一、无向图割点、桥、双连通分量

给定无向连通图 G = (V, E)
对于一个点 x，若从图中删除 x 及所有与 x 相连的边，图不再连通，x 是 G 的割点
对于一条边 e，从图中删去 e，图不再连通， e 是 G 的割边
一个图如果不存在割点，则它是一个点双连通图，一个图的极大点双连通子图是它的点双连通分量。
一个图如果不存在割边，则它是一个边双连通图，一个图的极大边双连通子图是它的边双连通分量。

先借用OI Wiki (传送门)的图解释几种边：

Tarjan 算法求割点和桥（割边）

时间戳 dfn：第几个搜到这个点
返祖边：搜索树上一个点连向它另一条支链上的点的边
（横插边：在搜索树上一个点连向它另一条支链上的点的边——在无向图中不存在【因为下一条支链在dfs序中会直接接在当前这条支链后面成为“子树”】
追溯值 low：当前点及其子树通过一条返祖边能连到的最小 dfn 值
如果 <u, v> 是搜索树的边：low[u] = min(low[u], low[v])
如果 <u, v> 是返祖边：low[u] = min(low[u], dfn(v))

下面来看一个连通图，寻找割点和割边（桥）所满足的规律。右图为左图的一个dfs搜索树，水蓝色标记每个点的dfn（时间戳），梅红色标记每个点的 low 值。

low 值宜从叶节点开始标记，因为其值作为子节点可以向上更新父节点的 low 值，比如序号为4的点有一条连向1号节点的返祖边，其 low 值为1，7号结点 low 值等于其 dfn = 9，10号结点 low 值也为8，而对于8号结点，它的子树中4号结点 low 值为1，根据 “ 如果 <u, v> 是搜索树的边：low[u] = min(low[u], low[v]) ” ，其 low 值为1 ，再依次向上更新。

例如：10号点为割点，若将其去掉，其下的7号结点无法与上面的连通。

规律：【割点有两类】：

子树里不存在跨越它连向它上方的点的边
有多个儿子的根

(u, v)割边（u 为父亲，v 为儿子）：以 v 为根的子树中不存在连向 u 以及 u 上方的边。

用low和dfn的关系表示即

u点是割点， v 是 u 搜索树上的一个儿子：① dfn[u] <= low[v] —— v的子树中没有返祖边能跨越 u 点；② 有多个儿子的根节点
边是桥，搜索树上 v 是 u 的一个儿子：dfn[u] < low[v] —— v 的子树中没有返祖边能跨越<u,v> 这条边

注意割点的式子有等号，判割边的没有等号（如果有一条返祖边将 v 与 u 相连，则dfn[u] = low[v] ，这时原本v和u相连的边删掉也能连通，故u-v不是割边）

“割点”代码

注意第32行为 dfn[y]，与第25行的 low[y] 不一样。在求“割边”里写成 low[y] 虽然也不会错，但在求割点里就是错的，可能有些题目数据不够强这里写错了也能过，但一旦错了就很难找到，所以极度建议割点割边代码此处按照定义写成一致，能大大减少出错率。

关于为什么写low[y]为错的说明：

如下图，因为搜索的顺序不确定（取决于建图时的顺序）若3号点的low值通过一条返祖边更新为1后，再来更新5号结点时，若是 low[x] = min(low[x],low[y])，low[5]=low[3]=1，然后4号点就会继承5号点的 low 值也为1，这样dfn[3]>=low[4]，就会误判点3不是割点，而事实上3号点是割点。这里相当于是将1--3这条返祖边与3--5这条返祖边连起来当成了1--5的返祖边，而我们的low值定义是当前点及其子树通过一条返祖边能连到的最小dfn 值。5到3，3再到1，而3恰是我们的割点，而求割边的时候就不会出现这种情况，跨越了一条边就是跨越了一条边，不会存在要两条边连在一起才跨越一条边。

边双和点双连通分量

把桥删了每个连通块都是一个边双连通分量——标记处桥之后dfs一遍即可
点双连通分量要复杂一些——一个割点可能属于多个双连通分量

dfs时（这里假设在8号结点先搜向9的那条支链）……9入栈，6入栈，10入栈，再向上返回（系统dfs递归调用的返回，系统栈的10，6，9弹出，自己维护的栈没有弹出）当返回到结点8时，dfn[8] <= low[y]，判断8为割点，此时弹出自己维护的栈里8以上的所有结点（10，6，9）与8组成一个点双连通分量；8再到7号结点，发现7号结点没有儿子结点了，再返回，又成立dfn[8]<=low[7]，8为割点，于是弹出7号点与8组成第二个点双连通分量；8再到4，发现low[4]=1，low[4] < dfn[8]，8不是其中的割点……到最后回到根节点1，因为所有的结点的low值总不会比根节点的dfn还要小，即只有一个子节点的根节点总是割点，所以靠1号根节点将剩余的所有点弹出，组成最后一个点双连通分量。（~~无所谓，根节点会出手~~）

边双连通分量和点双连通分量的缩点

每个边双连通分量缩成一个点，再用原来的桥把它们连起来
点双连通分量因为一个割点可能包含在多个点双连通分量里面，所以我们将每个割点保留割点与其所在的点双连通分量连边即可。

如上图的点双连通分量可改为：

二、有向图强连通分量

1.有向图的弱连通与强连通

2.强连通分量

如上图的黄色点构成一个强连通分量。

Kosaraju算法

对左图，从1开始搜：1进栈，5进栈，8进栈，4进栈，3进栈，3不能往下搜了，3出栈，回到4，4也没有向下搜的点，4出栈，回到8，6进栈，6出栈，8出栈，5出栈，1出栈；

然后再找图中一个没有访问过的点继续上述操作，从2开始，2入栈，2出栈；

再从7开始，7入栈，9入栈，9出栈，7出栈。

得到出栈顺序：3，4，6，8，5，1，2，9，7

再以这个出栈时间的逆序对反图（即原来A->B变为B->A）进行dfs：从7开始，7无法到达其它点，7独自为一个强连通分量；再看9，因为9原本能去到的7已经被删了，9也单独是一个强连通分量；2号点为一个强连通分量；1号点为一个强连通分量（原本可以通向的2号点已经成为一个单独的强连通分量了）；又5->3->4->8，3->6，所以5，3，4，6，8为一个强连通分量

原理：在一个 dfs 搜索树里面，越先出栈说明越多的点可以到达这个点，即在它后面的点都能到达它，如【3，4，6，8，5，1】3后面的点都能到达3，4后面的点都能到达4，依此类推。若顺序为A, B, C, 则实际图中关系为 A<--B<--C，那么倒叙，反图能到（C-->B）也即原图有反向边能到（C<--B）【意会~意会~】