【数据结构】二叉树顺序结构之堆的实现

news2024/9/24 19:19:41

1. 前言 

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆 ( 一种二叉树 ) 使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统 虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

2. 堆的概念及结构

堆是一种特殊的数据结构，简单理解，它能将所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储
在一个一维数组中，堆可以分为大堆和小堆两种形式。

将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：

①：堆的父节点的值总是大于或等于其子节点的值（大顶堆）或者小于或等于其子节点的值（小顶堆）。
②：堆是完全二叉树，即除了最底层外，其他层的节点都是满的，并且最底层的节点都尽量靠左排列。

如下图所示就是大堆和小堆的逻辑结构和存储结构啦~ 

​

3. 堆的实现

下文以大堆为例，接下来我们一起来学习如何实现堆的结构

3.1 准备工作

还是像往常一样，我们将队列其拆分为不同的文件进行设计

1️⃣：Heap.h 文件，用于函数声明

2️⃣：Heap.c 文件，用于函数的定义

3️⃣：Test.c   文件，用于测试函数

3.2 结构体的定义

堆的物理本质是一个数组，就可以像动态顺序表一样进行结构定义。

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
	HPDataType* a;
	int size; // 有效元素个数
	int capacity; // 数组长度
}HP;

3.3 堆的初始化

初始化有两种方式：
① 初始化时我们可以为数组开辟一定大小空间。

② 我们也可以直接将数组指针先置为空指针，插入数据过程中在进一步处理。

代码如下：我们采用的是第二种实现方式

void HeapInit(HP* php)
{
	assert(php);

	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

   

3.4 堆的销毁

顺序表空间连续，所以只要free（首地址）就可以。

注意：不能忘记 hp->capacity = hp->size = 0;

代码如下：

void HPDestroy(HP* php)
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

 3.5 堆的插入

① 在插入数据前，我们首先要判断是否要扩容的问题。由于前面初始化时我们直接置空，所以我们先判断容量是否为空。如果为空开4个空间，否则空间扩大到原来的2倍。（为空时，第一次具体开辟多少空间读者可自行选择，我们默认开辟4个字节）
② 接下来就是插入数据了！但有一个问题，直接插入数据可能会破坏堆的结构，所以我们采用了向上调整算法。

实现代码如下： 

void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{
	assert(php);
	// 判断扩容
	if (php->size == php->capacity)
	{
		// 扩容
		size_t newcapacity = ph->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;
		HPDataType* tmp = realloc(php->a, newcapacity * sizeof(HPDataType));
		if (tmp == NULL)
		{
			// 扩容失败
			printf("realloc fail\n");
			exit(-1);
		}

		php->capacity = newcapacity;
		php->a = tmp;
	}

	// 数组尾插数据
	php->a[php->size++] = x;

	// 向上调整
	// 参数： 堆数组，插入位置下标
	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

3.5.1 向上调整算法

当我们在一个堆的末尾插入一个数据后，需要对堆进行调整，使其仍然是一个堆，

这时需要用到堆的向上调整算法。

向上调整算法的基本思想（以建小堆为例）：

  1. 插入数据
  2. 与自己的父亲比较
  3. 交换/不交换
  4. 交换：孩子来到父亲位置，父亲来到自己父亲的位置
  5. 结束循环两个点：
  • 不交换（跳出循环）
  • 一直交换直到来到根节点>0

🌟Tips: 同学们需要记住父节点和孩子节点之间的数量关系

leftchild = parent *2 + 1  左孩子节点下标 = 父亲节点下标*2 + 1
rightchild = parent * 2 + 2  右孩子节点下标 = 父亲节点下标*2 + 2
parent = (child - 1) / 2   父亲节点下标 = （孩子节点下标 - 1）/ 2

如：

​

举个例子：

现在我们给出一个数组[70, 30, 56, 25, 15, 10]，逻辑上就要把他看作一颗完全二叉树。

int array[] = {70, 30, 56, 25, 15, 10};

​

如果我们插入的是8，8是最小值，他就保证小堆结构不发生变化

​

如果我们插入的比堆顶元素小，比如插入60， 我们发现60比它的根节点56大，

这时我们就要使用向上调整算法，调到合适位置即可

​

父亲比孩子小，交换元素。 

 ​

如果插入元素比根节点大，比如插入80

  

  使用向上调整算法

   

继续调整

   

代码如下： 

// 向上调整算法  此处以大堆为例
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
	assert(a);

	int parent = (child - 1) / 2;
	// 结束条件如果是parent>=0，会进入到下一个循环通过break跳出
	while (child > 0) 
	{
		if (a[parent] < a[child])
		{
			// 父亲结点值小于孩子结点
			Swap(&a[parent], &a[child]);

