解决优化问题的步骤：

1. 理解问题 首先要仔细阅读问题，直到完全理解。问问自己：未知数是什么？已知量是什么？给定的条件是什么？

2. 画图 在大多数问题中，画图并在图中标出给定和所需的量是有用的。

3. 引入符号 给要最大化或最小化的量分配一个符号（暂且称之为 $Q$）。还要为其他未知量选择符号（如 $a,b,c,\dots ,x,y$），并用这些符号标注图表。使用有提示意义的首字母作为符号可能会有所帮助——例如，用 $A$ 表示面积，用 $h$ 表示高度，用 $t$ 表示时间。

4. 用第3步中的一些符号表示 $Q$。

5. 如果 $Q$ 被表示为多个变量的函数，使用给定的信息找到这些变量之间的关系（以方程的形式）。然后使用这些方程消除 $Q$ 表达式中除一个变量以外的所有变量。因此，$Q$ 将表示为一个变量 $x$ 的函数，例如 $Q=f(x)$。在给定的上下文中写出该函数的定义域。

6. 找到 $f$ 的绝对最大值或最小值。

例1 一位农民有2400英尺的围栏，并想围一个沿直河岸的矩形地块。河边不需要围栏。这个最大面积的地块的尺寸是多少？

解

为了了解此问题中发生的情况，让我们尝试一些具体情况。图1（不按比例）显示了用2400英尺围栏布置地块的三种可能方式。

我们发现，当我们尝试浅而宽的地块或深而窄的地块时，得到的面积相对较小。似乎有某种中间配置可以产生最大的面积。

图2说明了一般情况。我们希望最大化矩形的面积 $A$（以英尺为单位）。设 $x$ 和 $y$ 分别为矩形的深度和宽度。然后我们将 $A$ 表示为 $x$ 和 $y$ 的函数：

$$A=xy$$

我们希望将 $A$ 表示为仅一个变量的函数，因此我们通过将 $y$ 表示为 $x$ 来消除 $y$。为此，我们使用给定的围栏总长度是2400英尺的信息。因此：

$$2x+y=2400$$

从这个方程我们得到：

$$y=2400-2x$$

这给出：

$$A=xy=x(2400-2x)=2400x-2x^2$$

注意，最大的 $x$ 可以是1200（这使用了所有围栏作为深度，而没有宽度），并且 $x$ 不能为负，因此我们希望最大化的函数是：

$$A(x)=2400x-2x^{2}0\le x\le 1200$$

导数为：

$$A^{\prime }(x)=2400-4x$$

因此，要找到临界点，我们求解方程：

$$2400-4x=0$$

这给出：

$$x=600$$

$A$ 的最大值必须出现在此临界点或区间的端点。由于 $A(0)=0$，$A(600)=720,000$，和 $A(1200)=0$，所以闭区间法给出的最大值为：

$$A(600)=720,000$$

[另外，我们也可以观察到 $A^{\prime \prime }(x)=-4$ 对于所有 $x$ 都小于零，因此 $A$ 总是向下凹，并且在 $x=600$ 处的局部最大值必须是绝对最大值。]

相应的 $y$ 值为：

$y=2400-2(600)=1200$

所以矩形地块应该是$600$英尺深，$1200$英尺宽。

例2 为了盛放1升油，制造一个圆柱形罐头，找到能最小化制造罐头的金属成本的尺寸。

解
如图3所示，画出图形，设 $r$ 是半径，$h$ 是高度（单位为厘米）。为了最小化金属成本，我们需要最小化圆柱体的总表面积（顶部、底部和侧面）。从图4中我们看到，圆柱体的侧面由尺寸为 $2\pi r$ 和 $h$ 的矩形薄片制成。所以表面积为：

