NO.58十六届蓝桥杯备战|基础算法-枚举|普通枚举|二进制枚举|铺地毯|回文日期|扫雷|子集|费解的开关|Even Parity(C++)

news2025/3/31 10:26:26

枚举

顾名思义,就是把所有情况全都罗列出来,然后找出符合题⽬要求的那⼀个。因此,枚举是⼀种纯暴⼒的算法。
⼀般情况下,枚举策略都是会超时的。此时要先根据题⽬的数据范围来判断暴⼒枚举是否可以通过。
使⽤枚举策略时,重点思考枚举的对象(枚举什么),枚举的顺序(正序还是逆序),以及枚举的⽅式(普通枚举?递归枚举?⼆进制枚举)

普通枚举

P1003 [NOIP 2011 提高组] 铺地毯 - 洛谷

枚举所有的地毯,判断哪⼀个地毯能够覆盖(x, y)这个位置。
优化枚举⽅式:

  • 因为我们要的是最后⼀个能够覆盖x,y位置的地毯,那么逆序枚举所有的地毯,第⼀次找到覆盖x,y位置的就是结果;
  • 如果从前往后枚举,我们⾄少要把所有地毯都枚举完,才能知道最终结果。
    ![[Pasted image 20250325171250.png]]

a要小于等于x
b要小于等于y
x要小于等于a+g
y要小于等于b+k

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e4 + 10;
int n;
int a[N], b[N], g[N], k[N];
int x, y;

int find()
{
    for (int i = n; i >= 1; i--)
    {
        if (a[i] <= x && b[i] <= y && a[i] + g[i] >= x && b[i] + k[i] >= y)
        {
            return i;
        }
    }
    return -1;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i] >> b[i] >> g[i] >> k[i];
    cin >> x >> y;

    cout << find() << endl;
    
    return 0;
}
P2010 [NOIP 2016 普及组] 回文日期 - 洛谷

方法一:枚举x-y之间所有的数字,然后判断是否回文,如果回文,就拆分成年月日,判断是否是合法日期即可
方法二:仅需枚举年份,因为每个年份对应的回文日期只有一个,拆分成回文形式的月日,然后判断是否合法即可
方法三:枚举所有的月和日,然后拼接成相应的年份,判断是否合法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int x, y;
int day[] = {0, 31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31};

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    
    int ret = 0;
    cin >> x >> y;
    //枚举月日的组合
    for (int i = 1; i <= 12; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= day[i]; j++)
        {
            int k = j % 10 * 1000 + j / 10 * 100 + i % 10 * 10 + i / 10;
            int num = k * 10000 + i * 100 + j;
            if (x <= num && num <= y) ret++;
        }
    }
    cout << ret << endl;
    
    return 0;
}
P2327 [SCOI2005] 扫雷 - 洛谷

我们发现,当第⼀列中,第⼀⾏的⼩格⼦的状态确定了之后,其实后续⾏的状态也跟着固定下来。⽽第⼀列中,第⼀⾏的状态要么有雷,要么没有雷,所以最终的答案就在0, 1, 2中。
因此,我们枚举第⼀列中,第⼀⾏的两种状态:要么有雷,要么没雷。然后依次计算剩下⾏的值,看看是否能满⾜所给的数据。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e4 + 10;

int n;
int a[N], b[N];

int check1()
{
    a[1] = 0;
    for (int i = 2; i <= n+1; i++)
    {
        a[i] = b[i-1] - a[i-1] - a[i-2];
        if (a[i] < 0 || a[i] > 1) return 0;
    }
    if (a[n+1] == 0) return 1;
    else return 0;
}

int check2()
{
    a[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n+1; i++)
    {
        a[i] = b[i-1] - a[i-1] - a[i-2];
        if (a[i] < 0 || a[i] > 1) return 0;
    }
    if (a[n+1] == 0) return 1;
    else return 0;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> b[i];

    int ret = 0;
    ret += check1(); //a[1]不放地雷
    ret += check2(); //a[1]放地雷
    cout << ret << endl;
    return 0;
}

⼆进制枚举

⼆进制枚举:⽤⼀个数⼆进制表⽰中的0/1 表⽰两种状态,从⽽达到枚举各种情况。

  • 利⽤⼆进制枚举时,会⽤到⼀些位运算的知识。
  • ⼆进制枚举的⽅式也可以⽤递归实现。
78. 子集 - 力扣(LeetCode)

枚举1 ~1<<n之间所有的数,每⼀个数的⼆进制中1的位置可以表⽰数组中对应位置选上该元素。那么1 ~1<<n就可以枚举出原数组中所有的⼦集。
根据枚举的每⼀个状态,选出原数组中对应的元素,然后存在结果数组中

