文章目录：
一：言语理解
1.技巧关系
2.逻辑填空
二：判断推理
1.图形推理
2.定义判断
3.类比推理
4.逻辑判断
三：资料分析
1.增长率
2.增长量
3.比重
4.平均数
5.倍数与比值
三：数量关系
1.解题思路
1.1 代入排除思想
1.2 倍数特性思想
1.3 余数特性思想
1.4 奇偶特性思想
1.5 赋值思想
1.6 极限思想
1.7 逆向推理思想
1.8 整除思想
1.9 十字交叉
1.10 方程思想
2.核心题型解题方法
2.1 工程问题
2.2 行程问题
2.3 经济利润问题
2.4 几何问题
2.5 排列组合及概率问题
2.6 溶液问题
2.7 和定最值问题
2.8 容斥问题
2.9 计算问题
一：言语理解
1.技巧关系
技巧
➀大多在首尾句找到作者观点，其余文段压缩阅读
➁注意主题词（暗示观点对策）：“因此”“可见”“事实上”“应该”“需要”“不能”“所以”“这样”等
➂注意同义替换
关系
➀转折关系：“但是”“但相反地”“但另一方面”“实际上”
“通过对比”“经与......对比”“相较之下”
“然而”“然而整体而言”“其实不然”
转折词后为文段重点，转折前的表述通常为错误的选项，直接看转折词之后的内容
“很多人/大多数人/传统观点/以前/有些人/不少人认为＋转折关联词”
➁因果关系：“因为”“因而”“因此”
“造成”“导致”“由于”
“之所以.....是因为....”".至工"
➂并列关系：“是.….不是.……”“不是而是"
“既…...….又.…...…”“又.….….又....…”“既........也......"
“有时.......有时.""—方面......另一方面”“此外”
不同话题：全面概括 相同话题：提取共性
多个方面：许多、一些、不同、各种等 片面：排除
➃条件关系：“只要......就....…””只有......才.....”任凭......也....…."
“无论...都..…”“除非.........…”““不管....总......"
"A是B的必要条件、前提、基础、保障、途径”“必须”“务必”“除非”
条件是重点，即“才”“都”“必须”“务必”“除非”等后面的内容是重点
➄递进关系：“并”“也”“还”“更”
"不但......而且...…”“不仅”“甚至”“特别”“尤其”
“重要的是”“关键是”“核心是”
不但......而且.......甚至..…”（多重递进时，最后一层递进为文段重点）
递进关联词后为文段强调重点
➅对立关系：“如果不...那么”一旦...则..."倘若.可能......"
有观点类：观点＋否则.....不然......（不重要）
无观点类：背景陈述＋如果不...那么....客观问题＋如果不.....（推导出解决问题的对策，对策是重点）
➆时空关系（时间空间）：过去.…...现在......;传统....现代;美国.…....中国......
前后对比，将要强调的不同点放到文段的后半部分，也就是文段的重点2.逻辑填空
固定搭配对应
词性搭配：v+n/adv n+v/adj
需要留心是否出现“和”“及”“与”“同”等并列标志词
注意积累常见搭配
程度轻重对应：轻易程度要匹配
解释说明对应
标志词：是、就是、即、无异于、无疑是、可以说、比如、例如、冒号(:)、破折号(——)等
重点词句对应
主题词：即文段围绕论述的核心名词
拟人、类比等形象表述：的“像..…....那样..…”“正如”“和...一样”“...有异曲同工之妙”等
中心句或文段中的完整语句
二：判断推理
1.图形推理
对称性（规律中考察最多）
1.对称的类型
(1）轴对称图形：一个图形如果沿一条直线对折后，两边部分能够完全重合
一个对称图形可能有1条或多条对称轴，如A、B、C.Y、△、口等
