算法学习笔记：贪心算法

news2024/12/23 11:31:31

        贪心算法（又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出当前看来是最好的选择，就能得到问题的答案。

        虽然贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，但对范围相当广的许多问题它能产生整体最优解。在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，但其实，最终结果却是最优解的很好的近似解。

        贪心算法是一种解决问题的策略，如果策略正确，那么贪心法往往是易于描述的，易于实现的。

1、活动安排问题

        设有n个活动的集合E={1，2，…，n}，其中每个活动都要求使用同一资源，如演讲会场等，而在同一时间内只有一个活动能使用这一资源。每个活动i都有一个要求使用该资源的起始时间si和一个结束时间fi，且si<fi。如果选择了活动i，则它在半开时间区间[si,fi)内占用资源。若区间[si,fi)与区间[sj,fj)不相交，则称活动i与活动j是相容的。也就是说，当si>=fj或sj>=fi时，活动i与活动j相容。

        活动安排问题：要在所给的活动集合中选出最多的相容活动子集合。

        活动安排问题的关键是如何按照一定的顺序安排活动，使得选出的活动间相容并能安排尽量多的活动。

        例如：

按照活动结束时间非降序排序后结果如下：

        由于活动以其结束时间的非减序排列，所以每次总是选择具有最早完成时间的相容活动加入集合A中。直观上，按这种方法选择相容活动为未安排活动留下尽可能多的时间。也就是说，贪心选择的意义是使剩余的可安排时间段极大化，以便安排尽可能多的相容活动。

        若被检查的活动i的开始时间si小于最近选择的活动j的结束时间fi，则不选择活动i，否则选择活动i加入集合A中。

        贪心算法并不总能求得问题的整体最优解。但对于活动安排问题，贪心算法greedySelector却总能求得的整体最优解，即它最终所确定的相容活动集合A 的规模最大。

#define SIZE 11 //活动数量
typedef struct Activity //活动类型
{
    int id;//序号
    int start;//开始时间
    int finish;//结束时间
}Activity;

//按结束时间非降序排序
//int Cmp_Act(const void* vp1, const void* vp2)
//{
//    return ((Activity*)vp1)->finish - ((Activity*)vp2)->finish;
//}

void Show(Activity* arr, int len)
{
    for (int i = 0; i < len; i++)
    {
        printf("%d,%d,%d\n", arr[i].id, arr[i].start, arr[i].finish);
    }
}

//结束时间从小到大有序
bool LessFinish(Activity& elem1, Activity& elem2)
{
    return elem1.finish < elem2.finish;
}

//arr：存放活动时间数据的数组
//len：arr的长度
//a：活动是否安排的标记，true安排，false不安排
int greedySelector(Activity* arr, int len, int* flg)
{
    //qsort(arr, len, sizeof(Activity), Cmp_Act);//先按结束时间排序
    sort(arr, arr + len, LessFinish);
    Show(arr, len);

    int i = 0;//当前安排的活动
    int k = 0;//flg下标
    flg[k++] = arr[0].id;//第一个活动总是加入
    int count = 1;//安排活动的数量
    for (int j = 1; j < len; j++)
    {
        if (arr[j].start >= arr[i].finish)//后面活动的开始时间晚于当前活动结束时间，需要加入
        {
            flg[k++] = arr[j].id;//把当前活动序号加入
            i = j;
            count++;
        }
    }
    return count;
}

int main()
{
    Activity arr[SIZE] = { {1,0,6},{2,3,5},{3,1,4},{4,3,8},{5,5,9},{6,5,7},{7,6,10},
                           {8,2,13},{9,8,12},{10,8,11},{11,12,14} };//活动的时间情况
    int flg[SIZE] = { 0 };//安排活动的序号存放的数组

    int count = greedySelector(arr, SIZE, flg);
    printf("安排活动的序号是：");
    for (int i = 0; i < count; i++)
    {
        printf("%d ", flg[i]);
    }

    return 0;
}

2、最优装载问题

        有一批集装箱要装上一艘载重量为c的轮船。其中集装箱i的重量为wi，最优装载问题要求确定，在装载体积不受限制的情况下，应如何装载才能将尽可能多的集装箱装上轮船。该问题就是给出n个物体，第i个物体重量为wi，选择尽量多的物体，使得总重量不超过c。

