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一、和为 k 的子数组
1.题目链接：560. 和为 K 的子数组
2.题目描述：
3.解法（前缀和 + 哈希表）
🌻算法思路：
🌻算法代码：
二、和可被 k 整除的子数组
1.题目链接：974. 和可被 K 整除的子数组
2.题目描述：
3.解法（前缀和 + 哈希表）
🌻本题需要的前置知识：
🌻算法思路：
🌻算法代码：
三、连续数组
1.题目链接：525. 连续数组
2.题目描述：
3.解法（前缀和在哈希表中）
🌻算法思路：
🌻算法代码：
四、矩阵区域和
1.题目链接：1314. 矩阵区域和
2.题目描述：
3.解法（前缀和在哈希表中）
🌻算法思路：
🌻算法代码：
一、和为 k 的子数组
1.题目链接：560. 和为 K 的子数组
2.题目描述：
给你一个整数数组
nums和一个整数k，请你统计并返回 该数组中和为k的子数组的个数 。子数组是数组中元素的连续非空序列。
示例 1：
输入：nums = [1,1,1], k = 2 输出：2示例 2：
输入：nums = [1,2,3], k = 3 输出：2
3.解法（前缀和 + 哈希表）
🌻算法思路：
设 i 为数组中的任意位置，用 sum[i] 表示 [0, i] 区间内所有元素的和。
想知道有多少个「以 i 为结尾的和为 k 的子数组」，就要找到有多少个起始位置为 x1, x2, x3... 使得 [x, i] 区间内的所有元素的和为 k 。那么 [0, x] 区间内的和就是 sum[i] - k 了。于是问题就变成：
- 找到在 [0, i - 1] 区间内，有多少前缀和等于 sum[i] - k 的即可。
我们不用真的初始化一个前缀和数组，因为我们只关心在 i 位置之前，有多少个前缀和等于 sum[i] - k 。因此，我们仅需用一个哈希表，一边求当前位置的前缀和，一边存下之前每一种前缀和出现的次数。
🌻算法代码：
class Solution
{
public:
int subarraySum(vector<int>& nums, int k)
{
unordered_map<int, int> hash;// 统计前缀和出现的次数
hash[0] = { 1 };
int sum = 0, ret = 0;
for(auto x : nums)
{
sum += x;// 计算当前位置的前缀和
if(hash.count(sum - k))
ret += hash[sum - k];// 统计个数
hash[sum]++;
}
return ret;
}
};二、和可被 k 整除的子数组
1.题目链接：974. 和可被 K 整除的子数组
2.题目描述：
给定一个整数数组
nums和一个整数k，返回其中元素之和可被k整除的非空 子数组 的数目。子数组 是数组中 连续 的部分。
示例 1：
输入：nums = [4,5,0,-2,-3,1], k = 5 输出：7 解释： 有 7 个子数组满足其元素之和可被 k = 5 整除： [4, 5, 0, -2, -3, 1], [5], [5, 0], [5, 0, -2, -3], [0], [0, -2, -3], [-2, -3]示例 2:
输入: nums = [5], k = 9 输出: 0
3.解法（前缀和 + 哈希表）
🌻本题需要的前置知识：
- 同余定理
如果 (a - b) % n == 0 ，那么我们可以得到一个结论： a % n == b % n 。用文字叙述就是，如果两个数相减的差能被 n 整除，那么这两个数对 n 取模的结果相同。
例如： (26 - 2) % 12 == 0 ，那么 26 % 12 == 2 % 12 == 2 。
- c++ 中负数取模的结果，以及如何修正「负数取模」的结果
a. c++ 中关于负数的取模运算，结果是「把负数当成正数，取模之后的结果加上一个负号」。
例如： -1 % 3 = -(1 % 3) = -1
b. 因为有负数，为了防止发生「出现负数」的结果，以 (a % n + n) % n 的形式输出保证为正。
例如： -1 % 3 = (-1 % 3 + 3) % 3 = 2
🌻算法思路：
设 i 为数组中的任意位置，用 sum[i] 表示 [0, i] 区间内所有元素的和。
- 想知道有多少个「以 i 为结尾的可被 k 整除的子数组」，就要找到有多少个起始位置为 x1,x2, x3... 使得 [x, i] 区间内的所有元素的和可被 k 整除。
- 设 [0, x - 1] 区间内所有元素之和等于 a ， [0, i] 区间内所有元素的和等于 b ，可得(b - a) % k == 0 。
- 由同余定理可得， [0, x - 1] 区间与 [0, i] 区间内的前缀和同余。于是问题就变成：找到在 [0, i - 1] 区间内，有多少前缀和的余数等于 sum[i] % k 的即可。
我们不用真的初始化一个前缀和数组，因为我们只关心在 i 位置之前，有多少个前缀和等于sum[i] - k 。因此，我们仅需用⼀个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和，⼀边存下之前每⼀种前缀和出现的次数。
🌻算法代码：
class Solution
{
public:
int subarraysDivByK(vector<int>& nums, int k)
{
unordered_map<int, int> hash;
hash[0 % k] = { 1 };// 0这个数的余数
int sum = 0, ret = 0;
for(auto x : nums)
{
sum += x;// 算出当前位置的前缀和
int r = (sum % k + k) % k;// 修正后的余数
if(hash.count(r))
ret += hash[r];// 统计结果