(2）中心对称图形:一个图形如果正着看和倒着看（即旋转180°)一模一样
如S、Z、N、平行四边形等
(3）既轴对称又中心对称图形:以上两者特征的综合体，既能沿直线对折后重合，又能正看与倒看完全一样
如H、O、“、o等
2.对称轴的方向和数量
当题干图形和两个以上选项的图形都是轴对称图形时：很有可能通过对称轴的方向和数量来命题
对称轴的方向可分为:横轴对称、竖轴对称、斜轴对称
笔画数（考频非常高）
(1）简答图：画图的方式
(2）复杂图：连通图的需要的“笔画数”=奇点数÷2（其中特例为：含0个或2个奇点的连通图可一笔画完成）
连通图:如果图中任意两点都是连通的，那么该图被称作连通图
奇点:若以一个点为起点,延伸出的线条数为奇数，则该点为奇点（包括端点）
功能元素
一般用来标记位置
常见的:黑点、白点、箭头等
当每个图形都有功能元素时可以标记图形的：长短边、左右上下位置、角的类型、大小角、是否相交
空间重构（折纸盒）
常见的空间重构图形一般有：六面体、四面体、八面体
(1）空间想象法
(2）对立面法：中间各一个面；"Z"字形两端且紧靠着“Z”字形中间那条线
(3）公共边法：两个相邻面的相交线为公共边、在展开图上呈直角的两条边为同一条边
(4）画边法：对线或点标记序号
样式运算（图形通过运算之后，会改变样式的形状）
(1）简单叠加：往往结合旋转和翻转进行考查
(2）运算叠加
去同存异：两幅图叠加，将相同的线条去掉，保留不同的线条；
去异存同：两幅图叠加，将不同的线条去掉，保留相同的线条；
(3）黑白叠加：小黑块与小白块之间的叠加
①小黑块运动类：一般黑块数量较少、图形间黑块数量变化不大;
②小黑块叠加类：位置没规律、数量变化大、一般不用16宫格作为载体；
③一般分四种情况:黑＋黑、黑＋白、白＋黑、白＋白进行运算;
④黑＋黑与白＋白的结果一致、黑＋白与白＋黑的结果一致；
即相同得一色，相异得—色
(4）特殊叠加
①切割或翻倍后叠加;
②按优先级不同叠加；
③3A+B=C得新结果式叠加；
2.定义判断
核心：看清问题，抓住信息，选项比较
主客体
主体：指一个动作或事件的发起者或执行者;
客体：指一个动作或行为指向的对象；
当主体或客体有明确的范围界定时，可优先进行选项对应、对于明显不符合的选项进行排除
条件句式
表示方式的引导词:通过、利用等
表示原因的引导词:因为、由于等
表示时间条件的引导词:当…....时、在.…....时等
表示结果的引导词:所以/因而/从而/带来/引发/导致/使得等表结论的词汇3.类比推理
要多积累：成语、诗句、典故、生活常识
语义关系：近义词、反义词、比喻、象征
语义关系中常搭配考查的二级辨析主要有感情色彩、词语结构、词性
并列关系
矛盾关系（没有第三种关系）、反对关系（还有其他情况存在）
包容关系
种属关系、组成关系
对应关系：一定范围事件包含的各词语要素之间构成的相互对应，包括物品、职业、地,点、原因、结果、方式、行为、工具、功能等多种对应
配套使用、物品与原材料 制作工艺、物品与功能、属性关系、因果关系
交叉关系：两边有中间共同的属性4.逻辑判断
翻译推理、组合排列、削弱和加强论证
加强论证
提问方式中带有：“加强”“支持”“假设”“前提”等关键词
解题思路：表述直接的力度强、与话题接近的力度强
读（论点意思）、
析（核心话题）、
比(比主体、比范围、比话题、比强弱)、
加强方式
(1) 搭桥
论点和论据中出现了两个没有明显相关性的概念，优先考虑搭桥，指出两者相关
论点和论据中分别出现了一个整体和一个部分的概念，优先考虑搭桥，指出部分可以代表整体
当提问方式是前提、假设、必要条件、加强论证时（考查搭桥加强的可能性非常大）
(2) 补充论据：“解析”论点成立的原因、“举例”证明论点成立
削弱论证
提问方式中带有：“削弱”“质疑”“反驳”“否定”等关键词
