平面方程

直角坐标及基本运算

• 向量的四则运算

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• 向量的四则运算主要包括加法、减法、数乘（标量乘法）和数量积（点积或内积），但通常不直接称为“除法”，因为向量没有直接的“除法”定义。不过，可以通过一些方式（如使用逆矩阵或叉积的特殊情况）来间接实现类似“除法”的效果，但这些通常不在基础向量四则运算的范畴内。

1. 向量加法

向量加法遵循平行四边形法则或三角形法则。给定两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，它们的和 $\vec{a}+\vec{b}$ 是一个新的向量，其起点与 $\vec{a}$ 的起点相同，终点与从 $\vec{a}$ 的终点出发、沿 $\vec{b}$
方向的向量终点相同。

2. 向量减法

向量减法可以看作是加上一个向量的相反向量。即，$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$。这里，$-\vec{b}$ 是 $\vec{b}$ 的相反向量，其大小与 $\vec{b}$ 相同但方向相反。

3. 数乘（标量乘法）

数乘是将一个向量与一个标量（实数）相乘的运算。给定一个向量 $\vec{a}$ 和一个标量 $k$，数乘的结果 $k\vec{a}$
是一个新的向量，其大小是 $\vec{a}$ 的大小的 $k$ 倍（如果 $k$ 是负数，则方向相反），方向与原向量相同（除非 $k$
为负）。

4. 数量积（点积或内积）

数量积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个标量（实数）。给定两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，它们的数量积
$\vec{a}\cdot \vec{b}$ 定义为 $|\vec{a}|\times |\vec{b}|\times \cos \theta$，其中 $\theta$ 是 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$
之间的夹角。数量积满足交换律、分配律等性质，但不满足结合律（因为结果是一个标量）。

注意

• 向量之间不能直接进行“除法”，但可以通过其他方式（如解线性方程组或使用逆矩阵）来找到与给定向量和结果向量相关的第三个向量。
• 叉积是另一种向量运算，但它不是四则运算之一，并且只在三维空间中定义。叉积的结果是一个向量，其大小与两个原向量的“平行四边形”面积成正比，方向垂直于这两个向量所构成的平面。

1. 向量加法

例子：

设有两个二维向量 $\vec{a}=(2,3)$ 和 $\vec{b}=(4,1)$。

根据向量加法的定义，$\vec{a}+\vec{b}=(2+4,3+1)=(6,4)$。

2. 向量减法

例子：

继续使用上面的向量 $\vec{a}=(2,3)$ 和 $\vec{b}=(4,1)$。

根据向量减法的定义，$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})=(2,3)+(-4,-1)=(2-4,3-1)=(-2,2)$。

