LeetCode每日一题系列

题目：808. 分汤
难度：普通

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题目

有 A 和 B 两种类型 的汤。一开始每种类型的汤有 n 毫升。有四种分配操作：

提供 100ml 的 汤A 和 0ml 的 汤B 。
提供 75ml 的 汤A 和 25ml 的 汤B 。
提供 50ml 的 汤A 和 50ml 的 汤B 。
提供 25ml 的 汤A 和 75ml 的 汤B 。
当我们把汤分配给某人之后，汤就没有了。每个回合，我们将从四种概率同为 0.25 的操作中进行分配选择。如果汤的剩余量不足以完成某次操作，我们将尽可能分配。当两种类型的汤都分配完时，停止操作。

注意 不存在先分配 100 ml 汤B 的操作。

需要返回的值： 汤A 先分配完的概率 + 汤A和汤B 同时分配完的概率 / 2。返回值在正确答案 10-5 的范围内将被认为是正确的。

示例

示例 1:

输入: n = 50
输出: 0.62500
解释:如果我们选择前两个操作，A 首先将变为空。 对于第三个操作，A 和 B 会同时变为空。对于第四个操作，B 首先将变为空。 所以 A 变为空的总概率加上 A 和 B 同时变为空的概率的一半是 0.25 *(1 + 1 + 0.5 + 0)= 0.625。

示例 2:

输入: n = 100
输出: 0.71875

提示:

0 <= n <= 10^9​​​​​​​

思路

动态规划：
首先，由于四种分配操作都是 25 的倍数，因此我们可以将 n 除以 25（如果有余数，则补 1），并将四种分配操作变为 (4,0),(3,1),(2,2),(1,3)，且每种操作的概率均为 0.25。

• dp数组定义为：dp[i][j]表示汤A还剩i份，汤B还剩j份求得答案的概率（也就是 汤A 先分配完的概率 + 汤A和汤B 同时分配完的概率 / 2）
• 状态转移方程为
• 边界条件为：
  最后，通过计算和观察可以发现当n>179*25时，答案都和1十分接近，所以之后的所有答案都直接返回1即可。

题解

class Solution:
    def soupServings(self, n: int) -> float:
    	# n做预处理
        n = (n + 24) // 25
        # 后面所有情况
        if n >= 179:
            return 1.0
        # 动态规划状态转移过程
        dp = [[0.0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
        dp[0] = [0.5] + [1.0] * n
        for i in range(1, n + 1):
            for j in range(1, n + 1):
                dp[i][j] = (dp[max(0, i - 4)][j] + dp[max(0, i - 3)][max(0, j - 1)] +
                            dp[max(0, i - 2)][max(0, j - 2)] + dp[max(0, i - 1)][max(0, j - 3)]) / 4
        return dp[n][n]