数字图像处理和机器视觉中的常用特殊矩阵及MATLAB实现详解

news2024/11/10 10:24:28

一、前言

       Matlab的名称来源于“矩阵实验室(Matrix Laboratory)”,其对矩阵的操作具有先天性的优势(特别是相对于C语言的数组来说)。在数字图像处理和机器视觉实践中,为了提高编程效率,MATLAB 提供了多种方式来创建特殊的矩阵,如全零矩阵、全1矩阵、单位矩阵、空矩阵个、序列矩阵、稀疏矩阵、随机矩阵等。这些函数在图像模拟、统计分析、优化算法等多个领域都有广泛的应用。通过调整参数和结合MATLAB的其他功能,可以灵活地生成各种满足特定数字图像处理需求的随机矩阵。为了更好地快速掌握这里特殊矩阵的使用,每个矩阵后都附有实例,便于大家学习和交流。

二、特殊矩阵的生成及应用

1.全零矩阵

       元素全为零的矩阵称为全零矩阵,MATLAB可以使用zeros创建全零矩阵。如zeros(5),生成一个5×5的矩阵元素全为零的方阵,而zeros(3,4)则生成3×4的矩阵元素全为零的矩阵

       注意:如果使用zeros生成全零矩阵,其在MATLAB图像显示是黑色。

>> I=zeros(256,256);

>> imshow(I),title('全零矩阵图像')

2.全1矩阵

      元素全为1的矩阵称为全1矩阵,MATLAB可以使用ones创建全1矩阵。如ones(5),生成一个5×5的矩阵元素全为1的方阵,而ones(3,4)则生成3×4的矩阵元素全为1的矩阵。

注意:如果一个矩阵是全1矩阵,其在MATLAB图像显示是白色。

>> onesMatrix=ones(256,256);

>> figure,imshow(onesMatrix),title(‘全1矩阵’)

>> whos onesMatrix

       矩阵元素的数据类型为double,一个像素占8个Bytes。

3.单位矩阵

       如果一个方阵对角线上的元素全为1,而其他的元素全为零则称单位矩阵,MATLAB可以使用eys创建单位矩阵。

如eye(5),生成一个5×5的单位矩阵。

I=eye(5);

figure,imshow(I)

whos I

 

        矩阵元素的数据类型为double。

4. 空矩阵

空矩阵是指有一个或多个等于零的维度(0×0,0×1,1×0)

示例:

emptyMatrix=[]          %创建空矩阵

size(emptyMatrix)       %行列数都为0

length(emptyMatrix)     %矩阵长度为0

numel(emptyMatrix)      %元素个数为0

isempty(emptyMatrix)    %判断是否为空矩阵,返回逻辑值1(真)

5. 序列矩阵

在MATLAB中创建一个序列矩阵,可以使用冒号操作符 : 或者函数 linspace 和 meshgrid。以下是一些示例:

 5.1 创建一个1到20间隔为2的序列矩阵(从1开始):

1)使用冒号操作符 “:”创建

>> A = 1:2:20;

2) 使用linspace函数创建

>> A=linspace(1,19,10) %保存10个数据

5.2 生成一个二维网格采样点矩阵和生成三维曲面图

       Matlab的meshgrid函数是用于生成网格坐标的函数,它可以将二维或三维数组作为输入,生成对应的网格坐标矩阵。这个函数在绘制三维图形、进行数值分析等方面有着广泛的应用。

语法格式: meshgrid(x, y)或meshgrid(X,Y,Z)

其中,x和y可以是任何一维或二维数组,分别表示x轴和y轴的坐标;X和Y可以是任何一维或二维数组,表示x轴和y轴坐标的范围;Z是可选的,如果提供,则生成三维图形的网格坐标矩阵。

示例1-生成二维网格采样点矩阵并绘制其矩阵点图

%使用meshgrid生成二维矩阵点并绘制二维坐标点图
clear all;
close all;
clc;
x=1:3;y=2:5;
 [X,Y]=meshgrid(x,y)
 plot(X,Y,'+','LineWidth',2,'Color','r'),title('显示meshgrid生成的二维网格点');
 xlim([-2,5]);
 ylim([-2,6]);
 grid on

上面程序运行结果如下所示:

    由上可知X和Y都是3行4列的矩阵,X矩阵的每一列值相同,分别是1、2和3,Y矩阵的每一行值都相同,分别是2、3、4和5,这是因为MATLAB的坐标原点是左上角,X正方向水平向右,Y正方向垂直向下。

示例2-生成三维曲面图:

[X,Y] = meshgrid(-2:.2:2, -4:.4:4);