$$A=2\pi r^2+2\pi rh$$

我们希望将 $A$ 表示为一个变量 $r$ 的函数。为了消除 $h$，我们利用已知的体积为1升，相当于1000立方厘米。因此：

$$\pi r^{2}h=1000$$

由此得出：

$$h=\frac{1000}{\pi r^2}$$

将其代入 $A$ 的表达式中，得到：

$$A=2\pi r^2+2\pi r\left(\frac{1000}{\pi r^2}\right)=2\pi r^2+\frac{2000}{r}$$

我们知道 $r$ 必须为正数，并且对 $r$ 的大小没有限制。因此我们需要最小化的函数为：

$$A(r)=2\pi r^2+\frac{2000}{r}r>0$$

为了找到临界点，我们求导数：

$$A^{\prime }(r)=4\pi r-\frac{2000}{r^2}=\frac{4(\pi r^3-500)}{r^2}$$

当 $\pi r^3=500$ 时， $A^{\prime }(r)=0$，所以唯一的临界点是：

$$r=\sqrt[3]{\frac{500}{\pi }}$$

由于 $A(r)$ 的定义域是 $(0,\infty )$，我们不能使用例1中的端点论证。但我们可以观察到，当 $r<\sqrt[3]{\frac{500}{\pi }}$ 时，$A^{\prime }(r)<0$，而当 $r>\sqrt[3]{\frac{500}{\pi }}$ 时，$A^{\prime }(r)>0$，因此 $A$ 在临界点左侧递减，在临界点右侧递增。因此 $r=\sqrt[3]{\frac{500}{\pi }}$ 必定是一个绝对极小值。

（或者，我们可以论证当 $r$ 趋于0和无穷大时，$A(r)$ 趋于无穷大，所以 $A(r)$ 必定在临界点处取得最小值。）

对应于 $r=\sqrt[3]{\frac{500}{\pi }}$ 的 $h$ 值为：

$$h=\frac{1000}{\pi r^2}=\frac{1000}{\pi (\frac{500}{\pi }{)}^{2/3}}=2\sqrt[3]{\frac{500}{\pi }}=2r$$

因此，为了最小化罐头的成本，半径应为 $\sqrt[3]{\frac{500}{\pi }}$ 厘米，高度应为半径的两倍，即直径。

注1

在例2中使用的论证是第一导数测试的一种变体（仅适用于局部极大值或极小值），在此为将来参考进行说明。

第一导数测试用于绝对极值

假设 $c$ 是定义在某区间上的连续函数 $f$ 的一个临界点。
(a) 如果 $f^{\prime }(x)>0$ 对于所有 $x<c$ 和 $f^{\prime }(x)<0$ 对于所有 $x>c$，则 $f(c)$ 是 $f$ 的绝对最大值。
(b) 如果 $f^{\prime }(x)<0$ 对于所有 $x<c$ 和 $f^{\prime }(x)>0$ 对于所有 $x>c$，则 $f(c)$ 是 $f$ 的绝对最小值。

注2

解决优化问题的另一种方法是使用隐式微分。让我们再次看看例2来说明这种方法。我们使用相同的方程：

$$A=2\pi r^2+2\pi rh$$
$$\pi r^{2}h=1000$$

但是我们不消去 $h$，而是对两个方程进行关于 $r$ 的隐式微分：

$$A^{\prime }=4\pi r+2\pi r{h}^{\prime }+2\pi h$$
$$\pi r^2{h}^{\prime }+2\pi rh=0$$

最小值出现在一个临界点，因此我们设 $A^{\prime }=0$，简化并得到方程：
$$2r+r{h}^{\prime }+h=0$$
$$r{h}^{\prime }+2h=0$$

减去这些方程得到 $2r-h=0$，即 $h=2r$。

例3 找到抛物线 $y^2=2x$ 上最接近点 $(1,4)$ 的点。

解

点 $(1,4)$ 和点 $(x,y)$ 之间的距离是

$$d=\sqrt{(x-1{)}^2+(y-4{)}^2}$$

但是，如果 $(x,y)$ 位于抛物线上，那么 $x=\frac{1}{2}{y}^2$，所以 $d$ 的表达式变为

$$d=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}{y}^2-1\right)}^2+(y-4{)}^2}$$