hash[r]++;
}
return ret;
}
};三、连续数组
1.题目链接：525. 连续数组
2.题目描述：
给定一个二进制数组
nums, 找到含有相同数量的0和1的最长连续子数组，并返回该子数组的长度。示例 1:
输入: nums = [0,1] 输出: 2 说明: [0, 1] 是具有相同数量 0 和 1 的最长连续子数组。示例 2:
输入: nums = [0,1,0] 输出: 2 说明: [0, 1] (或 [1, 0]) 是具有相同数量0和1的最长连续子数组。
3.解法（前缀和在哈希表中）
🌻算法思路：
稍微转化⼀下题目，就会变成我们熟悉的题：
- 本题让我们找出⼀段连续的区间， 0 和 1 出现的次数相同。
- 如果将 0 记为 -1 ， 1 记为 1 ，问题就变成了找出⼀段区间，这段区间的和等于 0 。
- 于是，就和 560. 和为 K 的⼦数组 这道题的思路⼀样。
设 i 为数组中的任意位置，用 sum[i] 表示 [0, i] 区间内所有元素的和。
想知道最大的「以 i 为结尾的和为 0 的子数组」，就要找到从左往右第⼀个 x1 使得 [x1, i] 区间内的所有元素的和为 0 。那么 [0, x1 - 1] 区间内的和是不是就是 sum[i] 了。于是问题就变成：
- 找到在 [0, i - 1] 区间内，第⼀次出现 sum[i] 的位置即可。
我们不用真的初始化⼀个前缀和数组，因为我们只关心在 i 位置之前，第⼀个前缀和等于 sum[i]的位置。因此，我们仅需用⼀个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和，⼀边记录第⼀次出现该前缀和的位置。
🌻算法代码：
class Solution
{
public:
int findMaxLength(vector<int>& nums)
{
unordered_map<int, int> hash;
hash[0] = -1;// 默认有一个前缀和为 0 的情况
int sum = 0, ret = 0;
for(int i = 0; i < nums.size(); i++)
{
sum += nums[i] == 0 ? -1 : 1;// 计算当前位置的前缀和
if(hash.count(sum)) ret = max(ret, i - hash[sum]);
else hash[sum] = i;
}
return ret;
}
};四、矩阵区域和
1.题目链接：1314. 矩阵区域和
2.题目描述：
给你一个
m x n的矩阵mat和一个整数k，请你返回一个矩阵answer，其中每个answer[i][j]是所有满足下述条件的元素mat[r][c]的和：
i - k <= r <= i + k,j - k <= c <= j + k且(r, c)在矩阵内。示例 1：
输入：mat = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]], k = 1 输出：[[12,21,16],[27,45,33],[24,39,28]]示例 2：
输入：mat = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]], k = 2 输出：[[45,45,45],[45,45,45],[45,45,45]]
3.解法（前缀和在哈希表中）
🌻算法思路：
- 二维前缀和的简单应用题，关键就是我们在填写结果矩阵的时候，要找到原矩阵对应区域的「左上角」以及「右下角」的坐标（推荐画图）。
- 左上角坐标： x1 = i - k，y1 = j - k ，但是由于会「超过矩阵」的范围，因此需要对 0 取⼀个 max 。因此修正后的坐标为： x1 = max(0, i - k), y1 = max(0, j - k) ;
- 右下角坐标： x1 = i + k，y1 = j + k ，但是由于会「超过矩阵」的范围，因此需要对m - 1，以及 n - 1 取一个min。因此修正后的坐标为：x2 = min(m - 1, y + k)， y2 = min(n - 1, j + k)。
- 然后将求出来的坐标代入到「二维前缀和矩阵」的计算公式上即可~（但是要注意下标的映射关系）。
🌻算法代码：
class Solution
{
public:
vector<vector<int>> matrixBlockSum(vector<vector<int>>& mat, int k)
{
int m = mat.size(), n = mat[0].size();
// 1.预处理前缀和矩阵
vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
for(int i = 1; i <= m; i++)
{
for(int j = 1; j <= n; j++)
{
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] + mat[i - 1][j - 1] - dp[i - 1][j - 1];
}
}
// 2.使用
vector<vector<int>> ret(m, vector<int>(n));
for(int i = 0; i < m; i++)
{
for(int j = 0; j < n; j++)
{
int x1 = max(0, i - k) + 1, y1 = max(0, j - k) + 1;
int x2 = min(m - 1, i + k) + 1, y2 = min(n - 1, j + k) + 1;
ret[i][j] = dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1];
}
}
return ret;
}
};
