C++AVL树的介绍和实现

1.AVL树的概念

2.AVL树的实现

2.1AVL树的结构

2.2AVL树的插入

2.2.1AVL树插入一个值的大概过程

2.2.2平衡因子的更新

2.2.3插入节点及更新平衡因子的代码实现(暂未实现旋转逻辑)

2.3旋转

2.3.1旋转的原则

2.3.2右单旋(处理parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1的情况)

2.3.3右单旋代码实现

2.3.4左单旋(处理parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1的情况)

2.3.5左单旋代码实现

2.3.6左右双旋(处理parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1的情况)

2.3.7左右双旋代码实现

2.3.8右左双旋(处理parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1的情况)

2.3.9右左双旋代码实现

2.4AVL树的查找

2.5AVL树平衡检测

3.参考代码

3.1AVLTree.h

3.2测试代码test.cpp

1.AVL树的概念

AVL树是最先发明的⾃平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的左右⼦树都是AVL树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树,通过控制⾼度差去控制平衡。

AVL树实现这⾥我们引⼊⼀个平衡因⼦(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何结点的平衡因⼦等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度，也就是说任何结点的平衡因⼦等于0/1/-1，AVL树并不是必须要平衡因⼦，但是有了平衡因⼦可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡，就像⼀个⻛向标⼀样。

为什么要求⾼度差不超过1，⽽不是⾼度差是0呢？画图分析我们发现，不是不想这样设计，⽽是有些情况是做不到⾼度差是0的。⽐如⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，⾼度差最好就是1，⽆法作为⾼度差是0。

AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，⾼度可以控制在 logN ，那么增删查改的效率也可以控制在 O(logN) ，相⽐⼆叉搜索树有了本质的提升。

如下图就是一个AVL树，每一颗子树左右的高度差不超过1：

2.AVL树的实现

2.1AVL树的结构

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	int _bf;

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_bf(0)
	{}
};

template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	//...
private:
	Node* _root == nullptr;
};

2.2AVL树的插入

2.2.1AVL树插入一个值的大概过程

(1)插入一个值按二叉搜索树规则进行插入。

(2)新增节点以后，只会影响祖先节点的高度，也就是可能会影响部分祖先节点的平衡因子，所以更新从新增节点到根节点路径上的平衡因子，实际中最坏情况下要更新到根节点，有些情况更新到中间就可以停止了，具体情况下面再详细分析。

(3)更新平衡因子过程中没有出现问题(平衡因子为-1/0/1)，则插入结束。

(4)更新平衡因子过程中出现不平衡，对不平衡子树进行旋转，旋转后本质是调节平衡因子，降低了子树的高度，不会再影响上一层，所以插入结束。

2.2.2平衡因子的更新

(1)平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度。

(2)只有子树高度变化才会影响当前节点的平衡因子。

(3)插入节点，会增加高度，所以新增节点在parent的右子树，parent的平衡因子++，新增节点在parent的左子树，parent平衡因子--。
(4)parent所在子树的高度是否变化决定了是否会继续往上更新。

更新停止条件：

(1)更新后parent的平衡因⼦等于0，说明更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0 或者 1->0，更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。

(2)更新后parent的平衡因⼦等于1 或 -1，说明更新中parent的平衡因⼦变化为0->1 或者 0->-1，更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响arent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向上更新。

(3)更新后parent的平衡因⼦等于2 或 -2，说明更新中parent的平衡因⼦变化为1->2 或者 -1->-2，更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插⼊结束。

总结：
(1)插入新增节点，parent平衡因子为0，插入结束，不需要更新。

(2)插入新增节点，parent平衡因子为-1/1，继续向上更新。

(3)插入新增节点，parent平衡因子为-2/2，需要进行旋转处理，处理完之后，子树高度下降，不需要继续往上更新。

下面举例说明上述更新的情况：

更新到10结点，平衡因⼦为2，10所在的⼦树已经不平衡，需要旋转处理：

更新到中间结点，3为根的⼦树⾼度不变，不会影响上⼀层，更新结束：

最坏更新到根停⽌：

2.2.3插入节点及更新平衡因子的代码实现(暂未实现旋转逻辑)

旋转操作在下面进行详细的讲解。

    bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		//空树直接插入节点，当成根节点
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		//1. 按照二叉搜索树的规则插入元素
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
			parent->_right = cur;
		else
			parent->_left = cur;

		//连接父亲节点
		cur->_parent = parent;

