目录

一、特征值和特征向量的定义

二、特征值和特征向量的相关函数

三、特征值和特征向量的计算

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一、特征值和特征向量的定义

假设A是一个n×n的矩阵，A的特征值问题就是找到下面方程组的解：

其中，λ为标量，V为矢量，若把矩阵A的n个特征值放在矩阵P的对角线上，相应的特征向量按照与特征值对应的顺序排列，作为矩阵V的列，特征值问题可以改写为：

如果V是非奇异的，该问题可以认为是一个特征值分解问题，此时关系式如下：

广义特征值问题是指方程A·x=λ·B·x的非平凡解问题，其中A、B都是n×n的矩阵，λ为标量。满足此方程的λ为广义特征值，对应的向量x为广义特征向量。

如果X是一个列向量为a的特征向量的矩阵，并且它的秩为n，那么特征向量线性无关。如果不是这样，则称矩阵为缺陷阵。如果X'·X=I，则特征向量正交，这对于对称矩阵是成立的。

二、特征值和特征向量的相关函数

现将MATLAB中矩阵特征值与特征向量的相关函数的具体调用格式及其功能列出：

1. eig(A)：求包含矩阵A的特征值的向量。
2. [X,D]=eig(A)：产生一个矩阵A的特征值在对角线上的对角矩阵D和矩阵X，它们的列是相应的特征向量，满足 AX=XD。为了得到有更好条件特征值的矩阵，要进行相似变换。
3. [T,B]=balance(A)：找到一个相似变换矩阵T和矩阵B，使得它们满足B=T-A·T。B是用命令balance求得的平衡矩阵。
4. eig(A,'nobalance')：不经过平衡处理求得矩阵 A 的特征值和特征向量，也就是不进行平衡相似变换。
5. eigs(A)：返回一个由矩阵A的部分特征值组成的向量，和eig命令一样，但是不返回全部的特征值。如果不带有参量，则计算出最大的特征值。当计算所有特征值时，如果矩阵A的秩不小于6，则计算出6个特征值。
6. eigs(f,n)：求出矩阵A的部分特征值。在使用一个矩阵列的线性运算符时，字符串f中包含的是M文件的文件名，n指定问题的阶次。用这种方法来求特征值比开始就用运算符来求要快。
7. eigs(A,B,k,sigma)：求矩阵A的部分特征值，矩阵B的大小和A相同；如果没有给出B=eye(size(A))，那么k就是要计算的特征值的个数；如果k没有给出，就用小于6的数或者A的秩。变量sigma是一个实数或者复数的移位参数，或者下列文本字符串中的一个，文本字符串指明的是特征值的属性：“lm”为最大的特征值，“sm”为最小的特征值，“lr”为最大的实数部分，“sr”为最小的实数部分，“be”为同时求得最大和最小的实数部分。
8. condeig(A)：返回一个由矩阵A的特征值条件数组成的向量。
9. [V,D,s]=condeig(A)：返回[V,D]=eig(A)和s=condeig(A)。

三、特征值和特征向量的计算

示例：矩阵特征值与特征向量的计算

A=[0.8 0.2;0.2 0.8];

[Q,D]=eig(A) %矩阵的舒尔分解

B=Q*Q' %验证

运行结果：