线性dp.

news2024/11/15 8:47:24

线性dp，在进行动态规划中，常以线性的形式表现出来。

我们仍用闫氏dp法来进行求解即可
一、状态表示：当前的状态所代表的含义以及能用几维的形式表现出来。包括①集合，②属性
二、状态计算：如何一步一步的将状态计算出来。一般采用画图法，将整个状态划分成若干状态

题目：898. 数字三角形 - AcWing题库

 思路

用闫氏dp法来分析本道题目
一、状态表示：f[ i ][ j ]。①集合：一条只能用左上方或者右上方移动到底层的一条路径。②属性：所有路径中数字和的最大值。
二、状态计算：将状态划分成两种：从左上方或者右上方走到f[ i ][ j ]。
那么就很简单了，我们将f[ i ][ j ]单拎出来，那么到达f[ i ][ j ]只有两种路径，Ⅰ从f[ i ][ j ]的左上方，Ⅱ从f[ i ][ j ]的右上方，在这两种路径中取一个最大值即可。
：f[ i ][ j ] = max(f[ i - 1 ][ j - 1 ] + a[ i ][ j ], f[ i - 1 ][ j ] + a[ i ][ j ])

代码：

代码一，自上向底枚举

/*
走到f(i,j)有两种情况，即从(i,j)的左上或者右上来抵达f(i, j)，两者取一个max。
*/

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 520;

int n;
int f[N][N], a[N][N];

int main()
{
    cin >> n;
    //防止边界问题，从1开始赋值
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = 1; j <= i; j ++ )
            cin >> a[i][j];
            
    memset(f, -0x3f3f3f3f, sizeof f);
    
    //赋初值，第一个状态已经知晓
    f[1][1] = a[1][1];
    //所以从2开始遍历
    for(int i = 2; i <= n; i ++ )
        for(int j = 1; j <= i; j ++ )
            f[i][j] = max(f[i - 1][j - 1] + a[i][j], f[i - 1][j] + a[i][j]);
            
    int res = -0x3f3f3f3f;
    //对已得出结果的最后一行取一个max，即是题目所要求
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )   res = max(res,f[n][i]);
        
    cout << res;
}

对 f 数组进行初始化为- ∞原因是因为，对于边界的f[ i ][ j ] 会造成不是本区域的值(图1中的红色部分)相加的情况，所以要舍去 


代码二，自底向上(图二)

/*
走到f(i,j)有两种情况，即从(i,j)的左上或者右上来抵达f(i, j)，两者取一个max。
*/

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;


const int N = 520;

int n;
int f[N][N], a[N][N];

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = 1; j <= i; j ++ )
            cin >> a[i][j];
            
    //最后一列已知
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )   f[n][i] = a[n][i];

    //从倒数第二列开始，即不需要初始化f，因为接下来的集合再无其余区域的元素
    for(int i = n - 1; i >= 1; i -- )
        for(int j = i; j >= 1; j -- )
            f[i][j] = max(f[i + 1][j + 1] + a[i][j], f[i + 1][j] + a[i][j]);//转移方程也会有所改变
            
    cout << f[1][1];
}

题目：AcWing 895. 最长上升子序列 - AcWing

 思路：

仍用闫氏dp法进行求解
一、状态表示f[i]。①集合：所有以第i个数结尾的上升子序列。②属性：某一个以i结尾的上升子序列的max
二、状态计算：上升子序列都是以a[i]结尾，我们以第a[i - 1]个数来进行分类（因为序列是严格递增的），查看前一位即可。
如果第i - 1个数为空，即没有第i - 1个数，那么这个序列长度为1（只有i）。如果第i - 1个数为a[1]，那么该长度为：以a[1]结尾的子序列的长度+1。
如果第i - 1个数为a2，那么该子序列的长度为：以a[2]结尾的子序列的长度+ 1...
如果第i - 1个数为a[i - 1]，那么该子序列的长度为：以a[i - 1]结尾的子序列的长度+ 1。
当然，只有当前一位小于a[i]时，该状态转移才有意义，在转移长度里取一个最大值即可。
最后在已经确定了的序列中取一个最大值即可