解题思路
读（论点意思）、
析（核心话题）、
比(比主体、比范围、比话题、比强弱)、
削弱方式
(1) 拆桥：破坏论点和论据之间的关系（拆桥的力度要强于单纯的否定论据）
论点和论据中出现了两个没有明显关系的概念，此时优先考虑拆桥,指出两者不相关
论点和论据中分别出现了一个整体和一个部分的概念，此时优先考虑拆桥，指出部分不能代表整体
论据是调查或实验数据，且没有直接否定论点的选项，可能会考查拆桥（常见的选项表达方式为调查数据不具有代表性）
(2) 否定论点
逆否命题：具体形式（A→B等价于-B→-A）
(1) 充分条件常见关联词:
A是B的充分条件:A→B
如果A，那么B:A→B
若A，那么B:A→B
所有A都是B:A→B
只要A，就B:A→B
凡是A，都B:A→B
(2) 必要条件常见关联词:
只有B，才A:A→B
B是A的必要条件:A→B
B是A的前提:A→B
A的基础是B:A→B
为了A，一定B:A→B
A离不开B:A→B
A的保障是B:A→B
记忆方法:不用管到底谁推谁，只需要判断出谁是“必不可少的条件”，把必要条件“放后面”
(3) 两者结合
①充分条件:有他就行放前面
②必要条件:没他不行放后面
③肯前必肯后
④否后必否前。
⑤否前肯后得不出任何确定性结论。
联言命题：就是“且”关系，它的形式为“A且B"
结论：一假即假，同真才真
常见的关联词
既A又B:A且B
不但A而且B:A且B
仅A还B:A且B
虽然A但是B:A且B
A,B:A且B
同时A,B:A且B
选言命题：“或”命题，其基本形式为“A或B”
结论:一真即真，两假才假三：资料分析
1.增长率
增长率
增长率：是表述基期量与现期量变化的相对量
增长率又称：增速、增幅或者增长幅度、增值率等（增长率为负时表示下降）
增长率（增幅）:有正有负，比较时带符号 →5% > -10%
降幅:必须为负，比较时看绝对值 →|-5%| < |-10%|
变化幅度:有正有负，比较时看绝对值→|5%| < |-10%|
r=增长量/基期量
=增长量/(现期量–增长量)=1/（现期量/增长量-1） 现期量=增长量+基期量
=(现期量–基期量)/基期量=（现期量/基期量-1）/1=增长量
=现期/基期-1
看现期和基期的倍数关系是否明显。
(1）当现期/基期=1+(不明显) ，用(现期–基期)/基期 比较
(2) 当现期/基期=2+(明 显) ，用现期/基期 比较
(3) 已知:现期、增长量，比较增长率 ，用“增长量/现期” 比较| 截位直除法 | 一个数×1.5=本身＋本身的一半 一个数×1.1=错位相加 | |
| 除前看选项;大则截两位，小则截三位; 不要一直算下去，边除边看好习惯 | ||
| 截谁 | 一步除法：建议只截分母 多步直除：建议上下都截 | |
|
截几位 （四舍五入） | 选项差距大，截两位 首位不同 | |
| 选项差距小，截三位 首位相同且次位差<首位 | ||
| 注：若选项之间存在约10倍的关系时，需要看小数点、位数、单位，要注意判断数量级(几位数) 小技巧:量级不同时将分母化成1点几算更好比较 | ||
百分数与百分比
百分数:用来反映“量之间”的比例关系，用”除 法“计算
百分点:用来反映“百分数”的变 化，用“加减法”计算 （提高、回落、扩大、收窄）
增长率与倍数
增长率
倍数：增长率+1=倍数
成数与翻番
成数：几成就相当于十分之几，也就是百分之几十
翻番：翻N番，变为原来的2N倍
2.增长量
一般增长量
识别：增长+单位（绝对值）
公式
公式一(简单)∶增长量=现期–基期
公式二(重点)︰增长量=现期/(1＋增长率)×增长率
年均增长量
识别：年均+增量+单位（绝对量）
公式
年均增长量=(现期–基期)/N(年份差)