分析

        由于只关心物体的数量，所以装重的没有装轻的划算。只需要把所有的物体按重量从小到大排序，依次选择每个物体，直到装不下为止。这是一种典型的贪心算法，它只顾眼前，但却能得到最优解。

//最优装载问题：装尽可能多的物品

//arr:存放物品重量的数组
//n:数组的长度
//c:装载的最大重量
//只需要从最小重量的开始装载即可
//返回装载的物品数量

int MoreItems(int* arr, int len, int c)
{
	std::sort(arr, arr + len);//排序
	int count = 0;//统计物品数量
	for (int i = 0; i < len; i++)
	{
		if (arr[i] <= c)//满足条件
		{
			count++;
			c -= arr[i];//剩余装载的重量
		}
		else//没有能装载的物品,但由于已经排序，无需继续遍历
		{
			break;
		}
	}
	return count;
}
int main()
{
	int arr[] = { 9,4,1,3,5,6,2,7,8 };//各类物品的重量
	int c = 20;//最大装载量
	int count = MoreItems(arr, sizeof(arr) / sizeof(arr[0]), c);
	printf("最多可以装载%d样物品\n", count);

	return 0;
}

3、背包问题

        有n个物体，第i个物体的重量为wi，价值为vi，在总重量不超过C的情况下让总价值尽量高，每一个物体都可以只取走一部分，价值和重量按比例计算。

分析

        本题在上一题的基础上增加了价值，所以不能简单得像上题那样先拿轻的（轻的可能价值小），也不能先拿价值大的（可能它特别重），而应该综合考虑这两个因素。一种直观的贪心策略是：优先拿“性价比高的”，即“价值除以重量的值”最大的，直到重量和正好为C。

        注意：由于每个物体可以只拿一部分，因此一定可以让总重量恰好为C（或者全部拿走重量也不足C），而且除了最后一个拿走的物体以外，所有的物体要么不拿，要么整个拿走。

        例：有一个背包，背包容量是C=150。有7个物品，物品可以分割成任意大小。要求尽可能让装入背包中的物品价值最大，但不能超过总重量。

物品ABCDEFG
重量35306050401025
价值10403050354030

//背包问题
// 物品结构体
typedef struct Item//商品
{
    int weight; // 重量
    int value;  // 价值
}Item;

//性价比（价值/重量）
bool cost_per(Item& it1, Item& it2)
{
    return it1.value * 1.0 / it1.weight > it2.value * 1.0 / it2.weight;
}

//arr:存放商品的数组
//n:数组长度
//c:背包能承载的最大重量
double HighestValue(Item* arr, int n, int c)
{
    //按“性价比”，价值/重量，降序排序
    sort(arr, arr+n, cost_per);

    //验证按性价比排序成功
    /*for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        cout << arr[i].value * 1.0 / arr[i].weight << endl;
    }*/

    double count = 0;//统计总价值
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        if (arr[i].weight <= c)
        {
            count += arr[i].value;
            c -= arr[i].weight;//剩余的装载量
            printf("选择的物品%d，重量%d，价值%d\n", i + 1, arr[i].weight, arr[i].value);
        }
        else//只能拿部分
        {
            count += (c * 1.0 / arr[i].weight) * arr[i].value;
            printf("选择的物品%d，重量%d，价值%d，只选择部分价值为%.2f\n",
                i + 1, arr[i].weight, arr[i].value, (c * 1.0 / arr[i].weight) * arr[i].value);
            break;//结束装载
        }
    }
    return count;
}

int main()
{
    Item arr[7] = { {35,10},{30,40 },{60,30}, {50,50},{40,35},{10,40},{25,30} };
    int c = 150;
    double value = HighestValue(arr, sizeof(arr)/ sizeof(arr[0]), c);
    printf("能够装载的最高价值是：%.2f\n", value);

    return 0;
}

4、乘船问题

        有n个人，第i个人重量为wi。每艘船的最大载重量均为C，且最多只能乘两个人。用最少的船装载所有人。

分析

        考虑最轻的人i，他应该和谁一起坐呢？如果每个人都无法和他一起坐船，则唯一的方案就是每个人坐一艘船。否则，他应该选择能和他一起坐船的人中最重的一个j人。这样的方法是贪心的，因此它只是让“眼前”的浪费最少。幸运的是，这个贪心策略也是对的，可以用反证法说明。

