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1 基本知识点

1、数组可以看作是下标和值的偶对的集合(具有相同类型的数据元素)

注意：数组是同类型值的集合？**错误**

2、数组的存储方式：以行为主序(一行存储完成之后继续存储下一行)、以列为主序(一列存储完成之后继续存储下一列)
3、对矩阵压缩存储是为了减少存储空间
4、稀疏矩阵的三元组存储方法：

矩阵的非零元素个数和位置在操作过程中变化不大时较为有效

5、从逻辑结构上看，n维数组的每个元素均属于n个向量

二维数组：不但参与了行向量还参与了列向量

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2 以行序为主序的数组计算元素的存储位置

1 因为第一维度i是从c1到d1,那么第一维度大小为：d1-c1+1
2 因为第二维度j是从c2到d2,那么第二维度大小为：d2-c2+1
3 数组的第一个元素为A[c1][c2],数组的首地址为Loc(c1,c2)

任何一个元素aij的内存地址 = 数组首地址+在aij前面存储的元素的个数(乘以)每个数组元素占用的存储单元L

1 aij之前的行数：i-c1
2 总的列数(每一行元素的个数)：d2-c2+1
3 在aij这一行的第j列之前的元素个数：j-c2
4 注意：i在c1到d1之间、j在c2到d2之间
5 如果数组的下标是从1开始,那么c1 = c2 = 1
6 如果数组的下标是从0开始,那么c1 = c2 = 0
7 假设n为每一行的元素个数(总的列数)

可得：

下标从1开始存储：Loc(aij) = Loc(a11) + ((i-1)*n+j-1)*L
下标从0开始存储：Loc(aij) = Loc(a00) + (i*n+j)*L

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3 矩阵的压缩存储

1、二维数组(矩阵),行和列相等时候为方阵
2、压缩存储：对于多个值相同的元素分配一个存储空间,对于零元素不分配空间

3.1 特殊矩阵

3.1.1 对称矩阵

满足：Aij = Aji(i和j处于0到(n-1)之间)
使用压缩存储的方式可以：

1	将n平方个元素压缩到n*(n+1)/2个空间中
2 以行序为主将该矩阵的下三角(包括对角线)中的元素存储到一个向量B[n*(n+1)/2]中

解释：n*(n+1)/2怎么得来的呢？

因为只需要存储下三角的元素,那么第一行需要存储1个、第二行需要存储2个…第n行需要存储n个,最后求和可得n*(n+1)/2个存储空间

将一个二维的矩阵压缩存储到一维的数组中,其中一维数组的大小为n*(n+1)/2

因为总共有n*(n+1)/2个空间,所以说下标为0到n*(n+1)/2 - 1

一维数组和二维矩阵的对应关系：

1、i和j从0开始：

如何推导出下三角的对应公式呢？

1 因为二维矩阵的下标是从0开始的
2 当获取aij的时候,比如说a21,那么a21正处于第三行第二列
3 所以说aij处于第i+1行
4 从第一行到第i行求和可得：1+2+...+i = i*(i+1)/2个元素
5 最后还要加上aij所在这一行的前面的元素个数,刚好等于j个元素
6 所以说下三角对应一维数组的下标为: k = i*(i+1)/2+j(i和j是从0开始)+0(不要忘了数组的起始下标)

2、i和j从1开始：

如何推导出下三角的对应公式呢？

1 因为二维矩阵的下标是从1开始的
2 当获取aij的时候,比如说a21,那么a21正处于第二行第一列
3 所以说aij处于第i行
4 从第一行到第i-1行求和可得：1+2+...+i-1 = i*(i-1)/2个元素
5 最后还要加上aij所在这一行的前面的元素个数,刚好等于j-1个元素
6 所以说下三角对应一维数组的下标为: k = i*(i-1)/2+j-1(i和j是从1开始)+1(不要忘了数组的起始下标)

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3.1.2 三角矩阵

那么二维矩阵和一维数组之间的对应关系是：
例如：下三角矩阵
1、i和j从0开始：

1 其中下三角部分和对称矩阵一样(i和j从0开始)
2 需要多添加一个存储空间(因为上三角部分都为0或者一个常数)
3 本来元素总数是n*(n+1)/2个,对应的一维数组的下标为0到n*(n+1)/2 - 1
4 需要再添加一个空间就是在：n*(n+1)/2这个位置上存储那个常数或者0