 代码：
 

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;
int f[N], a[N];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )   cin >> a[i];
    
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        f[i] = 1;//每个子序列的状态中都至少含有一个数
        for(int j = 1; j <= i; j ++ )
        //只有当a[i] > a[j]时，将a[i]放在以a[j]结尾的子序列后面才会满足严格递增的题目要求
            if(a[j] < a[i])
                f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
    }
    
    int res = -0x3f3f3f3f;
    //取一个最大值
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )   res = max(res, f[i]);
    
    cout << res;
    return 0;
}

转移路径开一个记忆数组来存储下路径
代码：
 

/*
一、状态表示f[i]。①集合：所有以第i个数结尾的上升子序列。②属性：某一个以i结尾的上升子序列的max
二、状态计算：上升子序列都是以ai结尾，我们以第a(i - 1)个数来进行分类（因为序列是严格递增的），查看前一位即可。
如果第i - 1个数为空，即没有第i - 1个数，那么这个序列长度为1（只有i）。如果第i - 1个数为a1，
那么该长度为：以a1结尾的子序列的长度+1。
如果第i - 1个数为a2，那么该子序列的长度为：以a2结尾的子序列的长度+ 1...
如果第i - 1个数为a(i - 1)，那么该子序列的长度为：以a(i - 1)结尾的子序列的长度+ 1。
当然，只有当前一位小于a[i]时，该状态转移才有意义，在转移长度里取一个最大值即可。
最后在已经确定了的序列中取一个最大值即可
*/

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;
int f[N], a[N], g[N];//记忆数组g，记录下来状态转移的路径

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )   cin >> a[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        f[i] = 1;//当子序列中只有a[i]这一个数时，序列的长度为1
        for(int j = 1; j <= i; j ++ )
            if(a[j] < a[i])//只有当a[i] > a[j]时，a[i]才能添加到第i - 1个数的后面，才能使子序列严格递增
                if(f[i] < f[j] + 1)//转移的充要条件
                {
                    f[i] = f[j] + 1;
                    //记录下当前状态(i)是由哪一个状态(j)转移而来
                    g[i] = j;
                }
                
    }
    
    int k = 1;
    //找出最大值
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        if(f[k] < f[i])
            k = i;
    
    cout << f[k] << endl;
    
    
    for(int i = 0, len = f[k]; i < len; i ++ )
    {
        cout << a[k] << " " ;//输出路径
        k = g[k];//寻找k是由哪一个状态转移而来
    }
    
    return 0;
}

路径如右图：

题目：897. 最长公共子序列 - AcWing题库

思路 

闫氏dp分析法：
一、状态表示：f[ i ][ j ](因为是两行字符串进行比较)。①集合：所有在第一个序列的前i个字母中出现，且在第二个序列的前j个字母中出现的子序列。②属性：子序列长度的最大值
二、状态计算：注意集合的描述：所有在第一个序列的前i个字母中出现，且在第二个序列的前j个字母中出现的子序列。虽然在第一个序列的前i个字母中出现，但子序列不一定包含a[ i ]，同理，子序列也不一定包含b[ j ] 。那么我们就以子序列是否包含a[ i ]，b[ j ] 来划分区间。
以a[i]、b[j]是否包含在子序列当中作为划分的依据。那么即可分为四种情况：子序列①包含a[i],b[j]；②包含a[i],不包含b[j]；  ③不包含a[i]，包含b[j]；④即不包含a[i]也不包含b[j]。
第④种,既然子序列即不包含a[i]也不包含b[i]，那么等同于所有在第一个序列的前i - 1个字母中出现
且在第二个序列的前j - 1个字母中出现，则状态为：f[i - 1][j - 1]。
第①种即包含a[i],也包含b[j]，那么等同于第④中情况＋1。
那么我们来看f[i - 1][j]的含义：在第一个序列的前i - 1个字母中出现，且在第二个序列的前j个字母中出现的子序列
再来看③的含义：子序列里不包含a[i]且子序列里包含b[j]。所以我们可以发现f[i - 1][j]不等同于③，
但是f[i - 1][j]包含③（③的范围更小些）。这么来看，虽然不能等同，但是范围要大于③并且f[i - 1][j]∈f[i][j]
所以情况③的max可由f[i - 1][j]进行求解。假设③情况的最大值为max1，f[i - 1][j]的最大值为max'，求要求解的最大值为MAX，那么max1∈max'∈MAX,所以是不影响求解的。 同理②∈f[i][j - 1]。
而由于④是包含于①、②、③的并集，所以④通常情况下不写。记f[i][j - 1]的最大值为max''，f[i - 1][j - 1]+1 的最大值为max'''那么MAX包含于max'∪max''∪max'''
比如(1,2,3)的最大值为3, (1, 2, 4)的最大值为4， (1, 3, 5)的最大值为5，而(1,2,3,4,5)的最大值为5∈(3,4,5)。
分析下来，结果即是在f[i - 1][ j ]，f[ i ][ j - 1 ]，f[ i - 1 ][ j - 1 ] + 1当中取一个最大值。
注意f[ i - 1 ][ j - 1 ] + 1的情况是在a[ i ] == b[ j ]的情况下特殊处理