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> subsets(vector<int>& nums) {
        vector<vector<int>> ret;
        int n = nums.size();
        //枚举所有状态
        for (int st = 0; st < (1 << n); st++)
        {
            //根据st的状态,还原出要选的数
            vector<int> tmp; //存子集
            for (int i = 0; i < n; i++)
            {
                if ((st >> i) & 1) tmp.push_back(nums[i]);
            }
            ret.push_back(tmp);
        }
        return ret;
    }
};
P10449 费解的开关 - 洛谷

在这个「拉灯游戏」中我们可以得到「三个性质」:

  1. 每⼀个开关「最多只会被按⼀次」。因为按两次及以上是没有意义的,只会让按的次数增多;
  2. 按每⼀个开关的「先后顺序」不会影响最后的结果。可以想象,当所有开关按的⽅式确定之后,每⼀个开关被改变的「次数」也就被确定了,也就是说不管你先按谁后按谁,改变的次数是固定的,那么结果就是固定的;
  3. 如果「确定了第⼀⾏」的按法,后续⾏的按法就也固定下来了。因为第⼀⾏的按法固定之后,第⼆⾏的按法需要把第⼀⾏「全部点亮」;当第⼆⾏的按法确定之后,第三⾏的按法需要把第⼆⾏「全部点亮」…,依次类推,后续⾏的按法就都确定下来了。
核心思路

有了这三个性质,那么我们的核⼼思路就是:

  1. 暴⼒「枚举」第⼀⾏的所有按法;
  2. 然后根据第⼀⾏的按法,计算出当前⾏以及下⼀⾏被按之后的结果;
  3. 根据上⼀⾏被按了之后的状态,确定当前⾏的按法,然后重复2 操作;
  4. 最后判断最后⼀⾏是否全部都亮。
    接下来考虑每⼀步如何「优美」的实现。为了⽅便起⻅,我们读取原数据的时候把所有的1当成0,把所有的0当成1,这样题⽬要求的全亮,就变成全灭,后续各种操作都⾮常舒服。
实现
  1. 读取数据时,我们直接⽤「⼆进制」存每⼀⾏的状态:
    ⽐如:00101 ,对应的就是5。这样我们就可以⽤「位运算」快速实现⼀些操作,⽅便之处会在后续算法原理中体现;
  2. 枚举第⼀⾏所有的按法:
    枚举1~ (1<<5)-1之间所有的数,如果⼆进制表⽰中第i位是1就表⽰第⼀⾏的第i位被按;
  3. 如何计算某个状态下,⼀共按了多少次:
    相当于计算⼆进制表⽰中11 的个数,常规操作
  4. 如何优美的根据当前⾏的按法push,得到当前⾏a[i]以及下⼀⾏a[i+1]被按push了之后的状态:
    a. 当前⾏:被按的位置会影响「当前位置」以及「左右两个位置」的状态,如果状态是0会被变
    成1,如果状态是1会被变成0,不正好是x^1之后的结果么?⼜因为会改变「当前位置」以及「左右两个位置」,所以a[i]的最终状态就是:
a[i] = a[i] ^ push ^ (push<<1) ^ (push>>1);

其中,push<<1有可能会让第5位变成1,这⼀位是⼀个「⾮法」的位置,有可能影响后续判断,我们要「截断⾼位」:(push<<1)^((1<<5)-1);
最终:

a[i] = a[i] ^ push ^ (push>>1) ^ ((push << 1) ^ ((1 << 5)-1));

b. 下⼀⾏:当前⾏的push只会对下⼀⾏「对应的位置」做修改:a[i + 1] = a[i + 1]^ push; 发现没,使⽤「⼆进制」表⽰存状态之后,改变的时候只⽤使⽤「位运算」即可,不然还要写for循环来改变每⼀个位置的值
5. 求出当前⾏被按了之后的结果,如何求出下⼀⾏的按法:
巨简单,当前⾏怎么亮,下⼀⾏就怎么按,这样就可以把当前⾏亮的位置暗灭:nextpush = a[i] ,注意此时的a[i]是被按了之后的状态。
6. 判断最后⼀⾏是否全灭:
判断a[4] == 0即可,我们开头「反着存储」的优势就体现出来了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 10;
int n = 5;
int a[N]; //用二进制存储状态
int t[N];

// 计算1的个数
int calc(int x)
{
    int cnt = 0;
    while (x)
    {
        cnt++;
        x &= x - 1;
    }
    return cnt;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);

    int T; cin >> T;
    while (T--)
    {
        memset(a, 0, sizeof a);

