背包问题应该都挺熟了，但还是放一下题目

无论是一维还是二维的解法，思路都比较一致，就是用一个二维的$dp$矩阵，$dp[i][j]$ 的定义为前 $i$ 个元素的最优组合在容量为 $j$ 的背包的最大价值。
这个定义非常的巧妙并且很难直接想到，因此，很多dp题目会以背包作为变种，因此，背包是dp中非常经典的例子。

首先看一维的做法，如下所示，比较简单，注意细节：在内层循环中，如果 $j<w$了，可以直接返回。

#include <bits/stdc++.h>
//#include<ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
//#include<ext/pb_ds/trie_policy.hpp>
//using namespace __gnu_pbds;

typedef long long ll;
using namespace std;

typedef pair<int, int> P;
int INF = 1 << 30;
int main()
{
    int N, W;
    scanf("%d %d", &N, &W);
    int dp[W+1];
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for(int i=0;i<N;i++)
    {
        int v, w;
        scanf("%d %d", &w, &v);
        for(int j=W;j>=w;j--)
        {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-w]+v);
        }
    }
    printf("%d\n", dp[W]);
}

接下来看二维的做法，首先讲一下，为什么需要二维的做法，因为一维无法满足部分题目的条件，比如说，如果需要我们找到放进背包具体是哪几个物品，一维的是无法保存历史信息的，在这个例子下我们就需要保存二维矩阵，再进行回溯。

接下来看二维的代码，注意到就算 $j<w$ 了，我们也不能跳出循环（这个会多消耗一些时间，但影响不大）而是要把上面的结果复制下来，算是和一维最重要的区别了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//#include<ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
//#include<ext/pb_ds/trie_policy.hpp>
//using namespace __gnu_pbds;

typedef long long ll;
typedef vector<int> V;
// int MOD = 1e9 + 7;

int main()
{
    int N, W;
    scanf("%d %d", &N, &W);

    vector<V> dp(N+1, V(W+1, 0));

    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        int v, w;
        scanf("%d %d", &w, &v);
        for(int j=W;j>=0;j--)
        {
            if(j-w < 0)dp[i][j] = dp[i-1][j];
            else dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w]+v);
        }
    }


    printf("%d\n", dp[N][W]);
}