（或者，我们可以用 $y=\sqrt{2x}$ 将 $d$ 表示为仅涉及 $x$ 的表达式。）为了简化， 我们最小化 $d$ 的平方：

$$d^2=f(y)={\left(\frac{1}{2}{y}^2-1\right)}^2+(y-4{)}^2$$

（你应该自己确认 $d$ 的最小值与 $d^2$ 的最小值发生在同一个点，但是 $d^2$ 更容易处理。）注意， $y$ 没有任何限制，所以定义域是所有实数。我们进行微分，得到

$$f^{\prime }(y)=2\left(\frac{1}{2}{y}^2-1\right)y+2(y-4)=y^3-8$$

所以，当 $y=2$ 时，$f^{\prime }(y)=0$。观察到当 $y<2$ 时 $f^{\prime }(y)<0$ 以及当 $y>2$ 时 $f^{\prime }(y)>0$，根据绝对极值的第一导数检验法，绝对最小值出现在 $y=2$。 （或者我们可以简单地说，由于问题的几何性质，显然存在一个最近点而不存在最远点。）相应的 $x$ 值是 $x=\frac{1}{2}{y}^2=2$。 因此，抛物线 $y^2=2x$ 上最接近点 $(1,4)$ 的点是 $(2,2)$。 【点之间的距离是 $d=\sqrt{f(2)}=\sqrt{5}$。】

例4 一个男人从河岸上的A点出发，在一条3公里宽的直河上，他想尽快到达对岸下游8公里处的B点（见图7）。他可以直接划船横过河到C点，然后跑到B点，或者他可以直接划船到B点，或者他可以划船到C和B之间的某个D点，然后跑到B点。如果他划船的速度是6公里/小时，跑步的速度是8公里/小时，他应该在哪里登陆以尽快到达B点？（我们假设水的速度与男人划船的速度相比可以忽略不计。）

解

如果我们设 $x$ 为从 $C$ 到 $D$ 的距离，那么跑步的距离是 $|DB|=8-x$，根据勾股定理，划船的距离是 $|AD|=\sqrt{x^2+9}$。我们使用方程

$$\text{time}=\frac{\text{distance}}{\text{rate}}$$

那么划船时间是 $\frac{\sqrt{x^2+9}}{6}$，跑步时间是 $\frac{8-x}{8}$，所以总时间 $T$ 作为 $x$ 的函数是

$$T(x)=\frac{\sqrt{x^2+9}}{6}+\frac{8-x}{8}$$

该函数 $T$ 的定义域是 $[0,8]$。注意如果 $x=0$，他划船到 $C$ 点，如果 $x=8$，他直接划船到 $B$ 点。$T$ 的导数是

$$T^{\prime }(x)=\frac{x}{6\sqrt{x^2+9}}-\frac{1}{8}$$

因此，利用x ≥ 0，我们有

$$T^{\prime }(x)=0⟺\frac{x}{6\sqrt{x^2+9}}=\frac{1}{8}⟺4x=3\sqrt{x^2+9}$$

$$⟺16x^2=9(x^2+9)⟺7x^2=81$$

$$⟺x=\frac{9}{\sqrt{7}}$$

唯一的临界点是x = $\frac{9}{\sqrt{7}}$。为了查看最小值是否出现在该临界点或定义域的端点 $[0,8]$ 处，我们通过在这三个点上评估T来采用闭区间法。

$$T(0)=1.5T\left(\frac{9}{\sqrt{7}}\right)=1+\frac{\sqrt{7}}{8}\approx 1.33T(8)=\frac{\sqrt{73}}{6}\approx 1.42$$

由于 $T$ 的最小值出现在 KaTeX parse error: Can't use function '\(' in math mode at position 5: x = \̲(̲\frac{9}{\sqrt{…，因此 $T$ 的绝对最小值必须出现在这里。图8通过显示 $T$ 的图表说明了这一计算。因此，这个男人应该在距离起点下游约 $3.4$ 公里处的点 $\frac{9}{\sqrt{7}}$ 登陆。

