一，初始递归：阶乘

1，原理

n的阶乘等于n乘以n-1的阶乘，而0的阶乘等于1.

2，代码展示

#include <iostream>
using namespace std;

int fact(int);
int main()
{
   cout<<fact(5);
	return 0;
}

int fact(int n)
{
	if(n==0) return 1;
	
	return n * fact(n-1);
}

二,深化理解：斐波那契数列

1，原理

当n小于等于2时，f（n）= 1；当大于2时，f（n） = f (n-1) + f(n-2).

2，代码展示

a，暴力复杂的方法，复杂度成几何形式增长

#include<iostream>

using namespace std;

int Fibonacci(int);

int main()
{
	cout << Fibonacci(30);
	return 0;
}

int Fibonacci(int n)
{
	if (n == 1 || n == 2) return 1;

	return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}

我的电脑在n 等于100时，就半天跑不出来结果了。

b，动态规划

直接使用数组，不使用函数递归。

int Fibonacci(int n)
{
	if (n == 1 || n == 2) return 1;
	int* dp = new int[n + 1];
	dp[0] = 0;
	dp[1] = 1;

	if (n == 1 || n == 0) return 1;

	for (int i = 2; i < n + 1; i++)
	{
		dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
	}

	int result = dp[n];
	delete[] dp;
	return result;

}

注意点：

1，动态规划设置数组大小

在c语言里你不能用dp[n]来声明一个大小为n的数组。因为数组的大小是在程序运行前就已经确定好了的，所以只能手动设置大小。有两种方法：new 和malloc。

2，数组大小设置为n+1

在斐波那契数列的动态规划实现中，你必须声明一个大小为 n+1 的数组，而不能直接声明大小为 n 的数组。原因如下：

1）. 数组下标从 0 开始

数组的下标是从 0 开始的，因此如果你声明一个大小为 n 的数组，它的有效下标范围是 0 到 n-1，没有包含 n 这个位置。而为了存储第 n 个斐波那契数，你需要一个包含 dp[n] 的数组元素。因此，数组的大小应该为 n+1，以确保能够存储到 dp[n]。

2）. 存储斐波那契数列的所有元素

在动态规划中，你需要存储从 F(0) 到 F(n) 的所有值，以便逐步计算每个值。如果你只分配了 n 个位置，那么 dp[n] 这一位置会超出数组的范围，导致访问越界错误。

举例：

假设 n = 5，你需要存储 dp[0] 到 dp[5]，总共 6 个元素。如果你只分配了一个大小为 n = 5 的数组，那么该数组的有效下标是 0, 1, 2, 3, 4，而你需要 dp[5]，这就会访问越界，从而导致错误。

3，结果溢出

如果最后计算出来的结果超过了 int 类型所能表示的范围，通常会出现 整数溢出（integer overflow）。在这种情况下，计算结果会“回绕”，导致存储在 int 变量中的结果变成一个非常大的负数。这是因为 int 类型有一个固定的取值范围，如果超出了这个范围，它会从最小值重新开始，表现为负数。

int 类型的范围

在大多数平台（例如，32 位系统）上，int 类型的取值范围通常是：

• 最小值：-2,147,483,648 (即 −231−231)
• 最大值：2,147,483,647 (即 231−1231−1)

如果计算结果超出了这个范围，C 语言没有内建的检查机制来防止溢出，而是继续执行，导致溢出行为，并将结果存储在 int 类型的范围内。

举个例子：

假设你的系统上 int 的范围是 -2,147,483,648 到 2,147,483,647。如果你计算一个很大的斐波那契数（例如第 50 个斐波那契数，12586269025），它明显超出了 int 的范围，结果会变成负数，导致输出类似于 -2147483647 或其他类似的负数值。

为什么会显示负数？

如果结果超出了 int 能存储的最大值，计算机会“回绕”到最小值，继续在负数范围内计算，最终显示的是一个负数。实际的计算过程如下：

1. 计算出一个超出范围的值。
2. 由于 int 的最大范围为 2,147,483,647，当结果大于这个值时，数值会“回绕”到负数范围，得到一个负值。

c，空间优化的动态规划

1，原理

类似链表更新节点，我们可以发现求斐波那契值只涉及到前面两个数字，所以使用三个局部变量来实现更新。

2，代码展示

int Fibonacci(int n)
{
	if (n == 1 || n == 2) return 1;
	int current = 0, prev1 = 1, prev2 = 1;
	for (int i = 3; i < n + 1; i++)
	{
		current = prev1 + prev2;
		prev1 = prev2;
		prev2 = current;
	}

