取数游戏

题目描述

背景

两人将$n$个正整数围成一个圆环，规则如下：

1. 第一名玩家随意选取数字；
2. 第二名玩家从与第一名玩家相邻的两个数字中选择一个；
3. 而后依次在到目前为止所取的任何数字旁边取一个数字，直到数字用完，选择更多奇数的玩家获胜
   第一个选取数字的玩家想知道他能做出多少不同的第一步，使他有机会获胜

输入

1. 第一行一个整数$n$；
2. 第二行$n$个整数$nu{m}_i$，表示围在地上的数字

输出

输出一个整数，表示有机会获胜的不同的第一步的数量

数据范围

$1\le n\le 100,1\le nu{m}_i\le 1000$

题解

解法

由于要算的是有机会获胜的不同第一步的数量，所以对于每个可能的第一步，只要后续所有选择情况中，第一名玩家获得最多奇数的那一种情况下超过了第二名玩家即可
为此可以定义一个二维数组$f[][]$，$f[i][j]$表示在第$i$至$j$个数已经被选择后（$i$可以大于$j$），直到所有数都被选择，该过程中第一名得到的奇数最多可超出第二名多少
使用动态规划来更新这个数组，先由大到小枚举已经被选的数的数量$i(n-1\ge i\ge 1)$，再枚举被选数的区间，定义变量$l,r$表示枚举到的区间的左右边界下标，变量$ll,rr$分别表示表示圆环中$l$的前一个数和$r$的后一个数，再根据$i+1$的奇偶判断接下来是第一名还是第二名玩家选数，这样就得到了状态转移方程：$f[l][r]=max(f[ll][r]\pm num[ll]\%2,f[l][rr]\pm num[rr]\%2)$（$i+1$为奇时取$+$，反之取$-$）
全部更新完后，统计满足$f[i][i]+num[i]\%2>0$（因为第一个数一定是第一名玩家选的）的$i$有几个即可
代码如下：

#include<cstdio>

#define il inline

const int M = 105;

int f[M][M], num[M];

int main() {
    int n, ans = 0;
    scanf("%d%", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d%", &num[i]);
    for(int i = n - 1; i >= 1; --i) {
        if(i % 2 ^ 1)     //等于(i + 1)%2
            for(int l = 1, r = i; l <= n; ++l) {
                int ll = l - 1 ? l - 1 : n, rr = r + 1 <= n ? r + 1 : 1;
                int s1 = f[ll][r] + num[ll] % 2, s2 = f[l][rr] + num[rr] % 2;
                f[l][r] = s1 > s2 ? s1 : s2, r = rr;
            }
        else for(int l = 1, r = i; l <= n; ++l) {
                int ll = l - 1 ? l - 1 : n, rr = r + 1 <= n ? r + 1 : 1;
                int s1 = f[ll][r] - num[ll] % 2, s2 = f[l][rr] - num[rr] % 2;
                f[l][r] = s1 < s2 ? s1 : s2, r = rr;
            }
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i) ans += num[i] % 2 + f[i][i] > 0;
    printf("%d", ans);
    return 0;
}

优化

可以发现全程只用到了$num[i]$的奇偶性，所以可以在输入时就把$num[i]$处理成$0$或$1$，这样$num[]$只需要为$bool$数组
代码如下：

#include<cstdio>

#define il inline

const int M = 105;

il int read() {
    int x = 0;
    char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48), c = getchar();
    return x;
}

bool num[M];
int f[M][M];

int main() {
    int n = read(), ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) num[i] = read() % 2;
    for(int i = n - 1; i >= 1; --i) {
        if(i % 2 ^ 1)
            for(int l = 1, r = i; l <= n; ++l) {
                int ll = l - 1 ? l - 1 : n, rr = r + 1 <= n ? r + 1 : 1;
                int s1 = f[ll][r] + num[ll], s2 = f[l][rr] + num[rr];
                f[l][r] = s1 > s2 ? s1 : s2, r = rr;
            }
        else for(int l = 1, r = i; l <= n; ++l) {
                int ll = l - 1 ? l - 1 : n, rr = r + 1 <= n ? r + 1 : 1;
                int s1 = f[ll][r] - num[ll], s2 = f[l][rr] - num[rr];
                f[l][r] = s1 < s2 ? s1 : s2, r = rr;
            }
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i) ans += num[i] + f[i][i] > 0;
    printf("%d", ans);
    return 0;
}

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