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旋转矩阵与轴角

旋转矩阵与欧拉角

旋转矩阵与四元数

轴角与四元数

轴角与欧拉角

欧拉角与四元数

欧拉角与四元数

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旋转矩阵与轴角

设旋转矩阵R=[■8(r_11&r_12&r_13@r_21&r_22&r_23@r_31&r_32&r_33)]，轴角使用一个单位向量n和一个角度值θ来表示。仿射变换中如果已知轴角ω=θn，其中n=[n_x,n_y,n_z]^T。根据罗德里格斯公式，则计算得到旋转矩阵：

如果已知旋转矩阵R，则：

对于转轴n，在旋转后保持不变，因此：转轴n是矩阵R特征值1对应的特征向量，求解方程之后进行归一化得到旋转轴。

旋转矩阵与欧拉角

知欧拉角，根据公式2-17和公式2-18，ZYX顺序的内旋与XYZ顺序的外旋得到的旋转矩阵一致，因此R_1=R_2=Z(γ)Y(β)X(α)，则：

如果已知旋转矩阵R，则以ZYX顺序的内旋计算出的欧拉角为：

旋转矩阵与四元数

设四元数q=q_0+q_1i+q_2j+q_3k=[s,v]^T，旋转矩阵为R，则：

如果已知旋转矩阵R，则四元数计算：

轴角与四元数

已知轴角，绕单位向量n=[n_x,n_y,n_z]^T旋转角度θ，则求得四元数：

如果已知四元数q=q_0+q_1i+q_2j+q_3k=[s,v]^T，则：

轴角与欧拉角

轴角与欧拉角采用间接转换的方式，从轴角转到欧拉角需要先将轴角转换为旋转矩阵再转换为欧拉角，而从欧拉角转到轴角则需要先将欧拉角每个元素转换为单一的轴角再相乘之后转换为最终的轴角。

欧拉角与四元数

将ZYX内旋方式旋转的欧拉角（或者说是绕固定轴X-Y-Z依次旋转α、β和γ）转换为四元数：

q=q_0+q_1i+q_2j+q_3k=[s,v]^T到欧拉角转换为：

欧拉角与四元数

由于arctan和arcsin的取值范围在[−π/2,π/2]，而绕某个轴旋转时最大为360°，因此使用atan2函数代替arctan函数：