增长量的比较：增长最多/最少、下降最多/最少
已知:现期、基期，比较增长量
增长量=现期-基期，柱形图中可以直接看高度差
已知:现期、增长率，比较增长量
口诀:大大则大，一大一小百化分
有上升有下降，比较变化的时候，用百化分来做
速算：增长率百化分：r = 1/n 增长量=现期/（n+1） 减少量=现期/（n-1）百化分：百分数化分数 1.常见的分数化百分数 2.三步速记法 ①“7 ~12”，加和(整数部分＋分母)为20：12.5%=1/8 11.1%≈1/9 9.1%≈1/11 8.3%≈1/12 7.7%≈1/13 ②(16.6)和(14、7)互换的两对：16.7%≈1/6 6.25%=1/16 14.3%≈1/7 7.1%≈1/14 ③(17、18、19)： 5.963%≈1/17 5.6%≈1/18 5.3%≈1/19 3.百化分方法（增长率） 放缩法 1.43%: 14.3%≈1/7，则1.43%≈1/70 67%: 6.7%≈1/15，67%≈1/1.5 1.9%: 1.9%≈2%=1/50 取中法 18.5%:介于16.7%≈1/6和20%=1/5之间，则18.5%≈1/5.5，n=5.5 15.4%:介于14.3%≈1/7和16.7%≈1/6之间，则15.4%看成1/6.5，n=6.5 公式法：N=100/百分号前的数字（保留小数点后一位) 44%:44/100=1/N，N=100/44≈2.2，则44%看成1/2.2 37%:N=100/37≈2.7，则37%看成1/2.7
3.比重
比重 = 部分/整体
现期比重：....占.... ...中....的占比
“比重=部分/总体”的三量变化。考查部分占总体的百分之几
求比重：A占B的比重→A/B A中B的占比一B/A
求部分(用乘法)︰部分=总体×比重
求总体(用除法)：总体=部分/比重
利润率=利润/收入 （在数量关系中，利润率=利润/成本）
增长贡献率=部分的增长量/总体的增长量
饼状图：顺时针方向开始排布（先看大小 再看比例）
基期比重（过去+占）：求上一年的比重
基期比重=A/B * (1+b)/(1+a) 注意A和a、B和b之间是交叉对应的
A:部分的现期量 B:总体的现期量
a:部分的增长率 b:总体的增长率
上年的比重=基期部分/基期总体
=A/(1+a) ÷ [B/(1+b)]
=A/(1+a) × [(1+b)/B]
=A/B × (1+b)/(1+a)
速算
①先截位直除A/B，选项差距大，截两位计算，选项差距小，截三位计算
注:计算之前需要看题目中是否已知A/B的占比，有则直接用，没有再计算
②再看(1+b)/ (1+a)与1的关系（>，<，=)，结合选项选答案
注:①当做一步除法，只截分母; ②看看材料有没有已经给出现期比重的值
两期比重比较：占….…比重 （前/后）
两个时期+比重+比上年上升/下降 （在近几年直接选择最小值 正确值可以达到95%以上）
两期比重比较，看a(部分增速)和b(总体增速)大小
a > b，今年比重上升 a < b，今年比重下降 a = b，今年比重不变
现期比重=A/B;基期比重=A/B*(1+b)/(1+a)
若a > b,(1+b)/(1+a) 小于1，即基期比重<现期比重，现期比重大→比重上升;
若a < b,(1+b)/(1+a) 大于1, 即基期比重>现期比重，现期比重小→比重下降;
两期比重计算：.....占......比重
两个时期+比重+比上年上升/下降＋百分点 （百分点是由两个百分数相加减得到）
①判方向:a > b，上升; a< b，下降 ②定大小:小于|a-b]
比重差=现期比重 – 基期比重
=A/B - A/B*(1+b)/(1+a)
=A/B * [(a-b)/(1+a)]
4.平均数
识别：平均、每、单位....
