876. 快速幂求逆元

题目描述

给定 n 组 $a_i,p_i$，其中 $p_i$ 是质数，求 $a_i$ 模 $p_i$ 的乘法逆元，若逆元不存在则输出 impossible。
注意：请返回在 0∼p−1 之间的逆元。
乘法逆元的定义

若整数 b，m 互质，并且对于任意的整数 a，如果满足 b|a，则存在一个整数 x，使得 $a/b\equiv a\times x(modm)$，则称 x 为 b 的模 m 乘法逆元，记为 $b^{-1}(modm)$。b 存在乘法逆元的充要条件是 b 与模数 m 互质。当模数 m 为质数时，$b^{m-2}$ 即为 b 的乘法逆元。

输入格式：

第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含一个数组 $a_i,p_i$，数据保证 $p_i$ 是质数。

输出格式：

输出共 $n$ 行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。
若 $a_i$ 模 $p_i$ 的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出 impossible。

数据范围

• $1\le n\le 10^5$
• $1\le a_i,p_i\le 2\times 10^9$

输入样例

3
4 3
8 5
6 3

输出样例

1
2
impossible

方法：快速幂

解题思路

代码

#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;

int n;

LL qmi(int a, int k, int p) {
    LL res = 1;
    while(k) {
        if(k & 1)   res = (LL)res * a % p;
        k >>= 1;
        a = (LL)a * a % p; 
    }
    return res;
}

int main() {
    cin >> n;
    while(n--) {
        int a, p;
        cin >> a >> p;
        if(a % p == 0)  puts("impossible");
        else    cout << qmi(a, p - 2, p) << endl;
    }
    return 0;
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n\times log(p-2))$
• 空间复杂度：$O(1)$