【数据结构】堆的拓展延伸 —— 堆排序 和 TopK问题

news2024/11/30 6:43:34

文章目录

  • 前言
  • 堆排序
  • TopK问题
  • 结语

前言

上篇博客，我们实现了堆。那么堆到底有什么应用情景？今天的内容就是堆的两个应用，堆排序和TopK问题。话不多说，我们这就开始。

堆排序

堆排序，是根据堆的结构而设计出的一种排序算法，其时间复杂度：O(N * logN)，空间复杂度：O(1)。

堆排序的前提是需要 构建一个堆，而建堆有两种方法：

向上调整建堆：

上篇博客中，我们实现过 堆的向上调整算法。我们使用向上调整方法建堆时，需要复用堆的两个接口：初始化 和 插入(插入中调用了向上调整)。

通过这种方法，我们可以建堆成功。

image-20221122005820778

那么它的时间复杂度怎么计算？

image-20221122010840677

对于 向上调整 来说，除了第一层无需调整，其他层数都需要调整。而 二叉树每层的节点是呈 2 倍递增的。

所以其实 最后一层的节点 比 前 h - 1 层 都多，最后一层的节点数为：2^(h-1) * (h-1)，再对其进行处理：2^h * (h-1)/2。

这里的 h 为 高度，我们设 N 为二叉树的总结点数。假设二叉树每一层都是满的，那么每层节点数就呈一个等比数列：20~ 2(h-1)。通过等比数列求和，可以求出二叉树的总结点数为：2^h - 1，那么就可以推导出 h 和 N 之间的关系为：2^h-1 = N.

那么式子 2^h*(h-1)/2，就可以继续转换为：(N+1)(logN-1)/2，省去常数项和除数，就可以推出 向上调整算法的时间复杂度为O(N * logN)。

那么对于向下调整呢？它的时间复杂度是否更优？

向下调整建堆：

首先明确一点，可以使用向上调整或向下调整算法的前提是，数组的结构是一个堆。向上调整算法由于是从0开始构建的，每一次push都保证它是一个堆，这点它不需要考虑。

但是对于向下调整算法来说，给定的数组可能不是一个堆，所以第一步就是将 给定数组 调成一个堆：

image-20221122020722056

那么建堆的时间复杂度又是多少？这里就又要进行推导：

image-20221122020935978

根据推导，我们可以得知 向下调整建堆的时间复杂度为O(N)。

所以就时间复杂度上，明显向下调整建堆的方法更优。

那么接下来，就到了堆排序的第二步，选择排升序还是降序。

我们这里就举 排升序 的例子：

如果要使 堆排序的排序方式为升序，那么我们应该构建 大堆 还是 小堆 ？

先假设我们构建的是一个小堆：

image-20221122025225572

小堆被否决，我们就需要构建大堆：

image-20221122031208122

而这里我们构建大堆在向下调整的过程中，每个节点最多向下调整 logN 次。

建堆的时间复杂度为O(N)，而排序的过程根据最后一层计算出的时间复杂度为O(N * logN)，那么整体的时间复杂度就为N+N*logN，忽略掉N，堆排序的时间复杂度为O(N * logN)

那么堆排序对比冒泡排序、插入排序等时间复杂度为O(N^2)的排序的排序速度有多快呢？

对于 N^2 的如果有100w个值，那么就要跑一万亿次；而对于 N*logN 而言，只需要跑 2000w 次。这就体现出差距了。

建大堆，排升序代码：

// 交换
void Swap(int* p1, int* p2)
{
	int tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

// 向下调整
void AdjustDown1(int* a, int sz, int parent)
{
	int child = 2 * parent + 1;

	// 建大堆
	while (child < sz)
	{
		if (child + 1 < sz && a[child + 1] > a[child])
		{
			child++;
		}
		
		// 判断孩子是否大于父亲
		if (a[child] > a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = 2 * parent + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void HeapSort(int* a, int sz)
{
	// 建堆
	for (int i = (sz - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown1(a, sz, i);
	}

	// 此刻堆已经建好了
	// 排升序，已经建了大堆，就需要调整元素

	int end = sz - 1;
	while (end > 0)
	{
		Swap(&a[0], &a[end]);
		AdjustDown1(a, end, 0);
		end--;
	}
}

void TestHeap1()
{
	int array[] = { 27, 15, 19, 18, 28, 34, 65, 49, 25, 37 };
	HeapSort(array, sizeof(array) / sizeof(int));

	for (int i = 0; i < sizeof(array) / sizeof(int); ++i)
	{
		printf("%d ", array[i]);
	}
	printf("\n");
}

int main()
{
	TestHeap1();
}

image-20221122144520869

TopK问题

TopK问题：即求数据结合中 前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。

比如 csdn的热榜前一百、世界五百强、古代的四大美女等。

对于TopK问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。

比如在N个数中找出最大的 k 个数。最佳的方式就是用堆来解决，而堆又有两种方案：

  1. 建立一个 N 个数的大堆，pop k 次，依次取堆顶元素，依次得到最大的 k 个数。
  2. 建立一个 k 个数的小堆，依次遍历数据，数据比堆顶数据大就替换堆顶，再向下调整堆，最后小堆中就是最大的 k 个数。