	return current;
}

相比于动态规划，这个方法极大地节省空间，减低空间复杂度。

d，矩阵快速幂

涉及到矩阵计算，有点复杂，需要前置知识。

1，原理

2，代码展示

a，矩阵乘法

补充：矩阵怎么作为参数传参

• 使用指针：最常见的方式，适用于动态数组或不确定大小的数组。
• 使用数组类型声明：当数组的大小已知时（如固定行列数），可以直接在函数签名中声明数组的尺寸。
• 指向指针的指针：处理动态二维数组或不规则二维数组时非常有用。
• typedef 定义类型：为二维数组定义新的类型，代码更加简洁和可读。

void matrixmultiply(int F[2][2], int M[2][2])
{
	int x = F[0][0] * M[0][0] + F[0][1] * M[1][0];
	int y = F[0][0] * M[0][1] + F[0][1] * M[1][1];
	int z = F[1][0] * M[0][0] + F[1][1] * M[1][0];
	int w = F[1][0] * M[0][1] + F[1][1] * M[1][1];

	F[0][0] = x;
	F[0][1] = y;
	F[1][0] = z;
	F[1][1] = w;
}

这是对于两行两列矩阵。

b，矩阵的幂

void matrixpowder(int F[2][2], int n)
{
	if (n == 0 || n == 1) return;//when n is 0 or 1,the matrix dont need processing
	int M[2][2] = { {1,1},{1,0} };
	matrixpowder(F, n / 2);
	matrixmultiply(F, F);
	if (n % 2 != 0) matrixmultiply(F, M);
}

 这里用到了递归算法

接下来是解释这串代码：

首先传入的参数F，必须是用于计算斐波那契数列的标准矩阵。数学原理如下：

即求F（n）就是算M的n-1次幂后的矩阵（假设为A）的第一行第一列元素。

然后是if语句判断，当n=1或0时，0是单位矩阵，1是其本身，不做处理。

matrixpowder(F, n / 2);

这行是利用二分法求高幂次的矩阵，对于偶数次幂，二分求F的n/2次幂。一直二分直至n=1或0.后面有矩阵乘法。

	matrixmultiply(F, F);

注意这里的F不再是传入的F，而是二分后的F，所以算的是计算矩阵 Fn=Fn/2×Fn/2Fn=Fn/2×Fn/2

最后的代码是用于处理幂是奇数，即

• 对于奇数 n，Fn=Fn−1×Fn=Fn−1×F，即矩阵的 n 次方可以通过先计算 Fn−1 再乘以 F 来得到。
• 这里，matrixMultiply(F, M) 用于将矩阵 F 再乘上矩阵 M，从而补偿掉少计算的一次矩阵乘法。
  • 如果 n=5，首先计算 F2 并将其平方得到 F4，然后再与 M 相乘得到 F5。

完整代码展示

#include<iostream>

using namespace std;

void matrixmultiply(int F[2][2], int M[2][2]);
void matrixpowder(int F[2][2], int);
int Fibonacci(int);


int main()
{
	cout << Fibonacci(10) << endl;
	return 0;
}

void matrixmultiply(int F[2][2], int M[2][2])
{
	int x = F[0][0] * M[0][0] + F[0][1] * M[1][0];
	int y = F[0][0] * M[0][1] + F[0][1] * M[1][1];
	int z = F[1][0] * M[0][0] + F[1][1] * M[1][0];
	int w = F[1][0] * M[0][1] + F[1][1] * M[1][1];

	F[0][0] = x;
	F[0][1] = y;
	F[1][0] = z;
	F[1][1] = w;
}


void matrixpowder(int F[2][2], int n)
{
	if (n == 0 || n == 1) return;//when n is 0 or 1,the matrix dont need processing
	int M[2][2] = { {1,1},{1,0} };
	matrixpowder(F, n / 2);
	matrixmultiply(F, F);
	if (n % 2 != 0) matrixmultiply(F, M);
}

int Fibonacci(int n)
{
	if (n == 1 || n == 2) return 1;
	int F[2][2] = { {1,1},{1,0} };
	// the standard matrix for calculating the power of matrix

	matrixpowder(F, n - 1);
	return F[0][0];
}

优点：

• 时间复杂度：O(log⁡n)O(logn)（通过快速幂）
• 空间复杂度：O(1)O(1)

e，黄金分割法