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N = 1010;
char a[N], b[N];
int f[N][N];
int n, m;

int main()
{
    cin >> n >> m;
    cin >> a + 1 >> b + 1;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = 1; j <= m; j ++ )
        {
            //先在一般情况下取一个最大值
            f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
            //特殊情况特殊判断，因为当子序列包含a[i],b[j]时即为不包含时的情况＋1，前者借助后者
            if(a[i] == b[j]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
        }
        
    cout << f[n][m] << endl;
    
    return 0;
}

 上述代码属于取巧，即先取一般情况下的max，再与特殊情况取一个max。
核心代码应为：

if(a[i] == b[j]) f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1;
            else f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);

题目：902. 最短编辑距离 - AcWing题库

思路 

闫氏dp法
一、状态表示f[i][j]：①集合：将所有a[1 ~ i]变成b[1 ~ j]的操作方式。②属性：操作方式的min
二、状态计算：
删：在删去数组a的第i个字母之前，只有a的1~i-1与b的1~i-1完全匹配，才能在删去数组a的第i个字母之后使a与b相等。f[i][j] = f[i - 1][j] + 1(上一个状态的操作次数的最小值 + 1)
增：增加a[i + 1]使a与b相等，那么在增加a[i + 1]之前a数组的1~i与b数组的1~j-1完全匹配。那么新增的a[i + 1]与b[j]相同，所以在数组a的第i + 1上新增b[j]。f[i][j] = f[i][j - 1] + 1
改：将a[i]变成b[j]之后a与b相等。那么改之前a的1~i-1与b的1~j-1完全匹配。（相当于先把a[i]删去，再将b[j]增添到i上）。改与删、增不同，删与增都已经确定了a与b不匹配，而改不能完全确定。所以当a[i] == b[j]时，无需更改直接继承：f[i][j] = f[i - 1][j - 1]。a[i]!=b[j] 那么继承后加上更改的这一步：f[i][j] = f[i - 1][j - 1] +1

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;
int n, m;
char a[N], b[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> a + 1;
    cin >> m >> b + 1;
    
    for(int i = 0; i <= m; i ++ ) f[0][i] = i;//数组a为空时，需要增加数组b的所有字母
    for(int j = 0; j <= n; j ++ ) f[j][0] = j;//数组b为空时，需要删除数组a的所有字母
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = 1; j <= m; j ++ )
        {
            //先计算常规的普通情况
            f[i][j] = min(f[i - 1][j] + 1, f[i][j - 1] + 1);
            //a[i] == b[j]时，不需要进行更改操作，那么此时的最小操作次数直接继承上一个状态，无需+1
            if(a[i] == b[j]) f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1]);
            //否则的话，继承的同时加上一次更改操作
            else f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
        }

    //将数组a的前n个字母变成b的前m个字母
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

本题需要预处理的原因为 本题的状态转移都是建立在数组a与数组b都不为空的前提下，所以两层for循环的状态转移是不包括数组a与数组b为空的情况，那么需要提前预处理出来为空的情况。