2、i和j从1开始：

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3.1.3 对角(带状)矩阵

1、下标从1开始：
将带状矩阵压缩存储到一维数组中

已知Aij如何计算在一维数组中的对应的下标值

注意：在3(i-1)的基础上，再加上起始下标1，就可得到对角线Aij在一维数组中的对应的下标值

那么用i和j来表示k：

k1 = 3(i-1) = 2(i-1)+i-1      i = j+1
k2 = 3(i-1)+1 = 2(i-1)+i-1+1 = 2(i-1)+i   i = j
k3 = 3(i-1)+2 = 2(i-1)+i-1+2 = 2(i-1)+i+1   i = j-1
可得：**k = 2(i-1)+j**

如果用k来表示i和j呢？

floor代表向下取整
floor(x)返回的是**小于或等于x**的最大整数
1 i = floor(k/3) + 1
2 i和j具有对应关系
3 j = floor(k/3) + (k mod 3) （mod是求模运算）

三对角矩阵共有3n-2个元素

1 当n等于5的时候(5x5的三对角矩阵)
2 除了第一行和最后一行只有2个非零元素以外,其余各行都有3个非零元素
3 那么所需要的一维数组的大小为：2+2+3(n-2) = 3n-2
4 n = 5代入可得：为13个空间大小
5 压缩存储刚好需要13个空间大小

2、下标从0开始：

那么用i和j来表示k：

k1 = 3i-1 = 2i+i-1 = 2i+j      i = j+1
k2 = 3i = 2i+i = 2i+j          i = j
k3 = 3i+1 = 2i+i+1 = 2i+j   i = j-1
可得：**k = 2i+j**

如果用k来表示i和j呢？

floor代表向下取整
floor(x)返回的是**小于或等于x**的最大整数
1 i = floor(（k+1）/3) 
2 i和j具有对应关系

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3.2 稀疏矩阵

非零元素特别少并且分布无规律

存储结构：

1、顺序存储结构：三元组表(行号、列号、值)
2、链式存储结构：十字链表

稀疏因子：用矩阵中非零元素个数t除以矩阵的大小(mxn)<=0.05

3.2.1 基于三元组的矩阵转置

int m;//矩阵的行数
int n;//矩阵的列数
int len;//矩阵的非零元素的个数

//A为转置之前的矩阵
//B为转置以后的矩阵
B.m = A.n;
B.n = A.m;
B.len = A.len;

if(A.len)
{
	q = 1;
	//用q来作为B中元素的下标
	//从1开始不断加加
	for(j=1;j<=A.n;j++)
	{
		for(p=1;p<=A.len;p++)
		{
			if(A.data[p].col == j)
			//A中保存的元素的列数和j相等
			{
				B.data[q].row = A.data[p].col;
				B.data[q].col = A.data[p].row;
				B.data[q].e = A.data[p].e;
				q++;
			}
		}
	}
	return B;
}

3.2.2 矩阵的快速转置

两个数组的大小都和A.n大小相同

3.2.3 十字链表(链式存储形式)

非零元素在行和列的方向上都构成了单链表

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4 典型题目解析

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5 算法题目

1、矩阵中元素的查找

解释：
(行数相同的元素：从前到后递增)
(列数相同的元素：从上到下递增)
1 在第一行最后一个元素开始与待查找元素比较
2 如果比待查找元素小,移动到下一行的最后一个元素
3 在最后一行的最后一个元素的位置发现比待查找元素大
4 然后向前走
5 走到等于待查找元素

i = 0;
j = n-1;
flag = 0;

while(i<=(m-1)&&j>=0&&!flag)
{
	if(A[i][j] == x)//等于
		flag = 1;//找到
	else if(A[i][j]>x)//大于
		j--;//向左变小
	else//小于
		i++;//向下变大
}
if(flag)
	//查找成功
else	
	//查找失败

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6 易错题目

**易错：需要加上数组的起始下标1**