        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            for (int j = 0; j < n; j++)
            {
                char ch; cin >> ch;
                if (ch == '0') a[i] |= 1 << j;
            }
        }

        int ret = 0x3f3f3f3f; //统计所有合法的按法的最小值
        //枚举第一行所有方法
        for (int st = 0; st < (1 << n); st++)
        {
            memcpy(t, a, sizeof a);
            int push = st;//记录当前行的按法
            int cnt = 0; //统计次数
            
            //依次计算后续行的结果
            for (int i = 0; i < n; i++)
            {
                cnt += calc(push);
                //修改当前行被按的结果
                t[i] = t[i] ^ push ^ (push << 1) ^ (push >> 1);
                t[i] &= (1 << n) - 1;  //清空影响
                //修改下一行
                t[i+1] ^= push;
                //下一行按法
                push = t[i];
            }
            if (t[n-1] == 0) ret = min(ret, cnt);
        }
        if (ret > 6) cout << -1 << endl;
        else cout << ret << endl;
    }
    
    return 0;
}
UVA11464 Even Parity - 洛谷
  1. 每⼀个0 如果变成1 ,只会「变⼀次」;
  2. 当第⼀⾏的「最终状态」确定之后,第⼆⾏的「最终状态」也会确定。所以我们可以「暴⼒枚举」第⼀⾏的最终状态,在这个最终状态「合法」的前提下,「递推」出来第⼆⾏的状态,「以此类推」下去。
    考虑⼀下⼏个问题:
  3. 如何枚举第⼀⾏所有的「最终状态」st :
    枚举1 ∼ (1 << n) - 1 之间所有的数,「每⼀个数」就是第⼀⾏的最终状态;
  4. 由于本题只能0 变1 ,所以我们还要「判断」每⼀⾏的最终状态y 「是否合法」:
    很简单,⽐较初始状态x以及最终状态y中「⼆进制表⽰的每⼀位」,如果是0变1 ,就是
    「合法」操作,计数;如果是1变0 ,「⾮法」操作,直接「跳出本次循环」,枚举第⼀⾏的下
    ⼀个状态;
  5. 当前⾏的最终状态a[i]确定之后,如何「递推」下⼀⾏的最终状态a[i + 1]
    规则是当前位置「上下左右」1的个数之和是「偶数」,根据「异或」运算「⽆进位相加」的特
    性,正好就是上下左右位置「异或」的结果是0 。那么下⼀⾏对应位置的状态就是「当前⾏右移⼀位」与「当前⾏左移⼀位」与「上⼀⾏对应位置」异或的结果:
a[i + 1] = (a[i] >> 1) ^ (a[i] << 1) ^ a[i - 1];  

其中a[i] << 1 会造成不合法的位置是1的情况,注意「⾼位截断」:

(a[i] << 1) & ((1 << n) - 1)
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 20;
int n;
int a[N]; // ⽤⼆进制存储状态
int t[N]; // 备份
// 判断 x->y 是否合法
// 返回 -1,表⽰不合法
// 其余的数,表⽰合法,并且表⽰ 0->1 的次数
int calc(int x, int y)
{
	int sum = 0;
	for(int i = 0; i < n; i++)
	{
		if(((x >> i) & 1) == 0 && ((y >> i) & 1) == 1) sum++;
		if(((x >> i) & 1) == 1 && ((y >> i) & 1) == 0) return -1;
	}
	return sum;
}
int solve()
{
	int ret = 0x3f3f3f3f; // 记录最⼩的改变次数
	// 枚举第⼀⾏的最终状态
	for(int st = 0; st < (1 << n); st++)
	{
		memcpy(t, a, sizeof a);
		int change = st;
		int cnt = 0; // 统计 0->1 的次数
		bool flag = 1;
		for(int i = 1; i <= n; i++)
		{
			// 先判断 change 是否合法
			int c = calc(t[i], change);
			if(c == -1)
			{
				flag = 0;
				break;
			}
			cnt += c; // 累加次数
			// 当前⾏的最终状态
			t[i] = change;
			// 计算下⼀⾏的最终状态
			change = t[i - 1] ^ (t[i] << 1) ^ (t[i] >> 1);
			change &= (1 << n) - 1;
		}
		if(flag) ret = min(ret, cnt);
	}
	if(ret == 0x3f3f3f3f) return -1;
	else return ret;
}
int main()
{
	int T; cin >> T;
	for(int k = 1; k <= T; k++)
	{
		// 多组测试数据,记得清空
		memset(a, 0, sizeof a);
		cin >> n;
		for(int i = 1; i <= n; i++) // 避免越界访问
		{
			for(int j = 0; j < n; j++)
			{
				int x; cin >> x;
				if(x) a[i] |= 1 << j;
			}
		}
		printf("Case %d: %d\n", k, solve());
	}
	return 0;
}

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