可以说，到现在我们才真正接触到深度网络。最简单的深度网络称为多层感知机。

多层感知机由多层神经元组成，每一层与它的上一层相连，从中接收输入；同时每一层也与它的下一层相连，影响当前层的神经元。

和以前相同，先介绍它的基本内容，再从零开始实现，最后利用 Pytorch 框架简洁实现。

一、多层感知机

隐藏层

回想一下我们上一节中的 softmax 模型架构，该模型通过线性变换将输入映射为输出，然后进行 softmax 操作。

但是，这样的线性模型可能会出错。线性意味着单调，即如果权重为正的话，任何特征的增大都将引起输出的增大。

有时这样的模型是适合的，且我们还可以通过一些处理（如对数运算），使得线性模型能够起作用。

然而，现实生活中更多的是不单调的情况。例如，根据体温预测死亡率，对于高于 37 度的人来说，体温越高越危险；而对于低于 37 度的人来说，温度越高，风险越低。

再想想我们上一节实现的分类问题，一张 $28\times 28$ 的图片，我们将其视为了具有 784 个特征的输入，分别对应于 784 个像素点。

我们增强某个像素的强度，是否就能增大这张图片属于某个类别的概率呢？显然是不会的。

图像分类的结果与图片的像素强度具有更加复杂的关系，并且我们也难以通过一些简单的变换使得线性模型可行。

我们可以在网络中加入一个或多个隐藏层来克服线性模型的缺陷，使其能处理更复杂的函数关系。

其中一个简单的办法是将许多全连接层堆叠在一起。每一层输出的上面的层，直到生成最后的输出。这种架构通常称为多层感知机(multilayer perceptron, MLP)。

这个多层感知机有 4 个输入，3 个输出，其隐藏层包含 5 个 隐藏单元。

输入层不涉及任何计算，因此使用此网络产生输出只需要实现隐层和输出层的计算，故该多层感知机的层数为 2。

但是，加入了一层隐藏层后，实际上输入和输出还是线性关系，因为线性关系嵌套还是线性的。

为了发挥多层架构的潜力，我们还需要一个额外的因素：在线性变换之后对每个隐藏单元应用非线性的激活函数(activation function)。激活函数的输出被称为活性值(activations)。

一般来说，有了激活函数，就不可能再将我们的多层感知机退化为线性模型。

激活函数

激活函数通过计算加权和并加上偏置来确定神经元是否应该被激活，它们将输入信号转换为输出的可微运算。常见的激活函数有：

1. ReLU 函数

因为修正线性单元(Rectified linear unit, ReLU)实现简单，同时在各种预测任务中表现良好，因此它广受欢迎。

ReLU 提供了一种非常简单的非线性变换。给定元素 $x$，ReLU 函数被定义为该元素与 0 的最大值。

2. Sigmoid 函数

对于一个定义域在 $R$ 中的输入，sigmoid 函数将输入变换为区间(0, 1)上的输出。因此，sigmoid 通常被称为挤压函数。

3. tanh 函数

与 sigmoid 函数类似，tanh(双曲正切)函数也能将其输入压缩转换到区间(-1, 1)上。

二、多层感知机的从零开始实现

我们继续研究上一节的分类问题，同样使用 Fashion-MNIST 数据集。

初始化模型参数

回想一下我们在 softmax 里的初始化，因为 softmax 回归只有一层，故只需要初始化一个权重向量和一个偏置即可。

多层感知机多了一层线性层，故共有 4 个模型参数，隐藏层的权重、偏置以及输出层的权重及偏置。

此外，隐藏层的宽度需要我们确定，其可视为一个超参数。一般我们取 2 的若干次幂，且介于输入大小和输出大小之间，这里我们选择 256。

隐层的参数形状为 $784\times 256$，而输出层参数的形状为 $256\times 10$。

    num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256

    W1 = nn.Parameter(torch.randn(
        num_inputs, num_hiddens, requires_grad=True) * 0.01)
    b1 = nn.Parameter(torch.zeros(num_hiddens, requires_grad=True))
    W2 = nn.Parameter(torch.randn(
        num_hiddens, num_outputs, requires_grad=True) * 0.01)
    b2 = nn.Parameter(torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True))

    params = [W1, b1, W2, b2]

定义激活函数

这里我们选择 ReLU，用于处理隐层的输出，再出入输出层。

def relu(X):               # 激活函数
    a = torch.zeros_like(X)
    return torch.max(X, a)

定义模型

有了激活函数后，模型的定义可直接使用矩阵乘法实现。

def net(X):               # 模型
    X = X.reshape((-1, num_inputs))   # 展平
    H = relu(X@W1 + b1)  # 这里“@”代表矩阵乘法
    return (H@W2 + b2)

定义损失函数

这里我们通用采用交叉熵损失。值得一提的是，直接调用的 nn 模块里的交叉熵损失函数，它里面就包含了 softmax 操作。

    loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')   # 损失函数

训练

多层感知机的训练和 softmax 大差不差，直接用我们之前写好的那个训练函数。

    num_epochs, lr = 10, 0.1
    optimizer = torch.optim.SGD(params, lr=lr)
    train(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, optimizer)

得到的结果为如下。可以发现，加了激活函数后，训练损失倒小了不少，但测试集精度并未有明显提升。

第10轮的训练损失为0.3840572128295898
第10轮的训练精度为0.8638666666666667
第10轮的测试集精度为0.8394

有了前面线性回归和 softmax 回归的基础，这里实现起来是很轻松的，只是模型参数多了需要单独初始化有些麻烦。

下面我们看看简洁实现。

三、多层感知机的简洁实现

定义模型与初始化参数

调用框架的话，在定义模型调用 nn.Sequential 时，注意有 4 层，第一层展平，第二层隐层，第三层激活，第四层输出。

模型的初始化可以利用前面定义过的初始化权重函数init_weights()。

    net = nn.Sequential(nn.Flatten(),
                        nn.Linear(784, 256),
                        nn.ReLU(),
                        nn.Linear(256, 10))    # 定义模型
    net = net.to(try_gpu())
    net.apply(init_weights)     # 初始化模型参数

训练

可以直接把 softmax 回归的简洁实现代码复制过来，把定义模型和初始化参数的部分改了，就 OK 了。

训练情况如下：

第10轮的训练损失为0.3854055678049723
第10轮的训练精度为0.86335
第10轮的测试集精度为0.8503

两种实现方式的代码见资源。