例5 找到可以内接于半径为 $r$ 的半圆内的最大矩形的面积。

解1

我们把半圆看作是圆的上半部分 $x^2+y^2=r^2$，圆心在原点。那么“内接”意味着矩形有两个顶点在半圆上，两个顶点在 $x$ 轴上，如图9所示。

设 $(x,y)$ 为位于第一象限的顶点，那么矩形的边长分别为 $2x$ 和 $y$，所以其面积为

$$A=2xy$$

为了消去 $y$，我们使用事实 $(x,y)$ 位于圆上，即 $x^2+y^2=r^2$，所以

$$y=\sqrt{r^2-x^2}$$

因此，

$$A=2x\sqrt{r^2-x^2}$$

这个函数的定义域是 $0\le x\le r$。其导数为

$$A^{\prime }=2\sqrt{r^2-x^2}-\frac{2x^2}{\sqrt{r^2-x^2}}=\frac{2(r^2-2x^2)}{\sqrt{r^2-x^2}}$$

当 $2x^2=r^2$ 时，导数为 $0$，即 $x=\frac{r}{\sqrt{2}}$（因为 $x\ge 0$）。这个 $x$ 值给出了 $A$ 的最大值，因为 $A(0)=0$ 和 $A(r)=0$。因此，最大内接矩形的面积是

$$A\left(\frac{r}{\sqrt{2}}\right)=2\cdot \frac{r}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{r^2-{\left(\frac{r}{\sqrt{2}}\right)}^2}=2\cdot \frac{r}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{r^2-\frac{r^2}{2}}=r^2$$

解2

如果我们考虑使用角度作为变量，可以有一个更简单的解决方案。设 $\theta$ 为图10中所示的角度。那么矩形的面积是

$$A(\theta )=(2r\cos \theta )(r\sin \theta )=r^2\sin \theta \cos \theta =r^2\sin 2\theta$$

我们知道 $\sin 2\theta$ 的最大值是$1$，并且它在 $2\theta =\frac{\pi }{2}$ 时达到最大值。因此， $A(\theta )$ 的最大值为 $r^2$，并且它在 $\theta =\frac{\pi }{4}$ 时达到最大值。

请注意，这个三角函数解法不涉及微分。实际上，我们不需要使用微积分来解决这个问题。

应用到商业和经济学

前面我们介绍了边际成本的概念。回想一下，如果 $C(x)$ 是生产 $x$ 单位某种产品的成本函数，那么边际成本就是 $C$ 相对于 $x$ 的变化率。换句话说，边际成本函数是成本函数 $C(x)$ 的导数，即 $C^{\prime }(x)$。

现在让我们考虑营销。设 $p(x)$ 为公司销售 $x$ 单位产品时每单位的价格。那么 $p$ 称为需求函数（或价格函数），我们预期它是 $x$ 的递减函数。（销售更多单位对应更低的价格。）如果销售 $x$ 单位，且每单位的价格是 $p(x)$，则总收入为

$$R(x)=\text{数量}\times \text{价格}=xp(x)$$

其中 $R$ 称为收入函数。收入函数的导数 $R^{\prime }$ 称为边际收入函数，是收入相对于销售单位数的变化率。

如果销售 $x$ 单位，那么总利润为

$$P(x)=R(x)-C(x)$$

其中 $P$ 称为利润函数。边际利润函数是利润函数的导数 $P^{\prime }$。

例6 一家商店每周以每台 $350 的价格销售 $200$ 台平板电视。市场调查表明，如果向买家提供每台 $10 的折扣，每周售出的电视数量将增加 $20$ 台。求需求函数和收入函数。商店应提供多大的折扣才能使收入最大化？

解决方案

如果 $x$ 是每周售出的电视数量，那么每周销售的增加量是 $x-200$。对于每增加 $20$ 台售出的电视，价格降低 $10。因此，对于每增加一台售出的电视，价格降低为 $\frac{10}{20}\times 10$，需求函数为

$$p(x)=350-\frac{10}{20}(x-200)=450-\frac{1}{2}x$$

收入函数为

$$R(x)=xp(x)=450x-\frac{1}{2}{x}^2$$

因为 $R^{\prime }(x)=450-x$，当 $x=450$ 时，$R^{\prime }(x)=0$。根据第一导数测试法，这个 $x$ 值给出了绝对最大值（或者简单地通过观察 $R$ 的图像是开口向下的抛物线）。相应的价格为

$$p(450)=450-\frac{1}{2}(450)=225$$

折扣是 $350-225=125$。因此，为了使收入最大化，商店应该提供 $125 的折扣。