3. 数乘（标量乘法）

例子：

设有一个二维向量 $\vec{c}=(1,-2)$ 和一个标量 $k=3$。

根据数乘的定义，$k\vec{c}=3(1,-2)=(3\times 1,3\times -2)=(3,-6)$。

4. 数量积（点积或内积）

例子：

设有两个二维向量 $\vec{d}=(2,3)$ 和 $\vec{e}=(1,4)$。

首先，计算这两个向量之间的夹角 $\theta$ 的余弦值（虽然在这个例子中我们不需要真正计算出 $\theta$
的值）。但我们可以直接利用数量积的公式：

$\vec{d}\cdot \vec{e}=2\times 1+3\times 4=2+12=14$

注意，数量积的结果是一个标量，而不是向量。它表示了这两个向量在它们共同方向上的“投影长度”的乘积。

以上就是向量四则运算的例子。希望这些例子能帮助你更好地理解向量的基本运算。

• 数轴是一条直线，直线上的点与数之间为一一对应关系。
• 笛卡尔直角坐标系

1. 平面上的坐标系$xOy$让平面与有充实数对(x,y)建立一一对应关系 。
2. 象限：
   

• 坐标变换

1. 平面上某点可对应于多个不同坐标系和不同的坐标
2. $坐标系x^{\prime }{O}^{\prime }{y}^{\prime }$由坐标系统$xOy$经过两种运动后得到的$。
   $(1)坐标轴方向不变，轴平移。原点移动：O\to O^{\prime },xOy\to x^{\prime \prime }{O}^{\prime }{Y}^{\prime \prime }$，
   $(2)原点不动，坐标轴旋转，x^{\prime \prime }{O}^{\prime }{y}^{\prime \prime }\to x^{\prime }{O}^{\prime }{y}^{\prime }$
   $(3)上面的两种变换，先后顺序不影响最后结果，可以先旋转再平移，也可反过来，等等$。
3. 轴平移
   $$\begin{gathered} 新坐标x^{\prime }{O}^{\prime }{y}^{\prime }，原坐标xOy \\ a、b表示O^{\prime }在原坐标系的位置。 \\ 旧坐标表示新坐标：x^{\prime }=x-a,y^{\prime }=y-b \\ 新坐标表示旧坐标：x=x^{\prime }+a,y=y^{\prime }+b \end{gathered}$$
4. 轴平移旋转
   $$\begin{gathered} 新坐标x^{\prime }{O}^{\prime }{y}^{\prime }，原坐标xOy \\ a、b表示O^{\prime }在原坐标系的位置。 \\ O不动，两轴旋转a角 \\ 旧坐标表示新坐标： \\ {x}^{\prime }=xcosa+ysina \\ {y}^{\prime }=-xsina+ycosa \\ 新坐标表示旧坐标： \\ x=x^{\prime }cosa-y^{\prime }sina \\ y=x^{\prime }sina+y^{\prime }cosa \end{gathered}$$

• 两点距离
  两点间的距离是几何学中的一个基本概念，它表示两个点之间的直线距离。

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在二维平面上，我们通常使用直角坐标系来表示点，其中每个点由一对坐标（x, y）确定。

假设有两个点 $A(x_1,y_1)$ 和 $B(x_2,y_2)$，则这两点间的距离 $d$ 可以用以下公式计算：

$$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

这个公式来源于勾股定理，即将两点间的线段视为直角三角形的斜边，而 $x_2-x_1$ 和 $y_2-y_1$
则分别是这个直角三角形的两条直角边的长度。

示例

假设有两个点 $A(3,4)$ 和 $B(7,1)$，我们需要计算这两点间的距离。

1. 首先，确定两个点的坐标：$x_1=3,y_1=4,x_2=7,y_2=1$。
2. 然后，将这些值代入距离公式中：

$$d=\sqrt{(7-3{)}^2+(1-4{)}^2}$$

$$d=\sqrt{4^2+(-3{)}^2}$$

$$d=\sqrt{16+9}$$

$$d=\sqrt{25}$$

$$d=5$$

因此，点 $A(3,4)$ 和点 $B(7,1)$ 之间的距离是 5 个单位长度。

前面是平面2维的公式，n维空间距离公式如下：

在n维空间中，点之间的距离的计算与二维或三维空间中的计算类似，但涉及更多的坐标轴。假设有两个n维空间中的点 $P(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 和 $Q(y_1,y_2,\dots ,y_n)$，则这两点间的距离 $d$ 可以用以下公式计算：

$$d=\sqrt{(y_1-x_1{)}^2+(y_2-x_2{)}^2+\cdots +(y_n-x_n{)}^2}$$

这个公式是欧几里得距离（Euclidean distance）在n维空间中的推广。它表示两点之间的直线距离，即连接这两点的线段的长度。

示例

假设有两个3维空间中的点 $P(1,2,3)$ 和 $Q(4,5,6)$，我们需要计算这两点间的距离。

1. 首先，确定两个点的坐标：$x_1=1,x_2=2,x_3=3,y_1=4,y_2=5,y_3=6$。

2. 然后，将这些值代入n维空间中的距离公式中：

$$d=\sqrt{(4-1{)}^2+(5-2{)}^2+(6-3{)}^2}$$

$$d=\sqrt{3^2+3^2+3^2}$$

$$d=\sqrt{9+9+9}$$

$$d=\sqrt{27}$$

$$d=3\sqrt{3}$$

因此，点 $P(1,2,3)$ 和点 $Q(4,5,6)$ 之间的距离是 $3\sqrt{3}$ 个单位长度。

在n维空间中，无论n的值是多少，距离的计算都遵循上述公式，只是需要考虑更多的坐标轴。

参考文献

1.《高等数学讲义》
2.文心一言