2010年国赛高教杯数学建模
C题 输油管的布置
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。
1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。
2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。
若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：
请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。
3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。
整体求解过程概述(摘要)
“输油管的布置”数学建模的目的是设计最优化的路线，建立一条费用最省的输油管线路，但是不同于普遍的最短路径问题，该题需要考虑多种情况，例如，城区和郊区费用的不同，采用共用管线和非公用管线价格的不同等等。我们基于最短路径模型，对于题目实际情况进行研究和分析，对三个问题都设计了合适的数学模型做出了相应的解答和处理。
问题一：此问只需考虑两个加油站和铁路之间位置的关系，根据位置的不同设计相应的模型，我们基于光的传播原理，设计了一种改进的最短路径模型，在不考虑共用管线价格差异的情况下，只考虑如何设计最短的路线，因此只需一个未知变量便可以列出最短路径函数；在考虑到共用管线价格差异的情况下，则需要建立2个未知变量，如果带入已知常量，可以解出变量的值。
问题二：此问给出了两个加油站的具体位置，并且增加了城区和郊区的特殊情况，我们进一步改进数学模型，将输油管路线横跨两个不同的区域考虑为光在两种不同介质中传播的情况，输油管在城区和郊区的铺设将不会是直线方式，我们将其考虑为光在不同介质中传播发生了折射。在郊区的路线依然可以采用问题一的改进最短路径模型，基于该模型，我们只需设计2个变量就可以列出最低费用函数，利用Matlab和VC++ 都可以解出最小值，并且我们经过多次验证和求解，将路径精度控制到米，费用精度控制到元。
问题三：该问的解答方法和问题二类似，但是由于A管线、B管线、共用管线三者的价格均不一样，我们利用问题二中设计的数学模型，以铁路为横坐标，城郊交汇为纵坐标建立坐标轴，增加了一个变量，建立了最低费用函数，并且利用VC++解出了最低费用和路径坐标。
模型假设：
1、管道均以直线段铺设，不考虑地形影响。
2、不考虑管道的接头处费用。
3、不考虑施工之中的意外情况，所有工作均可顺利进行。
4、共用管线的价格如果和非公用管线不一致，则共用管线价格大于任意一条非公用管线价格，小于两条非公用管线价格之和。
问题分析：
问题一：要考虑有和没有共用管线，还要考虑共用管线与非共用管线费用相同和不同两种情况。同时还要考虑两个工厂是否在铁路的同一侧，如果两个工厂在铁路的同一侧那么一定没有共用管线。 不在铁路的同一侧那么就要考虑有和没有共用管线这个问题。计算共用管线的长度时，用光学原理，把一个工厂当作光源发射一束光经过一个平面的反射通过另一个工厂，这样能够保证路线最短。这个平面与铁路的距离即为共用管线的长度。同时与这个平面的交点就是两厂的管线的交点。当共用管线与非共用管线费用不相同时可以通过建立方程组来解答。
当共用管线与非共用管线费用不相同时要建立方程组来计算其最小费用从而来确定方案的可行性，共用管线与非共用管线长度作为变量来控制总费用，那么我们就可以列出一个方程组，从而在变量的约束条件下可以确定最小费用。
问题二：把这个问题分两部分来考虑，即市区和郊区分两个部分，火车站建立在郊区费用要小得多，郊区共用管线与非共用管线的费用相同所以可以用最短路径的方法来考虑，同时又要求费用最小，可以解出最低费用及对应的铺设线路。
问题三：通过建立坐标系设两个点的坐标，同时也是表达管线的长度，然后再与各自的费用之积确定总的费用，从而算出两点的坐标值。即确定了管线的路线。
模型的建立与求解整体论文缩略图
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部分程序代码：
%解方程组
syms x y b l a m n
[x,y]=solve('x/((x^2+(y-a)^2)^(1/2))+(x-l)/(((x-l)^2+(y-b)^2)^(1/2))=0','m*((y-a)/((x^2+(y-a)^2)^(1/2))+(y-b)/(((x-l)^2+(y-b)^2)^(1/2)))+n=0','x,y');
pretty(simple(x))
pretty(simple(y))
%铺设管路长度
syms m n a b l
