点云配准算法之NDT算法原理详解

news2025/4/25 17:05:44

一、算法概述

NDT（Normal Distributions Transform）最初用于2D激光雷达地图构建（Biber & Straßer, 2003），后扩展为3D点云配准。它将点云数据空间划分为网格单元（Voxel），在每个体素中拟合一个高斯分布，用此概率模型对点进行匹配优化。

与 ICP 不同，NDT 是一个概率模型配准算法，具有更强的鲁棒性，适合处理稀疏/局部不一致的点云。

二、核心思想

目标点云（target map）中的每个体素内，使用包含的点拟合高斯分布。
源点云（source cloud）中的点通过变换 $(T)$ 后，落入目标空间中对应体素。
对每个变换后点 $(x)$ ，在该体素对应的高斯模型上计算似然概率。
使用最大似然估计或最小负对数似然，优化变换参数。

三、数学建模与公式推导

1️高斯分布建模（每个体素）

每个体素 $V_i )$ 中的点 ${x_j\} )$ 用一个多维高斯分布拟合：

$\mu_i = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} x_j,\quad \Sigma_i = \frac{1}{n-1} \sum_{j=1}^{n} (x_j - \mu_i)(x_j - \mu_i)^T ]$

其中：

$\mu_i )$ ：均值向量
$\Sigma_i )$ ：协方差矩阵

2️目标函数构建（最大似然）

给定一个源点 $(p)$ ，变换后为 $(x = T (p))$ ，其在某个体素内，拟合的高斯分布概率密度为：
$\frac{1}{(2\pi)^{d/2} |\Sigma|^{1/2}} \exp\left( -\frac{1}{2}(x - \mu)^T \Sigma^{-1}(x - \mu) \right) ]$
我们选择最大化所有点的概率密度（最大似然），等价于最小化负对数似然：
$\mathcal{E}(T) = \sum_{x \in T(P)} \frac{1}{2}(x - \mu)^T \Sigma^{-1}(x - \mu) ]$
（去掉常数项后的负对数似然）

四、优化过程

我们要最小化目标函数 $\mathcal{E}(T) )$ ，对变换参数（旋转和平移）进行优化。

记：

源点 $(p)$
当前变换 $\theta) )$
$\theta )$ 是 6 维参数向量（3 平移 + 3 欧拉角/李代数）

采用高斯牛顿法或牛顿法迭代优化：

梯度：

$\nabla \mathcal{E} = \sum_{i} J_i^T \Sigma_i^{-1}(x_i - \mu_i) ]$
其中 $J_i = \frac{\partial x_i}{\partial \theta} )$ ：变换后的点对参数的雅可比。

海塞矩阵（近似）：

$\sum_{i} J_i^T \Sigma_i^{-1} J_i ]$
然后迭代更新：
$\theta_{k+1} = \theta_k - H^{-1} \nabla \mathcal{E} ]$
可使用李代数 $(\mathfrak{se}(3))$ 表达变换更稳定。

五、变换模型：SE(3)

为了数值稳定和避免欧拉角奇异性，NDT 实际实现常用李代数参数化变换：
$T(\xi) = \exp(\xi^\wedge) ]$
其中：

$\xi \in \mathbb{R}^6 )$ ：李代数（3 旋转 + 3 平移）
$\xi^\wedge )$ ：向量到矩阵的帽运算
$\exp )$ ：李群指数映射

更新形式：
$\xi_{k+1} = \xi_k - H^{-1} \nabla \mathcal{E} ]$
最终变换为 $\exp(\xi^\wedge) )$

六、NDT vs ICP

对比项	NDT	ICP
模型方式	概率分布（高斯）	最近点对
优化目标	最大似然估计	点对距离最小
收敛半径	较大，鲁棒性强	对初始值敏感
可导性	连续、可微	需要最近邻离散搜索
实现复杂度	中高	低

七、示意图（可视理解）

将目标点云转换为栅格地图（VoxelGrid）
每个体素内构建高斯模型
源点经过变换后投影到高斯模型空间，优化拟合度

八、变体与优化

3D NDT（PCL 中的实现）
NDT-OM（Occupancy Mapping）
Fast NDT：稀疏点、高效矩阵更新
Robust NDT：加入鲁棒核函数（Huber/Loss）

九、PCL 中的 NDT 使用（C++）

#include <pcl/registration/ndt.h>
#include <pcl/io/pcd_io.h>
#include <pcl/point_types.h>

int main() {
    pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>::Ptr target (new pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>);
    pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>::Ptr source (new pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>);
    pcl::io::loadPCDFile("target.pcd", *target);
    pcl::io::loadPCDFile("source.pcd", *source);

    pcl::NormalDistributionsTransform<pcl::PointXYZ, pcl::PointXYZ> ndt;
    ndt.setTransformationEpsilon(0.01);
    ndt.setStepSize(0.1);
    ndt.setResolution(1.0);
    ndt.setMaximumIterations(35);
    ndt.setInputSource(source);
    ndt.setInputTarget(target);

    pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ> aligned;
    ndt.align(aligned);

    std::cout << "Has converged: " << ndt.hasConverged()
              << " score: " << ndt.getFitnessScore() << std::endl;
}

十、Open3D 中的 NDT 使用（Python）

import open3d as o3d

source = o3d.io.read_point_cloud("source.pcd")
target = o3d.io.read_point_cloud("target.pcd")

trans_init = np.eye(4)
result = o3d.pipelines.registration.registration_ndt(
    source, target, max_distance=1.0, init=trans_init,
    criteria=o3d.pipelines.registration.RegistrationCriterion()
)

print("Transformation:\n", result.transformation)