[CSP-J 2023] 一元二次方程

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题目背景

众所周知，对一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0,(a\ne 0)$，可以用以下方式求实数解：

• 计算 $\Delta =b^2-4ac$，则:
  1. 若 $\Delta <0$，则该一元二次方程无实数解。
  2. 否则 $\Delta \ge 0$，此时该一元二次方程有两个实数解 $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$。

例如：

• $x^2+x+1=0$ 无实数解，因为 $\Delta =1^2-4\times 1\times 1=-3<0$。
• $x^2-2x+1=0$ 有两相等实数解 $x_{1,2}=1$。
• $x^2-3x+2=0$ 有两互异实数解 $x_1=1,x_2=2$。

在题面描述中 $a$ 和 $b$ 的最大公因数使用 $\gcd (a,b)$ 表示。例如 $12$ 和 $18$ 的最大公因数是 $6$，即 $\gcd (12,18)=6$。

题目描述

现在给定一个一元二次方程的系数 $a,b,c$，其中 $a,b,c$ 均为整数且 $a\ne 0$。你需要判断一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0$ 是否有实数解，并按要求的格式输出。

在本题中输出有理数 $v$ 时须遵循以下规则：

• 由有理数的定义，存在唯一的两个整数 $p$ 和 $q$，满足 $q>0$，$\gcd (p,q)=1$ 且 $v=\frac{p}{q}$。

• 若 $q=1$，则输出 {p}，否则输出 {p}/{q}，其中 {n} 代表整数 $n$ 的值；

• 例如：

  • 当 $v=-0.5$ 时，$p$ 和 $q$ 的值分别为 $-1$ 和 $2$，则应输出 -1/2；
  • 当 $v=0$ 时，$p$ 和 $q$ 的值分别为 $0$ 和 $1$，则应输出 0。

对于方程的求解，分两种情况讨论：

1. 若 $\Delta =b^2-4ac<0$，则表明方程无实数解，此时你应当输出 NO；

2. 否则 $\Delta \ge 0$，此时方程有两解（可能相等），记其中较大者为 $x$，则：

   1. 若 $x$ 为有理数，则按有理数的格式输出 $x$。

   2. 否则根据上文公式，$x$ 可以被唯一表示为 $x=q_1+q_2\sqrt{r}$ 的形式，其中：

      • $q_1,q_2$ 为有理数，且 $q_2>0$；
      • $r$ 为正整数且 $r>1$，且不存在正整数 $d>1$ 使 $d^2\mid r$（即 $r$ 不应是 $d^2$ 的倍数）；

   此时：

   1. 若 $q_1\ne 0$，则按有理数的格式输出 $q_1$，并再输出一个加号 +；
   2. 否则跳过这一步输出；

   随后：

   1. 若 $q_2=1$，则输出 sqrt({r})；
   2. 否则若 $q_2$ 为整数，则输出 {q2}*sqrt({r})；
   3. 否则若 $q_3=\frac{1}{q_2}$ 为整数，则输出 sqrt({r})/{q3}；
   4. 否则可以证明存在唯一整数 $c,d$ 满足 $c,d>1,\gcd (c,d)=1$ 且 $q_2=\frac{c}{d}$，此时输出 {c}*sqrt({r})/{d}；