        例如：现在有10个人，需要乘船，每艘船的最大载重为10，且最多只能乘两人，这10人的重量分别为4，2，1，3，5，6，8，7，10，9.请用最少的船装载所有人。

//乘船问题
int Cmp_int(const void* vp1, const void* vp2)
{
	return *(int*)vp1 - *(int*)vp2;
}

//w：人的重量数组
//n：数组w的长度
//c：船的载重，且每艘船最多乘坐两人
//返回最少需要的船数
int Boat(int* w, int n, int c)
{
	qsort(w, n, sizeof(int), Cmp_int);//人按重量升序排列

	int count = 0;//船的数量
	int i = 0;//排在前面最轻的人
	int j = n - 1;//排在后面最重的人
	while (n > 0)//还有人没有上船
	{
		if (w[i] + w[j] > c)//如果最轻+最重>船的载重，最重的人需要单独乘船
		{
			count++;//船的数量+1
			j--;//最重的人单独乘船
			n--;//已经有一个人乘船
		}
		else//这两个人可以同乘一船
		{
			count++;
			i++;
			j--;
			n -= 2;//乘船人少2
		}
	}
	return count;
}

int main()
{
	int w[10] = { 4,2,1,3,5,6,8,7,10,9 };//乘船人的重量
	int c = 10;//船的载重
	int count = Boat(w, sizeof(w) / sizeof(w[0]),c);
	printf("一共需要%d条船\n", count);

	return 0;
}

力扣445、分发饼干

        假设你是一位很棒的家长，想要给你的孩子们一些小饼干。但是，每个孩子最多只能给一块饼干。对每个孩子i，都有一个胃口值g[i]，这是能让孩子们满足胃口的饼干的最小尺寸；并且每块饼干j，都有一个尺寸s[j]。如果s[j]>=g[i]，我们可以将这个饼干j分配给孩子i，这个孩子会得到满足。你的目标是尽可能满足越多数量的孩子，并输出这个最大数值。

int Cmp_int(const void *vp1,const void *vp2)
{
    return *(int*)vp1-*(int*)vp2;
}

int findContentChildren(int* g, int gSize, int* s, int sSize) {
    qsort(g,gSize,sizeof(int),Cmp_int);
    qsort(s,sSize,sizeof(int),Cmp_int);
    int count= 0;//满足的孩子数量
    int i=0;//遍历孩子
    int j=0;//遍历饼干
    while(i<gSize && j<sSize)
    {
        while(j<sSize && g[i]>s[j])//找满足孩子胃口的饼干
        {
            j++;
        }
        if(j>=sSize)
        {
            break;
        }
        //找符合条件的饼干
        count++;
        i++;j++;//处理下一个孩子
    }
    return count;
}

        利用STL的排序，代码如下：

class Solution {
public:
    int findContentChildren(vector<int>& g, vector<int>& s) {
        sort(g.begin(),g.end());//g是胃口值
        sort(s.begin(),s.end());//s是饼干尺寸
       int count=0;//计数器
       int i=0;//g的下标
       int j=0;//s的下标
       for(;i<g.size();i++)
       {
        while(j<s.size() && s[j]<g[i])//不符合条件
        {
            j++;
        }
        if(j==s.size())
        {
            return count;
        }
        count++;
        j++;
       }
       return count;
    }
};

力扣402、移掉K位数字

        给你一个以字符串表示的非负整数num和一个整数k，移除这个数中的k位数字，使得剩下的数字最小。请你以字符串形式返回这个最小的数字。

string removeKdigits(string num, int k) {
        string s;//新组建的字符串
        s+=num[0];
        int i = 1;//从第二个元素开始
        while(i<num.size() && k>0)
        {
            if(s.size()>0&&s[s.size()-1]>num[i])
            {
                s.erase(s.size()-1);
                k--;
            }
            else
            {
                //前面没有元素或者当前的比前面的大
                s.push_back(num[i]);
                i++;
            }
        }
        while(k>0)
        {
            //直接删除尾部多余的元素
            s.erase(s.size()-1);
            k--;
        }
        if(i<num.size())
        {
            s+=string(num.begin()+i,num.end());
        }
        while(s[0]=='0')
            s.erase(s.begin());
        if(s.size()==0)//s是个空串
            s="0";
        return s;
    }

