二叉树第二期：堆的实现与应用

news2024/10/7 14:29:29

若对树与二叉树的相关概念，不太熟悉的同学，可移置上一期博客

链接：二叉树第一期：树与二叉树的概念-CSDN博客

本博客目标：对二叉树的顺序结构，进行深入且具体的讲解，同时学习二叉树顺序结构的应用——数据结构：堆的实现，以及堆的应用：如堆排序，又或者TOP-K问题；

感谢移置残风的主页：残风也想永存-CSDN博客，❤❤❤

一、堆的定义

  • 堆的定义：堆是一颗完全二叉树，且所有的父亲结点与子结点有相同的大小关系。
  • 大堆：所有的父亲结点的值 都比 子结点要大。
  • 小堆：所有的父亲结点的值 都比 子结点要小。

        上期，我们讲过，对于完全二叉树，若用数组的下标0，1，2...，从左到右依次表示第一层，第二层...，则父亲结点与子结点的关系，可用下标表示出来。

        而堆本身就是一种特殊的完全二叉树，所以用顺序结构表示堆，再简单不过~

二、堆的实现讲解

//堆的结构体声明与定义

typedef int HpDateType;

typedef struct Heap
{
    HpDateType* date;
    size_t size;
    size_t capacity;
}Heap;

//堆的函数接口声明：

void HeapInit(Heap* php);//初始化
void HeapDestory(Heap* php);//销毁
void HeapPush(Heap* php, HpDateType x);//插入 
void HeapPop(Heap* php);//删除堆顶的元素
HpDateType HeapTop(Heap* php);//返回堆顶元素
size_t HeapSize(Heap* php);//返回堆的数据个数
bool HeapEmpty(Heap* php);//判空

//以下为上面函数接口的子函数，其目的是插入或

//删除元素后，符合堆的定义——但因其重要性~，下面会着重讲解

void AdjustUp(HpDateType* a, int n);//向上调整算法
void AdjustDown(HpDateType* a, int n, int size);向下调整算法

        通过上面的声明，可以清楚的发现，其堆的实现，和动态顺序表的实现，极为相似；但又有一些区别； 比如在插入数据的时候，我们并不只是在最后一个数据的后面插入一个数据就行了，而是要通过向上调整算法，保持其符合堆的定义；在删除数据的时候，我们也不是删除最后一个数据，而是删除堆顶的元素。

1.向上调整算法
i.实现思路讲解

        应用效果：给你一个堆，在尾部任意插入元素，将该结点调整到适合他的位置，大堆，比父亲小；若是小堆，比父亲小。  

         (建大堆)将插入得新结点，与其父亲做比较，若比父亲大，则交换数据，进行下一次循环，若比父亲小，或该结点的下标到0位置，则调整完毕，循环结束。 

ii.复杂度

        向上调整算法：最坏的情况，为调整高度次，假设二叉树的有N个结点，所以时间复杂度为O(logN)。

iii.代码
void AdjustUp(HpDateType* a, int n)
{
	assert(a);

	int child = n;
	int father = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		// 大堆
		if (a[child] > a[father])
		{
			Swap(&a[father], &a[child]);
			child = father;
			father = (child - 1) / 2;
		}
		else 
			break;
	}
}
2.向下调整算法
i.实现思路讲解

        向下调整算法使用前提：左右子树是相同的堆，若是建小堆，左右子树都是小堆，才可使用向下调整算法；

ii.时间复杂度推导

        向下调整算法：最坏的情况，为调整高度次，假设二叉树的有N个结点，所以时间复杂度为O(logN)。

iii.代码
void AdjustDown(HpDateType* a, int n, int size)
{
	assert(a);

	int father = n;
	int child = 2 * father + 1;
	while (2 * father + 1 < size)
	{
		// 左孩子比父亲大的假设不成立
		if (child + 1 < size && a[child] < a[child + 1])
		{
			child += 1;
		}
		// 大堆
		if (a[child] > a[father])
		{
			Swap(&a[child], &a[father]);
			father = child;
			child = 2 * father + 1;
		}
		else
			break;
	}
}
3.插入元素

         在插入数据的时候，我们并不只是在最后一个数据的后面插入一个数据就行了，而是要通过向上调整算法，保持其符合堆的定义；

void HeapPush(Heap* php, HpDateType x)
{
	assert(php);

	//查容 & 扩容 
	if (php->size == php->capacity)
	{
		size_t newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;
		HpDateType* tmp = (HpDateType*)realloc(php->date, newcapacity * sizeof(HpDateType));
		if (!tmp)
		{
			perror("realloc mistake");
			exit(-1);
		}
		php->date = tmp;
		php->capacity = newcapacity;
	}

	//插入
	php->date[php->size++] = x;

	//向上调整堆;
	AdjustUp(php->date, php->size - 1);
}
4.删除堆顶元素

        在删除数据的时候，我们也不是删除最后一个数据，而是删除堆顶的元素。且要通过向下调整算法，保持其符合堆的定义；

void HeapPop(Heap* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);