		//2. 更新平衡因子
		while (parent)
		{
			//插入在parent左边_bf--，插入在右边_bf++
			if (cur == parent->_left)
				parent->_bf--;
			else
				parent->_bf++;

			//父亲节点平衡因子为0，插入结束
			if (parent->_bf == 0)
				break;
			//父亲节点平衡因子为-1/1，继续往上更新
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			//父亲节点平衡因子为2/-2，进行旋转操作，更新结束，插入结束
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				//旋转
				if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					//右单旋
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					//左单旋
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					//左右双旋
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					//右左双旋
					RotateRL(parent);
				}
				else
				{
					assert(false);
				}
				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}
		return true;
	}

2.3旋转

2.3.1旋转的原则

(1)旋转完之后保持二叉搜索树的规则。

(2)让旋转的树从不平衡变成平衡，其次降低被旋转子树的高度。

旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋，针对不同的四种情况，使用不同的旋转。

2.3.2右单旋(处理parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1的情况)

(1)下图展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种。

(2)在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平衡因⼦从-1变成-2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太深了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡。

(3)旋转核⼼步骤，因为5 < b⼦树的值 < 10，将b变成10的左⼦树，10变成5的右⼦树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。并且旋转之后每个节点的平衡因子符合规则且根节点的平衡因子为0，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。

2.3.3右单旋代码实现

	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		//将parent的左指针指向subL的右子树
		//如果subLR不为空，将其父亲指针指向parent
		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		//记录parent的父亲节点
		Node* pParent = parent->_parent;

		//subL的右指针指向parent
		//parent的父亲指针指向subL
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		//parent为根节点，更新根节点
		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else    
		{
			if (pParent->_left == parent)
				pParent->_left = subL;
			else
				pParent->_right = subL;

			subL->_parent = pParent;
		}

		subL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}

2.3.4左单旋(处理parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1的情况)

(1)下图展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有左单旋的场景，实际左单旋形态有很多种，具体跟上⾯右单旋类似。

(2)在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平衡因⼦从1变成2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太深了，需要往左边旋转，控制两棵树的平衡。

(3)旋转核⼼步骤，因为10 < b⼦树的值 < 15，将b变成10的右⼦树，10变成15的左⼦树，15变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。并且旋转之后每个节点的平衡因子符合规则且根节点的平衡因子为0，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。

2.3.5左单旋代码实现

void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		Node* pParent = parent->_parent;

		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (pParent->_left == parent)
				pParent->_left = subR;
			else
				pParent->_right = subR;

			subR->_parent = pParent;
		}

		subR->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}

2.3.6左右双旋(处理parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1的情况)

通过下列两幅图可以看到，左边⾼时，如果插⼊位置不是在a⼦树，⽽是插⼊在b⼦树，b⼦树⾼度从h变成h+1，引发旋转，右单旋⽆法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边⾼，但是插⼊在b⼦树中，10为跟的⼦树不再是单纯的左边⾼，对于10是左边⾼，但是对于5是右边⾼，需要⽤两次旋转才能解决，以5为旋转点进⾏⼀个左单旋，以10为旋转点进⾏⼀个右单旋，这棵树这棵树就平衡了。

上述两幅图分别为左右双旋中h==0和h==1具体场景分析，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为8和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为我们要对b的⽗亲5为旋转点进⾏左单旋，左单旋需要动b树中的左⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察8的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。

场景1：h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为-1，旋转后8和5平衡因⼦为0，10平衡因⼦为1。

场景2：h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为1，旋转后8和10平衡因⼦为0，5平衡因⼦为-1。

场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为0，旋转后8和10和5平衡因⼦均为0。

注：从结果上来看，就是将subL的右指针指向subLR的左子树，parent的左指针指向subLR的右子树，subLR作为新的根，左右指针分别指向subL和parent。

2.3.7左右双旋代码实现

void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		//记录subLR的平衡因子，用于后续更新平衡因子
		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(subL);
		RotateR(parent);

		// h == 0的情况
		if (bf == 0)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)	//插入到b的右边的情况
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
		}	
		else if (bf == -1)	//插入到b的左边的情况
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

2.3.8右左双旋(处理parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1的情况)

(1)跟左右双旋类似，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为12和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为我们要对b的⽗亲15为旋转点进⾏右单旋，右单旋需要动b树中的右⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察12的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。

场景1：h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为-1，旋转后10和12平衡因⼦为0，15平衡因⼦为1。

场景2：h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为1，旋转后15和12平衡因⼦为0，10平衡因⼦为-1。

场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为0，旋转后10和12和15平衡因⼦均为0。