力扣409、最长回文串

        给定一个包含大写字母和小写字母的字符串s，返回通过这些字母构造成的最长的回文串的长度。在构造过程中，请注意区分大小写。比如"Aa"不能当做一个回文字符串。

算法：

1、统计各字符串数量

使用一个unordered_map<char,int>(无序映射表)counter来统计字符串s中每个字符串出现的次数遍历字符串s中的每个字符c，并在counter中增加该字符的计数。

2、统计构造回文串的最大长度

初始化两个变量res和odd，res（用于记录回文子串的长度，不包括中心字符，如果有的话），odd（用于标记是否存在出现次数为奇数的字符，即回文中心字符），遍历counter中的每个键值对（kv），其中kv.first是字符，kv.second是该字符出现的次数，对于每个字符，计算其出现次数count，其确定该次数除以2的余数rem。由于回文子串的两侧是对称的，所以每个字符的偶数部分（count-rem）都可以完全用于构造回文子串。这部分长度加到res上。如果rem等于1，说明该字符出现次数为奇数，它可以在回文子串的中心位，（如果只有一个期数频率的字符，或者作为两个奇数频率字符之间的桥梁），因此将odd置为1

3、计算并返回最长回文子串的长度

最终，最长回文子串的长度由res（偶数频率字符贡献的长度）和odd（是否存在奇数频率字符）共同决定。如果odd为1，说明存在至少一个字符可以作为回文中心，因此最长回文子串的长度为res+1;如果odd为0，说明所有字符的出现次数都是偶数，最长回文子串的长度就是res。但由于代码中将odd的初始值设置为0，并且在遇到奇数频率的字符时将其设置为1，所以最后只需将res和odd相加即可得到最长回文子串的长度（因为odd的值要么是0，要么是1）。

int longestPalindrome(string s) {
        // 统计各字符数量
        unordered_map<char, int> counter;
        for (char c : s)
            counter[c]++;
        // 统计构造回文串的最大长度
        int res = 0, odd = 0;
        for (auto kv : counter) {
            // 将当前字符出现次数向下取偶数，并计入 res
            int count = kv.second;
            int rem = count % 2;
            res += count - rem;
            // 若当前字符出现次数为奇数，则将 odd 置 1
            if (rem == 1) odd = 1;
        }
        return res + odd;

力扣11、盛最多水的容器

        给定一个长度为n的整数数组height。有n条垂线，第i条线的两个端点是(i,0)和(i,height[i])。找出其中的两条线，使得它们与x轴共同构成的容器可以容纳最多的水。

        返回容器可以储存的最大水量。

        说明：你不能倾斜容器。

算法思路：

1、初始化两个指针i和j分别指向数据height的起始位置和结束位置。

2、初始化一个变量res来记录找到的最大面积（即盛最多水的容器）

3、使用一个while循环，当i<j时执行循环体。

4、在每次循环中，比较height[i]和height[j]的大小，选择较小的那个高度，并计算以这个高度为高的矩形的面积(即(j-i)*height[较小的柱子])，然后将这个面积与当前的最大面积res进行比较，更新res当i和j相遇时，循环结束，此时res中存储的就是能够盛最多水的容器。

int maxArea(vector<int>& height) {
        int i=0,j=height.size()-1,res=0;
        while(i<j)
        {
            res=height[i]<height[j]?
            max(res,(j-i)*height[i++]):
            max(res,(j-i)*height[j--]);
        }
        return res;
    }

