基于PINN 进行混合流体中的热量与质量扩散预测

news2024/11/16 22:00:48

近年来，物理信息神经网络（PINN，Physics-Informed Neural Networks）成为解决复杂物理问题的一种强大工具。PINN 的核心在于结合物理定律和机器学习的能力，直接从偏微分方程（PDEs）出发，通过神经网络逼近其解。本文将介绍如何通过 PINN 模型来预测流体在复杂波浪形通道中的流动，包含速度场、压力场、温度场和浓度场的预测。

预览：

一、背景概述

流体力学是工程和科学中最为复杂的研究领域之一。在许多工业应用中，流体的行为、热量的传导和物质的扩散往往是相互交织在一起的，经典的数值方法（如有限元法、有限差分法）尽管精确，但计算量大，尤其在面对复杂的几何和多物理场耦合问题时。

为了更高效地模拟复杂流体现象，PINN 提供了一种新颖的方法。PINN 不需要显式的离散化过程，而是通过一个神经网络学习物理定律中的偏微分方程，训练网络来近似流体流动的解。

二、物理信息神经网络（PINN）简介

PINN 是一种结合物理定律的神经网络模型。其核心是通过神经网络拟合解决复杂物理问题的解，同时将物理约束（例如 Navier-Stokes 方程）以损失函数的形式融入训练过程中。PINN 的优势在于它可以直接处理偏微分方程，避免传统数值方法中的网格划分。

PINN的关键要点：

输入： 流体的空间位置 (x, y) 和时间 (t)。
输出： 流体的速度 (u, v)、压力 (p)、温度 (T) 和质量浓度 (Phi)。
损失函数： 由物理方程残差、边界条件、以及流体的连续性方程组成。

三、PINN 模型结构

该模型包含多个隐藏层，每一层使用 Tanh 激活函数，输入为三维数据点 (x, y, t)，输出为五个物理场量：流体在 x 和 y 方向上的速度 (u, v)，压力 (p)，温度 (T) 和浓度 (Phi)。

class ExtendedPINN(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(ExtendedPINN, self).__init__()
        self.hidden = nn.Sequential(
            nn.Linear(3, 80), nn.Tanh(),
            nn.Linear(80, 80), nn.Tanh(),
            ...
            nn.Linear(80, 5)
        )

    def forward(self, x, y, t):
        inputs = torch.cat([x, y, t], dim=1)
        output = self.hidden(inputs)
        u = output[:, 0:1]
        v = output[:, 1:2]
        p = output[:, 2:3]
        T = output[:, 3:4]
        Phi = output[:, 4:5]
        return u, v, p, T, Phi

四、损失函数的定义

在 PINN 中，损失函数不仅仅依赖于传统神经网络的误差，还包括物理方程中的残差项。为了确保网络输出符合流体力学中的物理定律，我们定义了多个物理量的损失函数，包括：

连续性方程：确保流体在时间和空间上是连续的。
动量方程：Navier-Stokes 方程的残差。
热传导方程：描述流体温度场的变化。
质量扩散方程：描述流体中物质的扩散行为。

通过这些物理损失函数，PINN 可以逼近 PDE 的解。

def loss_func(model, x, y, t, mass_flow_in):
    u, v, p, T, Phi = model(x, y, t)
    ...
    momentum_x = ...
    momentum_y = ...
    thermal_eq = ...
    concentration_eq = ...
    continuity = u_x + v_y
    ...
    total_loss = (
        loss_equations + 10 * loss_inlet + loss_inlet_temp + ...
    )
    return total_loss

五、训练 PINN 模型

为了优化神经网络，我们使用自适应梯度优化方法（Adam）进行训练。PINN 模型的训练过程包括计算所有物理方程的损失函数，并通过反向传播来调整网络权重。

optimizer = optim.Adam(model.parameters(), lr=0.001)
epochs = 20000
loss_history = train_model(model, optimizer, epochs, data_points, mass_flow_in)

训练过程中，我们利用混合精度训练技术，通过 torch.cuda.amp 模块加速训练，同时使用梯度缩放技术避免精度溢出问题。

六、流场预测与结果可视化

完成模型训练后，我们可以通过模型预测流体流动中的速度场、压力场、温度场和浓度场。借助于 matplotlib，我们可以对这些物理场进行可视化，展示流体在不同时间步长下的动态行为。

def plot_results_continuous_no_mask(model, x_range, resolution=400, time_step=None):
    model.eval()
    x = torch.linspace(x_range[0], x_range[1], resolution, device=device)
    Y_max = torch.max(torch.abs(wave_surface(torch.tensor([x_range[1]], device=device)))).item()
    y = torch.linspace(-Y_max, Y_max, resolution // 2, device=device)
    ...
    plt.contourf(X_grid_np, Y_grid_np, U, levels=100, cmap='jet')
    ...
    plt.title('u Velocity Field')
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('y')
    plt.show()

通过等高线图和流线图的展示，我们可以清晰地看到流体在通道中的流动模式、温度变化、压力梯度以及质量扩散的细节。这种可视化方式不仅增强了物理理解，也为工程应用中的流体分析提供了新的角度。