题型分类：现期平均（必考） 基期平均（考的少） 两期平均（考的少）
现期平均数：现在＋平均/每/单位
公式（后/前）
①平均数=总和/个数=A/B
②人均收入=收入/人数
③亩产量=产量/亩数
④单位面积产量=产量/面积
削峰填谷：用于平均数的计算或比较
基期平均数（与比重异曲同工）：过去＋平均/每/单位
公式：基期平均=A/B × [(1+b)/(1+a)]
A：总数现期量; B：个数现期量;
a:分子的增长率; b:分母的增长率;
速算
1.先截位直除A/B。
2.再看（1+b)/ (1+a)与1的关系(>，<，=)，结合选项选答案
两期平均数比较（与比重异曲同工）
识别：平均数，比上年上升/下降
方法：两期比重比较，看a (分子增速）和b (分母增速)大小
a > b，今年平均上升; a < b，今年平均下降; a=b，今年平均不变;
两期平均数计算
识别：平均数，比上年上升/下降＋百分数
公式：平均数的增长率=(a-b)/ (1+b)
a、b分别代表分子、分母的增长率
公式推导
现期平均:A/B 基期平均=A/B*[ (1+b)/ (1+a) ]
r=现期/基期-1
=A/B ÷ A/B*[(1+b)/(1+a)] - 1
=(1+a)/(1+b)-1
=(a-b)/(1+b)
| 比重、平均数、倍数 注: a代表分子增长率; b代表分母增长率 | ||||
| 现期 | 基期 | 升降判断 | 定量计算 | |
| 比重 （占、比重） | A/B | A/B × [(1+b)/(1+a)] | a > b，今年比重上升 a < b，今年比重下降 a = b，今年比重不变 | 两期比重值=A/B * [(a-b)/(1+a)] 先升降，再减少 |
| 平均数 （均、每、单位） | A/B | A/B × [(1+b)/(1+a)] | a > b，今年平均上升 a < b，今年平均下降 a = b，今年平均不变 | 平均数增长率=(a-b)/(1+b) |
| 倍数 | A/B | A/B × [(1+b)/(1+a)] | ||
5.倍数与比值
倍数:用来表示二者的相对关系;
比值：用来表示二者之间的比例关系（A与B的比值，即A:B = A/B）
识别：时间＋倍数
公式
1.现期倍数
A是B的几倍：A/B
A是B增长（多）几倍：(A-B)/B = A/B - 1
2.基期倍数=A/B*[(1+b)/(1+a)] (先截位直除A/B，再看(1+b)/(1+a)与1的关系)
倍数的3种问法
①A是B的几倍:A/B
②A比B增长(多)几倍:(A-B)/B=A/B-1
③A超过B的N倍→A>B×N。
三：数量关系
1.解题思路
1.1 代入排除思想
使用范围 1.看题型:多位数、年龄、余数、不定方程 2看选项 3.选项信息充分;选项为一组数。(问法:分别/各) 4.剩两项:只代其中一个 使用方法 1.先排除:奇偶、倍数、尾数 2.再代入: (1)从简原则:方便计算的数，整十、整百的数 (2)最值原则:问最大，从最大开始代入;问最小，从最小开始代入 对于生活中的问题，注意用生活思维
1.2 倍数特性思想
整除型（平均分配物品、平均数） 如果 A=B×C (B、C均为整数)，那么A能裤B整除，且A能被C整除 三量关系(A=B×C)∶行程问题、工程问题、经济利润问题 余数型 若总数=ax+b (a，x均为整数) 则(总数-b)一定能被a整除 比例型 若a/b=m/n (m、n互质)，则a是m的倍数，b是n的倍数; 若a=m/n * b (m、n互质)，则a是m的倍数，b是n的倍数; 若a=m/n * b (m、n互质)，则a=m/(m+n) * (a+b); 比例型适用于: 题干特征:分数、百分数、比例、倍数 对象特征:描述对象为不可分割的整体，整数才有意义(如人、车、年龄等)
1.3 余数特性思想
