LeetCode 279. 完全平方数

给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。
完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。
示例 1：
输入：n = 12
输出：3
解释：12 = 4 + 4 + 4
示例 2：
输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9
提示：
1 <= n <= 104

动态规划

class Solution:
    def numSquares(self, n: int) -> int:
        # dp[i] 表示和为i的完全平方数的最少数量
        # dp[i] = min{dp[i - j * j] + 1} j from 1 to sqrt(i)

        dp = [i for i in range(n + 1)]
        for i in range(2, n + 1):
            j = 1
            while j <= math.sqrt(i):
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)
                j += 1
        return dp[n]

时间复杂度：$O(n\sqrt{n})$。第一层循环为n，第二层循环为$\sqrt{n}$，但并不是每次外层循环第二层循环都是$\sqrt{n}$，若第一层为第i次循环，第二层循环次数为$\sqrt{i}$。这时可以基于二维图像快速分析时间复杂度：

双层循环基于二维图像和夹逼定理思想快速分析渐进复杂度

首先，对于如下程序

for i in range(n):
    for i in range(n):
    	...

毫无疑问，第一层循环必定循环n次，而第二层循环当在每次的第一层循环时都会循环n次，则时间复杂度为$O(n^2)$。
已第一层循环次数为x轴，第二层循环次数为y轴，易得：

假定横纵坐标最大值为n

显然围成的矩形面积n*n就是渐进意义上的时间复杂度

同理，分析下面程序

for i in range(n):
    for i in range(n//2):
    	...

图中三角形面积n*n/2即为时间复杂度

对于上述动态规划解法，第一层循环为n，第二层循环次数为第一层循环次数i的$\sqrt{i}$，说白了就是外层循环作为x，二层循环作为y，有$y=\sqrt{x}$关系，求x=n时该图像与x轴和x=n围成的面积。

本质上时间复杂度为$1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+...+\sqrt{n})$，心算不好算，而且有时候笔算也不一定会推导，所以基于函数图像和夹逼定理思想会较为容易

显然$y=\sqrt{x}$与$x=n$和$y=0$围成的面积一定小于$n\sqrt{n}$，即图中虚线矩形面积。
此时需要取x的一个特殊值$x_0$帮我我们使用夹逼定理思想，假设$x_0$取$\frac{n}{2}$，则$y_0=\sqrt{\frac{n}{2}}$，由于该函数递增，不妨x取$[\frac{n}{2},n]$段，让y恒等于$\sqrt{\frac{n}{2}}$，就是图中实线矩形，则一定有：
实矩形面积 < $\sqrt{x}$围成的面积<虚线矩形面积
加上等号也成立
实矩形面积 <= $\sqrt{x}$围成的面积<=虚线矩形面积

假设围成的面积为f(n)，则时间复杂度T就是O(f(n))

则
$(n-\frac{n}{2})\sqrt{\frac{n}{2}}\le f(n)\le n\sqrt{n}$

$\frac{n\sqrt{n}}{2\sqrt{2}}\le f(n)\le n\sqrt{n}$

取渐进大O
$O(\frac{n\sqrt{n}}{2\sqrt{2}})\le O(f(n))\le O(n\sqrt{n})$
$O(n\sqrt{n})\le O(f(n))\le O(n\sqrt{n})$

显然$T=O(n\sqrt{n})$

总结一下，整体上就是根据二维图像找面积，上界通常容易找，但是下界需要找一个$x_0$，通常$x_0$一定含n，具体问题具体分析，本题中n取$\frac{n}{2}$还是取$\frac{n}{3}$，亦或$\frac{n}{4}$都不影响分析，重要的是能使用夹逼定理思想就行。

空间复杂度：$O(n)$。n+1的空间存储状态。