题目：899. 编辑距离 - AcWing题库

思路同上一题。
在C++中，可以通过一位数组来访问二维数组。这是因为二维数组在内存中实际上是按照行优先（row-major order）的方式展开的。 
例如str[N][M]声明了N+1行M+1列的数组，我们可以通过str[i]+j的方式来进行访问，表示第i+1行第j+1列。


代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>

using namespace std;

const int N = 15, M = 1010;
int n, m;
char str[M][N];
int f[N][N];

int check(char str[], char s[])
{
    //获取子串、母串的长度
    int n1 = strlen(str + 1), m1 = strlen(s + 1);
    for(int i = 0; i <= m1; i ++ ) f[0][i] = i;
    for(int i = 0; i <= n1; i ++ ) f[i][0] = i;
    
    for(int i = 1; i <= n1; i ++ )
        for(int j = 1; j <= m1; j ++ )
        {
            f[i][j] = min(f[i - 1][j] + 1, f[i][j - 1] + 1);
            if(s[j] == str[i]) f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1]);
            else f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
        }
        
    return f[n1][m1];
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    //输入n行数据
    //从第一行第二列开始输入，避免从第一列输入数据，防止边界问题
    for(int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> (str[i] + 1);
    
    while(m -- )
    {
        int x, ans = 0;
        char s[N];
        //从第二列开始输入，防止边界问题
        cin >> (s + 1) >> x;
        //遍历所要比较的每一个子串
        for(int i = 0; i < n; i ++ )
        {
            int t = check(str[i], s);
            if(t <= x) ans ++ ;
        }
        
        cout << ans << endl;
    }
    
    return 0;
}

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代码签名证书&#xff08;Code Signing Certificate&#xff09;主要用于验证软件的完整性和开发者身份&#xff0c;确保用户在下载或安装软件时能够确认该软件未被篡改&#xff0c;并且确实来自于其所声称的发布者。以下是代码签名证书的主要作用&#xff1a; 验证软件来源&am…
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Vue Promise 必须在外层，放到其它比如ElMessageBox，将不会返回任何值

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当点击switch按钮之前&#xff0c;如果当更新后再刷新的效果不好&#xff0c;需要判断行为&#xff0c;然后再决定是否打开按钮。 正确如下&#xff1a; return new Promise((resolve,reject) > {ElMessageBox.confirm(Hold?, Warning, {confirmButtonText: Yes,cancelButt…
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优秀的Linux Shell终端Starship Shell的安装和配置

优秀的Linux Shell终端Starship Shell的安装和配置

文章目录 简介安装startship1.安装 starship 二进制文件：2.将初始化脚本添加到您的 shell 的配置文件3、配置4、日志安装字体nerd-fonts编写脚本安装字体Nerd字体全量安装文档简介 Starship是一款轻量、迅速、可无限定制的高颜值终端！ Starship Shell是一个用Rust编写的开源…
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虚拟机迁移报错：虚拟机版本与主机“x.x.x.x”的版本不兼容

虚拟机迁移报错：虚拟机版本与主机“x.x.x.x”的版本不兼容

1.虚拟机在VCenter上从一个ESXi迁移到另一个ESXi上时报错&#xff1a;虚拟机版本与主机“x.x.x.x”的版本不兼容。 2.例如从10.0.128.13的ESXi上迁移到10.0.128.11的ESXi上。点击10.0.128.10上的任意一台虚拟机&#xff0c;查看虚拟机版本。 3.确认要迁移的虚拟机磁盘所在位…
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怎么理解FPGA的查找表与CPLD的乘积项

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怎么理解 fpga的查找表 与cpld的乘积项 FPGA&#xff08;现场可编程门阵列&#xff09;和CPLD&#xff08;复杂可编程逻辑器件&#xff09;是两种常见的数字逻辑器件&#xff0c;它们在内部架构和工作原理上有着一些显著的区别。理解FPGA的查找表&#xff08;LUT&#xff0c;L…
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