同余问题核心口诀：“最小公倍数作周期，余同加余，和同加同，差同减差” 1.余同加余:“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，这个数是60n+1; 2.和同加和:“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，这个数是60n+7; 3.差同减差:“一个数除以4余3，除以5余4，除以6余5”，这个数是60n-1; 在这里，60为(4、5、6的最小公倍数)，n的取值范围为整数，可以为正数也可以是取负数 在题干中看到“某物按×个分组还余y个”的条件，这种分组、分类有余的题目就是典型的余数特性题目
1.4 奇偶特性思想
在乘法中
若因子中存在偶数，则结果为偶数;无偶数则结果为奇数（有偶就偶）
①奇数×奇数=奇数
②偶数×偶数=偶数
③奇数×偶数=偶数
若 几个整数的和(或差)为奇(或偶）数
则这几个整数的差(或和)为奇(或偶）数
在加减法中
两个因子奇偶性相同，则结果为偶数。两个因子奇偶性不同，则结果为奇数（同偶异为奇）
①奇数±奇数=偶数
②偶数±偶数=偶数
③奇数±偶数=奇数1.5 赋值思想
题型
工程问题、混合配比问题、加权平均问题、流水行船问题、往返行程问题、几何问题、经济利润问题都常用到“赋值思想”
规律
当题目所给信息中“未涉及”到某个具体数量的大小
通常出现“倍数”“分数”“百分数”“比例”
并且该数量的大小“不影响”最终所求结果，可赋值
技巧
观察题目所给的数值(分数、百分比、比例)，赋值数多为这些数的公倍数
工程量、工作量等可将每天推进量赋值为1
准确列出方程1.6 极限思想
极值思想：是分析题目条件后，构造出满足题意的“最极端情况”，是极值在构造法中的运用形式
规律：出现“至多”、“至少”、“最多”、“最少”、“最大”、“最小”等字眼时，我们要有“极值思想”
技巧：题目提问中有“至少...…才能保证...…”那么“保证”后面的情况是必然发生的情况（即:最不利情况数＋1）
两 要：要分析题目条件后，构造出满足题意的最极端情况，要应用极端情况进行解题
一不要：不要忽视可能存在的情况
在解题时一定要全面思考，不能忽略可能存在的情况，做到多想一点、想全一点
一原则：和定最值的原则，总和数不变
求最大量的最大值时，其他值尽可能地小
求最小量的最小值时，其他值尽可能地大1.7 逆向推理思想
要注意培养逆向思维解题题感，跳出思维陷阱
逆向推导∶将过程颠倒，形成与之相反的运算过程从后往前获得所求值
解题关键在于将过程反向推导，形成解题思路与方法
正反互补∶当所求情况过多、计算复杂时，可以考虑用整体减去与之相反的情况来求解，简化计算过程
1.8 整除思想
规律
当题目中：出现了“每、平均、倍数、整除、约数”等字眼的时候
当题干中：出现了“倍数”、“分数”、“百分数”、“比例”这些数据时
特殊数字整除判定
2 (5） 整除:观察数字的“末位”数字能否被2(5)整除
4(25) 整除:观察数字的“末两位”数能否被4 (25)整除
8 (125)整除:观察数字的“末三位”数能否被8 (125)整除
3 (9) 整除:观察“各位数字之和”能否被3(9)整除
普通数字整除判定
一般采用分解因式的方法进行快速判断
例如:判断一个数字能否被6整除，6=2×3，则只需要判定该数能否被2和3整除;
判定531能否被47整除，可以将531分解为(470+61）进行判断;
1.9 十字交叉
十字交叉法最先是从溶液混合问题衍生而来的
若有两种质量分别为A与B的溶液，其浓度分别为a与b，混合后浓度为r
则由溶质质量不变可列出下式Aa+Bb=(A+B)r，对上式进行变形可得A/B=(r-b)/(a-r)
在解题过程中一般将此式转换成如下:
A a r-b
\ /
\ / A r-b
r ◕‿◕ ―― = ――
/ \ B a-r
/ \
B b a-r
①用来解决两者之间的比例关系问题
②得出的比例关系是基数的比例关系
③总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上
除了典型的溶液混合问题，还能应用在两部分混合增长率问题、平均分数、平均年龄等问题
比值可以是“平均数”“比重”“浓度”“利润率”“折扣”等1.10 方程思想