x =-1/4/(-4*m^2+n^2)*(-8*a*m^2+8*b*m^2-2*n^2*b+2*n^2*a+2*(4*m^2*l^2*n^2-l^2*n^4)^(1/2))*l/(-1/2/(-4*m^2+n^2)*(-8*a*m^2+8*b*m^2-2*n^2*b+2*n^2*a+2*(4*m^2*l^2*n^2-l^2*n^4)^(1/2))+a-b)
y =a-1/4/(-4*m^2+n^2)*(-8*a*m^2+8*b*m^2-2*n^2*b+2*n^2*a+2*(4*m^2*l^2*n^2-l^2*n^4)^(1/2))
d=(x^2+(a-y)^2)^(1/2)+((l-x)^2+(b-y)^2)^(1/2)+y
pretty(simple(d))
syms m n a b l
x=-1/4/(n^2-4*m^2)*(-8*m^2*a+8*m^2*b+2*n^2*a-2*n^2*b-2*(4*m^2*l^2*n^2-l^2*n^4)^(1/2))*l/(-1/2/(n^2-4*m^2)*(-8*m^2*a+8*m^2*b+2*n^2*a-2*n^2*b-2*(4*m^2*l^2*n^2-l^2*n^4)^(1/2))+a-b)
y=a-1/4/(n^2-4*m^2)*(-8*m^2*a+8*m^2*b+2*n^2*a-2*n^2*b-2*(4*m^2*l^2*n^2-l^2*n^4)^(1/2))
f=(x^2+(a-y)^2)^(1/2)+((l-x)^2+(b-y)^2)^(1/2)+y
pretty(simple(f))
%铺设管路所需费用
syms m n a b l
x =-1/4/(-4*m^2+n^2)*(-8*a*m^2+8*b*m^2-2*n^2*b+2*n^2*a+2*(4*m^2*l^2*n^2-l^2*n^4)^(1/2))*l/(-1/2/(-4*m^2+n^2)*(-8*a*m^2+8*b*m^2-2*n^2*b+2*n^2*a+2*(4*m^2*l^2*n^2-l^2*n^4)^(1/2))+a-b)
y =a-1/4/(-4*m^2+n^2)*(-8*a*m^2+8*b*m^2-2*n^2*b+2*n^2*a+2*(4*m^2*l^2*n^2-l^2*n^4)^(1/2))
e=m*(x^2+(a-y)^2)^(1/2)+m*((l-x)^2+(b-y)^2)^(1/2)+n*y
pretty(simple(e))
syms m a b l
x=-1/4/(m^2-4*m^2)*(-8*m^2*a+8*m^2*b+2*m^2*a-2*m^2*b-2*(4*m^2*l^2*m^2-l^2*m^4)^(1/2))*l/(-1/2/(m^2-4*m^2)*(-8*m^2*a+8*m^2*b+2*m^2*a-2*m^2*b-2*(4*m^2*l^2*m^2-l^2*m^4)^(1/2))+a-b)
y=a-1/4/(m^2-4*m^2)*(-8*m^2*a+8*m^2*b+2*m^2*a-2*m^2*b-2*(4*m^2*l^2*m^2-l^2*m^4)^(1/2))
g=m*(x^2+(a-y)^2)^(1/2)+m*((l-x)^2+(b-y)^2)^(1/2)+n*y
pretty(simple(g))
!目标函数Z最小;
min=7.2*(a+b+c+d)+21.424*d;
x1<15;
a^2=((x1)^2+(y1-5)^2);!a表示AP;
b^2=((x1-15)^2+(y1-y2)^2); !b表示PQ;
c=y1; !c表示CP;
d^2=((15-20)^2+(y2-8)^2); !d表示QB;
LINGO9.0运行结果：
Local optimal solution found.
Objective value: 282.3143
Total solver iterations: 46
Variable Value Reduced Cost
A 6.294130 -0.4507570E-08
B 11.02638 0.000000
C 1.852935 0.000000
D 5.040020 0.2173971E-07
X1 5.450877 0.000000
Y1 1.852935 0.2237103E-07
Y2 7.366124 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 282.3143 -1.000000
2 9.549123 0.000000
3 0.000000 -0.5719615
4 0.000000 -0.3264898
5 0.000000 -7.200000
6 0.000000 -2.839671