Z = X .* exp(-X.^2 - Y.^2);

surf(X,Y,Z)%创建三维曲面图

6. 稀疏矩阵

       稀疏矩阵—在矩阵中,若数值为0的元素数目远远多于非0元素的数目,并且非0元素分布没有规律时,则称该矩阵为稀疏矩阵;与之相反,若非0元素数目占大多数时,则称该矩阵为稠密矩阵。MATLAB提供了sparse函数来创建稀疏矩阵。在MATLAB中,创建一个稀疏矩阵可以通过sparse函数实现,该函数接受行索引、列索引和非零值作为输入,并生成一个稀疏矩阵。

以下是创建稀疏矩阵的示例代码:

% 定义行索引、列索引和对应的值  

rows = [1; 3; 4; 5;6];  

cols = [1; 2; 3; 4; 8];  

values = [10; 20; 30; 35;40];  

% 使用sparse函数创建稀疏矩阵  

S = sparse(rows, cols, values);  

% 显示稀疏矩阵  

disp('显示稀疏矩阵的行列和非零值'),disp(S);  

% 如果你想要看到稀疏矩阵的完整形式(包括零),可以使用full函数  

disp('显示稀疏矩阵的完整形式'),disp(full(S));  

上面程序运行结果如下:

7.随机矩阵

       在MATLAB中,生成随机矩阵的常用函数是rand、randn、randi等。这些函数提供了不同的随机分布选项,以满足不同的应用需求,下面对上述各函数的含义和使用方法进行简要说明。

7.1 rand 函数

     rand函数生成均匀分布的随机数。其基本语法是rand(n)生成一个n×n的矩阵,rand(m,n)生成一个m×n的矩阵,而rand(size(A))生成与矩阵A相同大小的矩阵。

应用实例:生成一个5×5的均匀分布随机矩阵,并计算其均值和标准差。

MATLAB程序代码如下:

% 生成5x5的随机矩阵并计算其均值和标准差  

A = rand(5);  

% 计算均值  

%meanA = mean(A(:));  

meanA=mean2(A);  

% 计算标准差  

%stdA = std(A(:));  

stdA=std2(A);

disp('随机矩阵A:');  

disp(A);  

disp(['均值: ', num2str(meanA)]);  

disp(['标准差: ', num2str(stdA)]);

运行结果如下图所示:

7.2  randn

      randn(random normal distribution)是一种产生标准正态分布的随机数或矩阵的函数。randn函数生成标准正态分布的随机数(均值为0,标准差为1)。其语法与rand相同。

应用实例:生成一个10×10的标准正态分布随机矩阵,并计算其均值和标准差,并绘制其直方图以验证分布。

MATLAB程序代码如下:

% 生成10x10的标准正态分布随机矩阵  

B = randn(10,10);  %rand(10,10) 等价于rand(10)

meanB=mean2(B);   

stdB=std2(B);

% 绘制直方图  

figure;  

histogram(B(:), 'Normalization', 'pdf');  

title('标准正态分布随机矩阵的直方图');  

xlabel('值');  

ylabel('概率密度');

disp('随机矩阵B:');  

disp(B);  

disp(['均值: ', num2str(meanB)]);  %数据(n*n)不足够多,均值不绝对为0

disp(['标准差: ', num2str(stdB)]); %数据(n*n)不足够多,标准差不绝对为1

7.3  randi 函数

      在MATLAB命令提示符下,输入help  randi就会显示如下帮助:

randi- Pseudorandom integers from a uniform discrete distribution.因此randi函数生成指定范围内的均匀分布的伪随机整数。其基本语法是randi([imin, imax])生成介于imin和 imax之间的随机整数(包含imin和imax),或者randi(imax)生成1到imax之间的随机整数。

应用实例:生成一个10×12的矩阵,其元素为0到7(每个像素占用3bit)之间的随机整数,并计算矩阵各行的和,矩阵的最小值,最大值和平均值,显示其数字图像和randi分布随机矩阵的直方图。

MATLAB程序代码如下:

%%randi的应用

% 生成10x12的随机整数矩阵  

C = randi([0, 7], 10, 12);  

% 计算每行的和  

rowSums = sum(C, 2);  

meanC=mean2(C);  %计算其均值

minC=min(C(:));  %计算其最小值

maxC=max(C(:));  %计算其最大值

disp('随机整数矩阵C:');  

disp(C);  

disp('每行的和:');  

disp(rowSums);

figure,imshow(C,[]);

figure;  

histogram(C(:));  

title('randi分布随机矩阵的直方图');  

xlabel('灰度值');  

ylabel('频数');

程序的部分运行结果如下:

randi生成的矩阵C如下:

        矩阵C最大值maxC是7,最小值minC是0,平均值meanC是3.45(接近平均数(0+1+2+3+4+5+6+7)/8=3.5)。

矩阵C的图像显示如下图所示:

                   

       矩阵C的灰度直方图如下图所示:

             

       由直方图也可以看出,该分布其接近于均匀分布。大家可以使用上面程序生成100x120的随机整数矩阵并进行图像分析(矩阵的最大值、最小值和平均值和直方图等)。

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