基本方程
掌握基本的"设元方法"，准确找出题目中的等量关系进行列式，是数学运算中最重要的方法
不定方程
经常会遇到含有1个未知数的方程，也可能遇到含有2个未知数2个方程的方程组，或者3个未知数3个方程的方程组，这些方程或者方程组一般都有确定的解
解不定方程问题常用的解法：综合利用整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、尾数法、余数特性、特殊值法、代入排除法等多种数学知识来得到答案
不等式
在设元求解的过程中，根据题意所得方程可能是等式方程，也可能是"不等式"方程
即所求的值是一个数量区间，而非一个定值
相较于等式方程能求出精确值，不等式方程还需要我们对取值"区间做出判断"
2.核心题型解题方法
2.1 工程问题
基础知识
1.工作 量=工作效率×工作时间
2.工作效率=工作 量÷工作时间
解题思路
1.条件只给出时间的具体值:通过给总量赋值，一般将总量设为时间的公倍数，从而计算出给出条件的效率
2.条件中不仅有时间，而且有关于效率的比例关系，通常给效率赋值，通过公式计算出工作总量
3.题目中有效率、时间、总量三个中的任意两个的具体值，则代入公式计算出第三个即可
2.2 行程问题
基础知识
基本公式:路程=速度×时间
相遇问题:路程和=(大速度＋小速度)×时间
追及问题:路程差=(大速度- 小速度)×时间
顺水行船:路程=(船速＋水速)×时间
逆水行船:路程=(船速-水速)×时间
火车过桥（隧道)︰路程=火车车身长度＋桥长(隧道长度)
=火车速度×过桥速度(过隧道速度)
解题思路
根据题干先判断出题型，尽量能画出简易图，根据各个量之间的关系代入上述对应的公式即可
补充知识
①时间一定，路程和速度成正比
②路程一定，速度和时间成反比
③速度一定，路程和时间成正比
④当行程中某一个量为定值，且出现比例时，可以考虑用比例求解
2.3 经济利润问题
基础知识
1.利润=售价-进价
2.利润率=利润÷进价 利润=进价*利润率
=(售价-进价)÷进价
3.售价=进价×(1+利润率) 变形
解题思路
若题干中未出现具体单位，可以利用赋值法求解
在解题中，可以利用数字特性快速求解
2.4 几何问题
| 平面图形 | ||
| 周长公式 | 面积公式 | |
| 长方形 | （长+宽）*2 | 长*宽 |
| 正方形 | 边长*4 | 边长*边长 |
| 三角形 | 底*高 / 2 | |
| 平行四边形 | 底*高 | |
| 梯形 | （上底+下底）*高 / 2 | |
| 圆形 | ∏ * 直径 = 2∏*半径 | ∏ r^2 |
| 扇形 | （弧长*r）/ 2 | |
| 立体图形 | ||
| 表面积公式 | 体积公式 | |
| 长方体 | （长*宽 + 长*高 + 宽*高）*2 | 长*宽*高 |
| 正方体 | 棱长*棱长*6 | 棱长*棱长*棱长 |
| 圆柱体 | 上底面积+下底面积+侧面积 | 底面积*高 |
| 圆锥体 | 底面积*高/3 | |
| 球 | 4∏ * r^2 | （4∏ * r^3）/3 |
| 角度 | |||
| 30° | 45° | 60° | |
| sin | |||
| cos | |||
| tan | 1 | ||
| 三角形常用知识点 | |
| 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 | |
| 三角形内角和为180° | |
| 勾股定理: a^2+b^2=c^2 常用勾股数(3、4、5; 6、8、10; 5、12、13) |
解题思路
1.规则图形，按照相对应的公式列方程或直接计算
2.不规则图形，通过割、补、平移等方法转化成规则图形，再按照相对应的公式列方程或直接计算
2.5 排列组合及概率问题
基础知识
加法原理:分类用加法
乘法原理:分步用乘法
排列:与顺序有关
组合:与顺序无关
排列公式:
m n!
A = ———————— = n(n-1)(n-2)... (n-m+1)
n (n-m)!