我们先分析 第一种方案：

对于 N 不大的情况，这种方法是可以的。但是如果 N 是一百亿呢，这时这些数据的大小就是40G，我们买来的电脑内存才16G，那肯定就开不了这么大的堆。

虽然它有着 k * logN 的时间复杂度，且在内存放的下的情况下，空间复杂度更是达到了O(1)，但是它因为可能有着内存放不下的风险，所以这个方案被否决了。

那么我们接着看 第二种方案：

内存中可能放不下这些数据，那么就可以放到磁盘中，也就是放到我们的文件中，有了这个前提，我们再开始。

首先，我们分析一下，为什么要建 k 个数的小堆：

我们的目的是选出 最大的 k 个数，大堆堆顶的数据为最大，如果一开始建堆的 k 个数，就包含着 N 个数中最大的数，其他的数不是最大的数之一。那么最大的数据堵在堆顶，其他数据就进不来了。所以一定要建小堆。

image-20221122172601196

当建好堆之后，遍历 N 个数，由于是小堆，那么遍历的数据一旦比堆顶数据大，就把元素放入堆，然后重新调整，再选出堆中最小的数，循环往复，最后堆中就是最大的 k 个数。

我们再分析一下时间复杂度，建小堆的时间复杂度为：O(k)，遍历选数的时间复杂度为：O(N - k) * logk。那么总体就是 k + (N - k) * logk，化简一下就为：O(N * logk)。

而空间复杂度由于建了 k 个数的堆，就是O(k)。

这里我们使用随机数 + 文件读写的方式，并且在文件中放入几个大于随机数最大值的数据，检测是否完成选最大的 k 个数的任务：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1 

#include <stdio.h>
#include <time.h>
#include <stdlib.h>
void Swap(int* p1, int* p2)
{
	int tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

void AdjustDown2(int* a, int sz, int parent)
{
	int child = 2 * parent + 1;

	// 建小堆
	while (child < sz)
	{
		if (child + 1 < sz && a[child + 1] < a[child])
		{
			child++;
		}
		// 判断孩子是否小于父亲
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = 2 * parent + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void TestHeap3()
{
	int n, k;
	printf("请输入n和k:>");
	scanf("%d%d", &n, &k);
	srand((unsigned int)time(NULL));

	// 写文件
	FILE* in = fopen("data.txt", "w");
	if (in == NULL)
	{
		perror("fopen fail");
		return;
	}
	
	for (int i = 0; i <= n - 5; i++)
	{
		fprintf(in, "%d\n", rand());
	}

	// 手动输入大于随机数最大值的值
	fprintf(in, "%d\n", 66666);
	fprintf(in, "%d\n", 77777);
	fprintf(in, "%d\n", 88888);
	fprintf(in, "%d\n", 99999);
	fprintf(in, "%d\n", 55555);

	fclose(in);
	in = NULL;

	// 读文件
	FILE* out = fopen("data.txt", "r");
	if (out == NULL)
	{
		perror("fopen fail");
		return;
	}
	// 动态开辟空间
	int* minHeap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
	if (minHeap == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		return;
	}

	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		fscanf(out, "%d", &minHeap[i]);
	}

	int val = 0;
	// 取k个数，建小堆
	for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown2(minHeap, k, i);
	}

	// 开始调整
	while (fscanf(out, "%d", &val) != EOF)
	{
		if (val > minHeap[0])
		{
			minHeap[0] = val;
			AdjustDown2(minHeap, k, 0);
		}
	}

	// 打印minHeap 就是 topK
	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		printf("%d ", minHeap[i]);
	}

	printf("\n");
	fclose(out);
	out = NULL;
}

int main()
{
	TestHeap3();
}

image-20221122171628691

结语

到这里，本篇博客就到此结束了。可能看到这里，大家可能会有点迷糊。因为今天的两个应用相对于之前是有难度的，里面有很多公式的推导和证明。博主第一遍学习的时候也是迷迷糊糊的，这是正常的，多看几遍，画画图，理解一下，就会好理解很多，而博主很笨都能理解，大家这么优秀也肯定可以理解的哈哈哈。

多写多练才是最重要的！

如果觉得anduin写的还不错的话，还请一键三连！如有错误，还请指正！

我是anduin，一名C语言初学者，我们下期见！

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