一颗B+树可以存储多少数据？

一、前言

这个问题，非常经典，考察的点很多：

比如：

1、操作系统存储的单元，毕竟mysql也是运行在操作系统之上的应用。

2、B+树是针对Mysql的InnoDB存储引擎，所以要理解InnoDb的最小存储单元，页，区，段的概念，尤其是页的格式，里面有哪些构成。

2、明确这颗B+树一定是由主键索引构建的B+树，所以最终的数据是存储在叶子结点，非叶子节点，只存储主键索引，所以主键索引的大小决定了最终能存放多少数据。

答案：

主键为bigint（约2000w）：

2层B+树的话：可以存放1170个*16条=18720条（行）数据。
3层B+树的话：可以存放1170个*1170个*16条=21902400条（行）数据。

主键为int（约4000w）：

2层B+树的话：可以存放1600个*16条=25600条（行）数据。
3层B+树的话：可以存放1600个*1600个*16条=40960000条（行）数据。

在使用主流磁盘存储的条件一下，查询一条数据的时间在50ms内

二、磁盘存储和InnoDB的存储

我们都知道计算机在存储数据的时候，有最小存储单元，这就好比我们今天进行现金的流通最小单位是一毛。在计算机中磁盘存储数据最小单元是扇区，一个扇区的大小是512字节，而文件系统（例如XFS/EXT4）他的最小单元是块，一个块的大小是4k，

下面几张图可以帮你理解最小存储单元：

文件系统中一个文件大小只有1个字节，但不得不占磁盘上4KB的空间。

而对于我们的InnoDB存储引擎也有自己的最小储存单元——页（Page），一个页的大小是16K，如下图所示：

并且innodb所有的数据文件也就是我们之前提到的后缀为.ibd的文件，它们的大小都是16k的整数倍。

由于数据库的索引是保存到磁盘上的，因此当我们通过索引查找某行数据的时候，就需要先从磁盘读取索引到内存，再通过索引从磁盘中找到某行数据，然后读入到内存，也就是说查询过程中会发生多次磁盘 I/O，而磁盘 I/O 次数越多，所消耗的时间也就越大。

所以，我们希望索引的数据结构能在尽可能少的磁盘的 I/O 操作中完成查询工作，因为磁盘 I/O 操作越少，所消耗的时间也就越小。

另外，MySQL 是支持范围查找的，所以索引的数据结构不仅要能高效地查询某一个记录，而且也要能高效地执行范围查找。

所以，要设计一个适合 MySQL 索引的数据结构，至少满足以下要求：

能在尽可能少的磁盘的 I/O 操作中完成查询工作；
要能高效地查询某一个记录，也要能高效地执行范围查找；

记录是按照行来存储的，但是数据库的读取并不以「行」为单位，否则一次读取（也就是一次 I/O 操作）只能处理一行数据，效率会非常低。

因此，InnoDB 的数据是按「数据页」为单位来读写的，也就是说，当需要读一条记录的时候，并不是将这个记录本身从磁盘读出来，而是以页为单位，将其整体读入内存。

三、Innodb数据页格式

数据库的 I/O 操作的最小单位是页，InnoDB 数据页的默认大小是 16KB，意味着数据库每次读写都是以 16KB 为单位的，一次最少从磁盘中读取 16K 的内容到内存中，一次最少把内存中的 16K 内容刷新到磁盘中。

数据页包括七个部分，结构如下图：

这 7 个部分的作用如下图：

在 File Header 中有两个指针，分别指向上一个数据页和下一个数据页，连接起来的页相当于一个双向的链表，如下图所示：

采用链表的结构是让数据页之间不需要是物理上的连续的，而是逻辑上的连续。

数据页的主要作用是存储记录，也就是数据库的数据，所以重点说一下数据页中的 User Records 是怎么组织数据的。

数据页中的记录按照「主键」顺序组成单向链表，单向链表的特点就是插入、删除非常方便，但是检索效率不高，最差的情况下需要遍历链表上的所有节点才能完成检索。

因此，数据页中有一个页目录，起到记录的索引作用，就像我们书那样，针对书中内容的每个章节设立了一个目录，想看某个章节的时候，可以查看目录，快速找到对应的章节的页数，而数据页中的页目录就是为了能快速找到记录。

那 InnoDB 是如何给记录创建页目录的呢？页目录与记录的关系如下图：

页目录创建的过程如下：

将所有的记录划分成几个组，这些记录包括最小记录和最大记录，但不包括标记为“已删除”的记录；
每个记录组的最后一条记录就是组内最大的那条记录，并且最后一条记录的头信息中会存储该组一共有多少条记录，作为 n_owned 字段（上图中粉红色字段）
页目录用来存储每组最后一条记录的地址偏移量，这些地址偏移量会按照先后顺序存储起来，每组的地址偏移量也被称之为槽（slot），每个槽相当于指针指向了不同组的最后一个记录。

从图可以看到，页目录就是由多个槽组成的，槽相当于分组记录的索引。然后，因为记录是按照「主键值」从小到大排序的，所以我们通过槽查找记录时，可以使用二分法快速定位要查询的记录在哪个槽（哪个记录分组），定位到槽后，再遍历槽内的所有记录，找到对应的记录，无需从最小记录开始遍历整个页中的记录链表。