组合公式:
m n-m n! n(n-1)(n-2)...(n-m+1)
C = C = ———————— = ————————————————————————
n n (n-m)!m! m(m-1)(m-2)....2*1
概率公式:
满足要求的情况数
概率 = ———————————————— (不要硬算，上下约分巧算)
总的情况数
特殊方法
当题目中要求某些主体"必须排在一起时"，考虑(捆绑法)
当题目中要求某些主体"不能相邻时"，考虑(插空法)
相同的物品分给多个主体时，要求每个主体至少分N个，就可以考虑(插板法)
先给每个主体少分一个(即 N-1个)，剩下的物品必须给每个主体至少再分1个才能满足要求
此时将剩下的物品插板分堆即可
插板数量=主体个数-1
当题目中要求不能一一对应时，比如:N把钥匙对应N个锁，要求每个锁和一把不能打开它的钥匙放进一个信封，这就是“错位排列”
错位排列用D表示，Dn就表示N个数字的错位排列
D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44
解题思路
当题干中有特殊要求时，按照对应的特殊方法求解
没有特殊要求的，按照基础知识列式求解即可2.6 溶液问题
基本公式
溶质的质量
浓度= ————————————×100%
溶液的质量
溶质的质量
溶液的质量= ————————————
浓度
溶质的质量 = 溶液的质量*质量
溶液混合问题——十字交叉法
1.溶液混合问题，指两种不同浓度、不同质量的溶液混合在一起，形成新的浓度
这是溶液问题中基本题型，常用解法为“十字交叉法”
步骤为:
①写两个部分量的浓度;
②写整体浓度;
③十字交叉作差（大数–小数);
④写差值最简比;
⑤最简比对应两部分溶液的质量之比;
2.十字相乘法使用时要注意几点:
①用来解决两者之间的比例关系问题
②得出的比例关系是基数的比例关系
③总均值放中央，对角线，大数减小数，结果放对角线上
实际量 部分比值 总体比值 交叉做差（最简比）
A a r-b
\ /
\ / A r-b
r ◕‿◕ ―― = ――
/ \ B a-r
/ \
B b a-r
注：a>r>b
1.三组计算关系:
第二列和第三列交叉作差得到第四列(大数减小数)
第一列和第四列的比值相等
第二列的差等于第四列的和
⒉.最简比(实际量之比)为比值的分母之比2.7 和定最值问题
基础知识
如何来判断一个题目是否属于和定最值问题，我们需要按以下两个条件去排除:
1.几个数的和一定
2.问题是求其中某个量的最大值或者最小值
题型特点
题干或问法中出现“最大或最小、最多或最少、至多或至少。”等，我们首先要考虑是和定值问题
和定最值:多个数的和一定，求其中某个量的最大或最小值的问题
解题原则
1.求某个量的最大值，让其余量尽可能小，从最小开始分析
2.求某个量的最小值，让其余量尽可能大，从最大开始分析2.8 容斥问题
两者容斥 如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加 发现即是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去 【记忆口诀】总数=两集合之和+两集合之外数-两集合公共数三者容斥 三集合 标准型公式:A+B+C - A∩B-A∩C-BnC + AnB∩C =总数–都不满足 三集合非标准型公式:A+B+C-满足两项-2*满足三项 =总数–都不满足 解题步骤分三步走: ①画文氏图; ②弄清楚图形中没一部分所代表的含义; ③代入公式(A+B+C-A∩ B-A ∩C-B∩C+A∩BnC)进行求解;
容斥极值
公式:(A∩B)min=A+B-I
推广:(A∩B∩C)min=A+B+C-2I
2.9 计算问题
等差数列
1.基础知识
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数
例如:1，3，5,7，9.....
数列的第一项叫做首项a1表示，数列的最后一项叫做末项用an表示
相邻两项的差值叫做共差d表示
前n项和用Sn表示
2.基本公式
通项公式：an = a1+(n+1)d = am + (n-m)d
求和公式：
(a1+an )*n n(n-1)d
Sn = —————————— = =na1 + ——————————
2 2
Sn =中间项*n (n为基数)
=中间两项和/2 *n (n为偶数)
周期循环
解题关键:寻找最小循环周期
(1）找周期:找准周期的起点和终点，确定总数
(2) 算余数:总数÷每个周期的个数=周期数量......余数(n)
(3）做等价:余数n就等价于该周期的第n项(余几数几)
整除
1.核心
通过题干中所给的信息，判断结果应具备的整除特性，从而排除错误选项
2.应用环境
题干文字描述中出现“整除、每、平均、倍数"等字眼时
能用利用整除解题题干中出现分数、百分数、比例等数据时能够利用整除解题