   上述表示中 {n} 代表整数 {n} 的值，详见样例。

   如果方程有实数解，则按要求的格式输出两个实数解中的较大者。否则若方程没有实数解，则输出 NO。

输入格式

输入的第一行包含两个正整数 $T,M$，分别表示方程数和系数的绝对值上限。

接下来 $T$ 行，每行包含三个整数 $a,b,c$。

输出格式

输出 $T$ 行，每行包含一个字符串，表示对应询问的答案，格式如题面所述。

每行输出的字符串中间不应包含任何空格。

输入输出样例

输入 #1

9 1000
1 -1 0
-1 -1 -1
1 -2 1
1 5 4
4 4 1
1 0 -432
1 -3 1
2 -4 1
1 7 1

输出 #1

1
NO
1
-1
-1/2
12*sqrt(3)
3/2+sqrt(5)/2
1+sqrt(2)/2
-7/2+3*sqrt(5)/2

提示

【样例 #2】

见附件中的 uqe/uqe2.in 与 uqe/uqe2.ans。

【数据范围】

对于所有数据有：$1\le T\le 5000$，$1\le M\le 10^3$，$|a|,|b|,|c|\le M$，$a\ne 0$。

测试点编号	$M\le$	特殊性质 A	特殊性质 B	特殊性质 C
$1$	$1$	是	是	是
$2$	$20$	否	否	否
$3$	$10^3$	是	否	是
$4$	$10^3$	是	否	否
$5$	$10^3$	否	是	是
$6$	$10^3$	否	是	否
$7,8$	$10^3$	否	否	是
$9,10$	$10^3$	否	否	否

其中：

• 特殊性质 A：保证 $b=0$；
• 特殊性质 B：保证 $c=0$；
• 特殊性质 C：如果方程有解，那么方程的两个解都是整数。

1.题意解析

    这是我第一次自己做出来的大模拟！！！

    遇到这种大模拟，思路大体就是将题目分成几个模块。

    比如分析这道题，我们可以将它分成三个模块：

1.没有解，即$\Delta <0$；
2.解可以化成有理数，即$\Delta$为完全平方数，存在一整数r，使得$r\ast r=\Delta$；
3.解不可以化成有理数，和上一条相反。

长文警告！！！

---

先看第一条

    这是最好解决的。读入t组数据，先算出这组数据的$\Delta$，再判断是否$<0$就行了。示例如下：

while(t--)
{
    int a,b,c,delta;
	scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
	delta=b*b-4*a*c;//求出Δ
	if(delta<0)//情况1,Δ小于0,无解
	{
		printf("NO\n");
		continue;
	}
}

---

然后是第二条

    首先定义一个函数is_perfect_pow_2_num，用来判断一个数是不是完全平方数。

bool is_perfect_pow_2_num(int num)//判断是否是完全平方数的函数 
{
	return pow((int)sqrt(num),2)==num;//隐式类型转换 
}

如果看不懂，可以去看看【归纳】常见函数模版和解析中的第四条。

然后判断$\Delta$是不是完全平方数，即

if(is_prefect_pow_2_num(delta))

    因为题目要求我们求最大值，我们只要化简$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$，然后求出两者中的较大值就可以了。

为什么不直接取$x=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$呢？
看看这一组数据就知道了。
-1 -12 108//$\Delta =576$
输出:-18。正确答案:6。
这是因为，如果分母带有负数，那么整个分数也会变成负的。但只要我们让分子也变成负数，上下就抵消了。所以我们为了避免这种情况的发生，会选择两者都算一遍。

那么思路基本就是这样了。但还有两个需要注意的点：

1.分数要化简；
2.分母为$1$不需要输出。

那么定义一个用来化简的函数simplify，后面需要用到。

void simplify(int &mum,int &son)//将一个分数化简的函数,记得加上&变成应用传参 
{
	int gcd=__gcd(mum,son);//求出分子分母最大公因数 
	mum/=gcd;son/=gcd;//化简 
	if(son<0)son*=-1,mum*=-1;//将-1转移到分子上 
}

那么接下来就跟着这个思路去模拟就行了。

if(is_perfect_pow_2_num(delta))//情况2,解能化成有理数
{
		//求出两种情况并进行比较
		int mum1=-1*b+sqrt(delta),mum2=-1*b-sqrt(delta);
		int son1=2*a,son2=2*a;
		int mum,son;//储存较大的分数的分母和分子
		simplify(mum1,son1);//化简分数1
		simplify(mum2,son2);//化简分数2
		if(mum1*1.0/son1>mum2*1.0/son2)//取分数值较大的分数 
			mum=mum1,son=son1;
		else
			mum=mum2,son=son2;
		printf("%d",mum);
		if(son!=1)//分子为1,就不输出分子
			printf("/%d",son);
		puts("");//换行，相当于putchar('\n')或cout<<endl;
}