以上面那张图举个例子，5 个槽的编号分别为 0，1，2，3，4，我想查找主键为 11 的用户记录：

先二分得出槽中间位是 (0+4)/2=2 ，2号槽里最大的记录为 8。因为 11 > 8，所以需要从 2 号槽后继续搜索记录；
再使用二分搜索出 2 号和 4 槽的中间位是 (2+4)/2= 3，3 号槽里最大的记录为 12。因为 11 < 12，所以主键为 11 的记录在 3 号槽里；
这里有个问题，「槽对应的值都是这个组的主键最大的记录，如何找到组里最小的记录」？比如槽 3 对应最大主键是 12 的记录，那如何找到最小记录 9。解决办法是：通过槽 3 找到槽 2 对应的记录，也就是主键为 8 的记录。主键为 8 的记录的下一条记录就是槽 3 当中主键最小的 9 记录，然后开始向下搜索 2 次，定位到主键为 11 的记录，取出该条记录的信息即为我们想要查找的内容。

看到第三步的时候，可能有的同学会疑问，如果某个槽内的记录很多，然后因为记录都是单向链表串起来的，那这样在槽内查找某个记录的时间复杂度不就是 O(n) 了吗？

这点不用担心，InnoDB 对每个分组中的记录条数都是有规定的，槽内的记录就只有几条：

第一个分组中的记录只能有 1 条记录；
最后一个分组中的记录条数范围只能在 1-8 条之间；
剩下的分组中记录条数范围只能在 4-8 条之间。

四、B+ 树是如何进行查询的？

上面我们都是在说一个数据页中的记录检索，因为一个数据页中的记录是有限的，且主键值是有序的，所以通过对所有记录进行分组，然后将组号（槽号）存储到页目录，使其起到索引作用，通过二分查找的方法快速检索到记录在哪个分组，来降低检索的时间复杂度。

但是，当我们需要存储大量的记录时，就需要多个数据页，这时我们就需要考虑如何建立合适的索引，才能方便定位记录所在的页。

为了解决这个问题，InnoDB 采用了 B+ 树作为索引。磁盘的 I/O 操作次数对索引的使用效率至关重要，因此在构造索引的时候，我们更倾向于采用“矮胖”的 B+ 树数据结构，这样所需要进行的磁盘 I/O 次数更少，而且 B+ 树更适合进行关键字的范围查询。

InnoDB 里的 B+ 树中的每个节点都是一个数据页，结构示意图如下：

通过上图，我们看出 B+ 树的特点：

只有叶子节点（最底层的节点）才存放了数据，非叶子节点（其他上层节）仅用来存放目录项作为索引。
非叶子节点分为不同层次，通过分层来降低每一层的搜索量；
所有节点按照索引键大小排序，构成一个双向链表，便于范围查询；

我们再看看 B+ 树如何实现快速查找主键为 6 的记录，以上图为例子：

从根节点开始，通过二分法快速定位到符合页内范围包含查询值的页，因为查询的主键值为 6，在[1, 7)范围之间，所以到页 30 中查找更详细的目录项；
在非叶子节点（页30）中，继续通过二分法快速定位到符合页内范围包含查询值的页，主键值大于 5，所以就到叶子节点（页16）查找记录；
接着，在叶子节点（页16）中，通过槽查找记录时，使用二分法快速定位要查询的记录在哪个槽（哪个记录分组），定位到槽后，再遍历槽内的所有记录，找到主键为 6 的记录。

可以看到，在定位记录所在哪一个页时，也是通过二分法快速定位到包含该记录的页。定位到该页后，又会在该页内进行二分法快速定位记录所在的分组（槽号），最后在分组内进行遍历查找。

总结

InnoDB 的数据是按「数据页」为单位来读写的，默认数据页大小为 16 KB。每个数据页之间通过双向链表的形式组织起来，物理上不连续，但是逻辑上连续。

数据页内包含用户记录，每个记录之间用单向链表的方式组织起来，为了加快在数据页内高效查询记录，设计了一个页目录，页目录存储各个槽（分组），且主键值是有序的，于是可以通过二分查找法的方式进行检索从而提高效率。

为了高效查询记录所在的数据页，InnoDB 采用 b+ 树作为索引，每个节点都是一个数据页。

如果叶子节点存储的是实际数据的就是聚簇索引，一个表只能有一个聚簇索引；如果叶子节点存储的不是实际数据，而是主键值则就是二级索引，一个表中可以有多个二级索引。

在使用二级索引进行查找数据时，如果查询的数据能在二级索引找到，那么就是「索引覆盖」操作，如果查询的数据不在二级索引里，就需要先在二级索引找到主键值，需要去聚簇索引中获得数据行，这个过程就叫作「回表」。

同理三层高的B+树

叶子节点的一条记录按照1k算

1170*1170*16 约等于两千万

根结点常驻内存，根据磁盘每次读取数据花费的时间可以分为寻道时间、旋转延迟、传输时间三个部分，寻道时间指的是磁臂移动到指定磁道所需要的时间，主流磁盘一般在5ms以下；旋转延迟就是我们经常听说的磁盘转速，比如一个磁盘7200转，表示每分钟能转7200次，也就是说1秒钟能转120次，旋转延迟就是1/120/2 = 4.17ms；传输时间指的是从磁盘读出或将数据写入磁盘的时间，一般在零点几毫秒，相对于前两个时间可以忽略不计。

那么访问一次磁盘的时间，即一次磁盘IO的时间约等于5+4.17 = 9ms左右。

那么在有索引的条件下，查询一个数据大约需要两次IO,在两千万数据的量级下，时间可以控制在20ms左右。