力扣581、最短无序连续子数组

        给你一个整数数组nums，你需要找出一个连续子数组，如果对这个子数组进行升序排序，那么整个数组都会变为升序排序。

        请你找出符合题意的最短子数组，并输出它的长度。

算法1：

1、从左到右遍历：

我们维护一个max_left变量来跟踪到目前为止遍历过的元素中的最大值。如果遇到一个元素小于max_left，则更新end为当前索引。这个end将是未排序子数组的右边界（或最后一个元素的索引）

2、从右到左遍历：

我们维护一个min_right变量来跟踪到目前为止遍历过的元素中的最小值。如果遇到一个元素大于min_right，则更新begin为当前索引。这个begin将是未排序字数组的左边界（或第一个元素的索引）

3、返回值

如果end仍然是初始值-1，说明整个数组已经是非递减的，返回0.否则，返回end-begin+1，即需要重新排序的子数组的长度。

int findUnsortedSubarray(vector<int>& nums) {
        int len=nums.size();
        if(len<=1)
        {
            return 0;//如果数组长度小于等于1，则无需排序
        }

        //从左到右遍历，找到第一个破环非递减顺序的元素及其应该处于的位置
        int max_left=nums[0];
        int end=-1;
        for(int i=1;i<len;++i)
        {
            if(nums[i]<max_left)
            {
                end=i;
            }
            else
            {
                max_left=nums[i];
            }
        }

        if(end==-1)//如果end仍然是-1，说明整个数组已经是非递减的
        {
            return 0;
        }

        //从右到左遍历，找到第一个破坏非递减顺序的元素（向左看）及其应该处于的位置
        int min_right=nums[len-1];
        int begin=len;
        for(int i=len-2;i>=0;--i)
        {
            if(nums[i]>min_right)
            {
                begin=i;
            }
            else
            {
                min_right=nums[i];
            }
        }

        //返回需要重新排序的子数组的长度
        return end-begin+1;

算法2：

 vector<int>v=nums;//复制数据
 sort(v.begin(),v.end());//排序
 int start=0;
 int end=nums.size()-1;
 //找第一个不同点
 while(start<=end)
 {
     if(v[start]!=nums[start])//找到了
     break;
     start++;
 }
 if(start>end)//没找到
     return 0;

 while(end>=0)
 {
     if(v[end]!=nums[end])
     break;
     end--;
 }
 return end-start +1;

力扣605、种花问题

        假设有一个很长的花坛，一部分地块种植了花，另一部分却没有。可是，花不能种植在相邻的地块上，它们会争夺水源，两者都会死去。

        给你一个整数数组flowerbed表示花坛，由若干0和1组成，其中0表示没种植花，1表示种植了花。另有一个数n，能否在不打破种植规则的情况下种入n朵花？能则返回true，不能则返回false。

算法：

1、预处理

为了简化边界条件的处理，在flowerbed数组开头的结尾各插入了一个0（代表空地），这样在遍历数组时，就不需要特别检查第一个和最后一个元素是否可以种花，因为它们都被视为空地。

2、遍历数组

从数组的第二个元素（索引为1，因为已经插入了一个0作为第一个元素）开始，到倒数第二个元素结束（因为最后一个元素后面也插入了一个0），遍历整个flowerbed数组。

3、检查种花条件

对于遍历到的每个位置（索引为i），检查它是否满足种花的条件：即它本身（flowerbed[i]）是空地（0），并且它的前一个位置（flowerbed[i-1]）和后一个位置（flowerbed[i+1）也都是空地，这是通过比较这三个位置的值是否都为0来实现的。

4、种花

如果当前位置满足种花的条件，那么在该位置种下一朵话（即将flowerbed[i]的值改为1），并减少还需要种的花的数量n。

5、检查是否完成

遍历完成后，检查还需要种的花的数量n是否小于或等于0.如果是，说明已经种够了或者超过了所需的花的数量，函数返回true；否则，返回false。

bool canPlaceFlowers(vector<int>& flowerbed, int n) {
        flowerbed.insert(flowerbed.begin(), 0);
        flowerbed.push_back(0);
        for (int i = 1; i  < flowerbed.size()-1; i++) {
            if (flowerbed[i - 1] == 0 && flowerbed[i] == 0 && flowerbed[i + 1] == 0) {
                flowerbed[i] = 1; // 种花！
                n--;
            }
        }
        return n <= 0;

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