---

最后是第三条

    对于这种情况，我们将$\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$拆解为$\frac{-b}{2a}+|\frac{\sqrt{\Delta }}{2a}|$

这里为什么可以这样做呢？
    因为$\pm \frac{\sqrt{\Delta }}{2a}$化简后为$\pm \frac{q_2\sqrt{r}÷q_3}{2a}$,因为是乘除法,所以两者的绝对值是相等的。那么我们就不需要关心它的正负，它如果是正数我们就给它+，否则给它-。无论怎样，它最后的值一定是正的，也就一定是最大的。

    然后就是如何求$q_2$和$q_3$了。根据算数平方根的运算法则，我们可以将$\sqrt{\Delta }$转换成如下形式：$$\sqrt{\Delta }=q_2\sqrt{r}=\sqrt{q2\ast q2\ast r}$$

    那么我们就将问题转换成了：求一个最大的$q_2$，使得$q2\ast q2\ast r=\Delta (r\in \mathbb{N},即r是自然数)$。只需要枚举$q_2$，求出$r$就行了。注意：只要枚举到r2*r2<n就行了。

    要注意的是，如果枚举到最后连一个合适的$q_2$都没有，那么就不用进行后面的化简和输出了。

    求出$q_2$之后，就使用我们前面分装的simplify函数化简$q_2$和$q_3$。

    最后，如果有合适的$q_2$或$q_3$，那么就输出。记得输出一个换行。

    完结撒花!

2.AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool is_perfect_pow_2_num(int num)//判断是否是完全平方数的函数 
{
	return pow((int)sqrt(num),2)==num;//隐式类型转换 
}
void simplify(int &mum,int &son)//将一个分数化简的函数 
{
	int gcd=__gcd(mum,son);//求出分子分母最大公因数 
	mum/=gcd;son/=gcd;//化简 
	if(son<0)son*=-1,mum*=-1;//将-1转移到分子上 
}
int main()
{
    int t,m;
    scanf("%d%d",&t,&m);
    while(t--)
    {
    	int a,b,c,delta;
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
		delta=b*b-4*a*c;//求出Δ
		if(delta<0)//情况1,Δ小于0,无解
		{
			printf("NO\n");
			continue;
		}
		if(is_perfect_pow_2_num(delta))//情况2,解能化成有理数
		{
			//求出两种情况并进行比较
			int mum1=-1*b+sqrt(delta),mum2=-1*b-sqrt(delta);
			int son1=2*a,son2=2*a;
			int mum,son;//储存较大的分数的分母和分子
			simplify(mum1,son1);//化简分数1
			simplify(mum2,son2);//化简分数2
			if(mum1*1.0/son1>mum2*1.0/son2)//取分数值较大的分数 
			    mum=mum1,son=son1;
			else
			    mum=mum2,son=son2;
			printf("%d",mum);
			if(son!=1)//分子为1,就不输出分子
			    printf("/%d",son);
			puts("");
		}
		else//情况3,解只能化成无理数
		{
			int q1_mum=-1*b,q1_son=2*a,q2,r,q3=2*a;//变量名如题
			simplify(q1_mum,q1_son);//化简 
			for(int i=1;i*i<=delta;i++)//找出最大的q2 
			{
				if(delta%(i*i)!=0)continue;//如果能整除 
				q2=i;//更新q2 
				r=delta/(q2*q2);//求出r 
			}
			if(q2*q2<=delta)simplify(q2,q3);//如果有符合条件的q2,化简 
			q2=abs(q2);//求出绝对值 
			if(q1_mum*1.0/q1_son!=0)//输出q1 
			    if(q1_son==1)
				    printf("%d+",q1_mum);
			    else
				    printf("%d/%d+",q1_mum,q1_son);
			if(q2!=1&&q2*q2<=delta)//输出q2(如果有符合条件的q2的话)
			    printf("%d*",q2);
			printf("sqrt(%d)",r);//输出r 
			if(q3!=1)//输出q3(如果有符合条件的q3的话)
			    printf("/%d",q3);
			puts("");
		}
	}
	return 0;
}

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