	//踹走堆顶元素;
	Swap(&php->date[0], &php->date[php->size-1]);
	php->size--;

	//向下调整堆
	AdjustDown(php->date, 0, php->size);
}

三、实现堆的源码

1.Heap.h
#pragma once

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<stdbool.h>
#include<time.h>
#include<assert.h>

typedef int HpDateType;

typedef struct Heap
{
	HpDateType* date;
	size_t size;
	size_t capacity;
}Heap;

void HeapInit(Heap* php);//初始化
void HeapDestory(Heap* php);//销毁
void HeapPush(Heap* php, HpDateType x);//插入 
void HeapPop(Heap* php);//删除 
HpDateType HeapTop(Heap* php);//返回堆顶元素
size_t HeapSize(Heap* php);//返回堆的数据个数
bool HeapEmpty(Heap* php);//判空

void AdjustUp(HpDateType* a, int n);
void AdjustDown(HpDateType* a, int n, int size);
2.Heap.c
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1

#include"Heap.h"

void HeapInit(Heap* php)
{
	assert(php);

	php->date = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

void HeapDestory(Heap* php)
{
	assert(php);

	free(php->date);
	php->date = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

void Swap(HpDateType* e1, HpDateType* e2)
{
	int tmp = *e1;
	*e1 = *e2;
	*e2 = tmp;
}

void AdjustUp(HpDateType* a, int n)
{
	assert(a);

	int child = n;
	int father = (child - 1) / 2;
	
	while (child > 0)
	{
		// 小堆
		if (a[child] < a[father])
		{
			Swap(&a[father], &a[child]);
			child = father;
			father = (child - 1) / 2;
		}
		else 
		{
			break;
		}	
	}
}

void HeapPush(Heap* php, HpDateType x)
{
	assert(php);

	//查容 & 扩容 
	if (php->size == php->capacity)
	{
		size_t newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;
		HpDateType* tmp = (HpDateType*)realloc(php->date, newcapacity * sizeof(HpDateType));
		if (!tmp)
		{
			perror("realloc mistake");
			exit(-1);
		}
		php->date = tmp;
		php->capacity = newcapacity;
	}

	//插入
	php->date[php->size++] = x;

	//向上调整堆;
	AdjustUp(php->date, php->size - 1);
}

void AdjustDown(HpDateType* a, int n, int size)
{
	assert(a);

	int father = n;
	int child = 2 * father + 1;

	while (2 * father + 1 < size)
	{
		// 左孩子比父亲小的假设不成立
		if (child + 1 < size && a[child] > a[child + 1])
		{
			child += 1;
		}
		// 小堆
		if (a[child] < a[father])
		{
			Swap(&a[child], &a[father]);
			father = child;
			child = 2 * father + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

void HeapPop(Heap* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);

	//踹走堆顶元素;
	Swap(&php->date[0], &php->date[php->size-1]);
	php->size--;

	//向下调整堆
	AdjustDown(php->date, 0, php->size);
}

HpDateType HeapTop(Heap* php)
{
	assert(php);

	return php->date[0];
}

size_t HeapSize(Heap* php)
{
	assert(php);

	return php->size;
}
bool HeapEmpty(Heap* php)
{
	assert(php);

	return php->size == 0;
}

四、堆的应用 

1.建堆
i.向上调整建堆（时间复杂度推导）

        问题：给你一个数组，返回一个大堆；

        问起建堆，可能你们会说，创建一个堆的数据结构，然后不断的Push就行了；可是空间复杂度却是O(N)，我们如何在空间复杂度O(1)的情况下，建一个堆呢？

        HeapPush的时候，是在堆尾插入一个数据，然后向上调整，而我们其实可以省去插入的过程，在给定数组的上面，只使用向上调整算法，实现建堆；

        省去了开辟空间的消耗，空间复杂度为O(1)；时间复杂度为O(NlogN)

 

ii. 向下调整建堆（时间复杂度推导）

        向上调整建堆的时间复杂度为O(NlogN)，若面试官说O(NlogN)，不好，问你能否将时间复杂度?你是否会觉得不可思议？而你又会如何解决呢？我们大脑的思维很难凭空创造，但我们可以从已有的问题，得到启发；下面我们重新分析一下向上调整建堆时间浪费在何处，

        我们会发现，层数越高结点，最坏调整次数越高，与此同时，结点个数也越多，我说这可能是问题的突破高，我们如何让调整次数多的结点，个数减少呢？我们会想到向下调整算法，向下调整算法，有个使用前提：左右子树是相同的堆，才可使用向下调整算法。所以我们可以从最后一个非叶子结点往前调整；如上图，先向下调整28结点，依次往前13、56、32、...、到最后的根结点。       

        优点：结点个数越多的那一层，向下调整次数反而越少；时间复杂度为O(N)

                

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