化流体如何受到美杜莎力学空间变化的影响，对涡环的循环进行了分析。按照Colin等人(2012年)的方法，我们计算了环流 $\Gamma$，作为涡环沿中心平面区域的涡量积分，如下所示

然后根据特征长度 $L$ 和驱动频率 $\varphi$ 对其进行无量纲化，

  在最后的推进循环中，开始和停止涡环的无量纲循环的时间演变被记录下来(图35)。起始涡环和停止涡环在最初形成时都表现出最大的环流。我们发现，停止涡流的峰值环流明显大于开始涡流的峰值环流，这证实了Gemmell等人(2013年)的实验观察结果。起始涡环的环流以线性方式随时间衰减，在初始峰值之后稳定下降。停止涡旋的环流开始下降。然后，环流达到稳定状态，从而停止涡旋停止随时间显著衰减。这表明，在推进循环的被动能量回收阶段，停止涡在产生二次推力方面继续起作用。

图35。在参考案例的第八个推进循环期间，起始(红色)和停止(蓝色)涡环的环流( $\hat{\Gamma }$ )的时间演变图。起始涡环的环量随着它向远离钟形罩的方向平流而以相当线性的方式减少。停止涡旋最初经历了循环的下降，随后是循环没有显著下降的平稳期。停止涡环的峰值环流明显高于开始涡环的峰值环流。
  在每个推进循环结束时，针对不同的有效裕度刚度 ${\eta }_m$ ，记录了每个循环中无量纲环量的演变(图36)。图36(a，b)分别显示了每个推进循环的起始涡环和停止涡环的循环演变。我们注意到，从一个推进循环到另一个推进循环，起始涡环和停止涡环的环流保持相当稳定。我们还注意到，在所有情况下，停止涡环在循环结束时比开始涡环有更高的环流。在图36(c )中，还记录了与钟形尾流相关的环流，其方法是将钟形尾流中出现的每个涡环的环流相加，这些涡环来自以前的推进循环，包括最近的推进循环。这种方法使我们能够量化所有涡环在维持负垂直速度柱方面的贡献，这种负垂直速度柱将流体从钟形结构中抽走，如Dabiri等人(2005年)所述。我们发现，随着每个推进循环形成更多的涡环，尾流的环量最初会增加，但在模拟的后期，记录的环量会趋于平稳，因为最近一个推进循环的额外环量会被粘性耗散造成的涡流结构中的环量损失所平衡。

图36。在每一个推进循环结束时，不同有效边缘刚度研究的不同 ${\eta }_m$ 的(a)起始涡环、(b)停止涡环和(c )总尾流(即尾流中每个起始涡环的计算环量总和)的无量纲化环量( $\hat{\Gamma }$)图。我们注意到，当从一个循环到另一个循环比较时，与起始涡环和停止涡环相关的环量并没有实质性的变化。与尾流相关的环流，包括来自先前循环的每个起始涡环的环流，最初随着每个推进循环而增加，然后趋于平稳，因为最近的推进循环的贡献与先前循环的起始涡环的粘性耗散相平衡。
  注意到当钟形罩达到稳定状态时记录的环流的相对稳定性，在第八个推进循环结束时，本研究中其他模拟的涡流结构的无量纲环流绘制在图37中。在图37(a)中，针对最大外加张力 $T_{max}$ ，绘制了模拟变化张力研究(3.2.1)的起始涡环、停止涡环和尾流的循环。我们注意到循环随着 $T_{max}$ 的增加而增加。图37(b)同样显示了固定张力研究(3.2.2)中涡环相对于边缘弹性模量 ${\eta }_m$ 的环量。我们发现，当 ${\eta }_m$ 减小， $T_{max}$ 保持不变，尾流环量和起始涡环量增加，而停止涡环量增加的程度较小。在雷诺数研究中，图37(c ),增加流体阻尼，例如在 $Re$ = 25的情况下，会减少循环。注意，在这种情况下，尾流的环流几乎与起始涡环的环流相同。由于大量的粘性耗散，尾流的循环对之前循环的涡环的贡献可以忽略不计。循环随着雷诺数的增加而增加。

图37。与八个推进循环的起始涡环(红色)、终止涡环(蓝色)和尾流(绿色)相关的无量纲化循环( $\hat{\Gamma }$ )图，用于(a)变化张力研究、(b)固定张力研究和(c )雷诺数研究。当施加的最大张力 $T_{max}$ 增加而边缘刚度保持不变时，循环增加。当边缘刚度( ${\eta }_m$ )降低， $T_m$ 保持不变时，循环增加。在雷诺数研究中，我们发现循环随着雷诺数的增加而增加。

小结

  心情好沮丧啊，希望天气赶紧暖和起来吧，真心希望。