			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

 3.5.2 向上调整法时间复杂度计算

可得高度与向上调整的关系 F(h)=2^h*(h-2)+2

时间复杂度F(N)=(N+1)*(log(N+1)-2)+2

3.6 删除堆顶元素

     把堆尾元素放到堆顶元素，然后去除堆尾元素（这里直接size--），再向下调整即可。因为原本就是一个堆，现在堆顶元素变了，所以直接向下调整。

代码如下：

void HPPop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);
	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size-1]);
	php->size--;

	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

3.6.1 向下调整算法

当从堆中移除元素（通常是堆顶元素）后，为了维护堆的性质，需要对剩余的元素进行重新调整。向下调整法就是从父节点开始，通过与其子节点的比较和交换，确保父节点的值不大于（对于大根堆）或不小于（对于小根堆）其子节点的值。

步骤：

1. 删除堆顶元素
2. 堆顶元素与最后一个元素交换
3. 删除最后一个元素
4. 堆顶元素与左右两个孩子（最小/最大的孩子比较）
5. 判断交换/不交换
6. 交换：父亲来到孩子位置，孩子来到自己孩子的位置

判断条件：child + 1 < n && a[child + 1] < a[child]

结束循环条件：child < n（确保左孩子存在）

时间复杂度：O(logN)，其中N是堆中元素的数量。

因为每次调整都涉及沿着树的一条路径向下移动，而树的深度为logN。

那么如何删除堆顶数据后插入数据呢？🤔🤔

如果直接挪动覆盖：操作的时间复杂度太大，而且父子关系就全乱了，不如重新建堆

在这里，以调整为小堆为例，给大家讲解向下调整算法的过程

 代码如下：

// 向下调整算法，这里默认是调整成小堆
void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{
	assert(a);
	int child = parent * 2 + 1; // 默认是左孩子
	while (child < n)
	{
		// 找出小孩子
		if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child])
		{
			++child;
		}

		// 如果小孩子比父亲小，则交换，继续调整
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

3.6.2 向下调整法的时间复杂度计算

可得高度与向下调整次数的关系 F(h)=2^{h}-h-1

可得时间复杂度：F(N) = N-log(N+1)

3.7 取堆顶元素

HPDataType HPTop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);

	return php->a[0];
}

3.8 堆是否为空

bool HeapEmpty(HP* php)
{
    assert(php);
    return php->size == 0;
}

4. 参考代码 (如果发现上面代码有误，以这里为准)

Heap.h

#pragma once
#include <stdio.h>
#include <assert.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>

typedef int HPDataType;

typedef struct Heap
{
	HPDataType* a;
	int size;
	int capacity;
}HP;

void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2);
void AdjustUp(HPDataType* a, int child);
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent);

void HPInit(HP* php);
void HPDestroy(HP* php);
void HPPush(HP* php, HPDataType x);
void HPPop(HP* php);
HPDataType HPTop(HP* php);
bool HPEmpty(HP* php);

Heap.c

#include"Heap.h"

void HPInit(HP* php)
{
	assert(php);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

void HPDestroy(HP* php)
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
	HPDataType tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
	// 初始条件
	// 中间过程
	// 结束条件
	int parent = (child - 1) / 2;
	//while (parent >= 0)
	while (child > 0)
	{
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{
	assert(php);

	if (php->size == php->capacity)
	{
		int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newcapacity * sizeof(HPDataType));
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail");
			return;
		}

		php->a = tmp;
		php->capacity = newcapacity;
	}

	php->a[php->size] = x;
	php->size++;

	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
	// 先假设左孩子小
	int child = parent * 2 + 1;

	while (child < n)  // child >= n说明孩子不存在，调整到叶子了
	{
		// 找出小的那个孩子
		if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child])
		{
			++child;
		}

		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

// logN
void HPPop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);
	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size-1]);
	php->size--;

	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

HPDataType HPTop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);

	return php->a[0];
}

bool HPEmpty(HP* php)
{
	assert(php);

	return php->size == 0;
}

Test.c

#include"Heap.h"

void TestHeap1()
{
	int a[] = { 4,2,8,1,5,6,9,7,3,2,23,55,232,66,222,33,7,1,66,3333,999 };
	HP hp;
	HPInit(&hp);
	for (size_t i = 0; i < sizeof(a)/sizeof(int); i++)
	{
		HPPush(&hp, a[i]);
	}

	int i = 0;
	while (!HPEmpty(&hp))
	{
		printf("%d ", HPTop(&hp));
		//a[i++] = HPTop(&hp);
		HPPop(&hp);
	}
	printf("\n");

	// 找出最大的前k个
	/*int k = 0;
	scanf("%d", &k);
	while (k--)
	{
		printf("%d ", HPTop(&hp));
		HPPop(&hp);
	}
	printf("\n");*/

	HPDestroy(&hp);
}


int main()
{
	TestHeap1();

	return 0;
}

以上就是这期博客的全部内容，

有同学们会有疑问：堆在实际问题的求解中有什么样的应用呢？

预知后事如何，请听下回分解，我们下期博客再来探讨~

希望这篇文章能给予你学习中一些帮助，如果有疑问的，欢迎在评论区与我讨论交流哦~

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