斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）

一、循环法：

// n 太大会溢出，可以使用数据位更宽的数据类型
int fib(int n){
	if(n==1||n==2)  return 1;
	int f1=1;  
	int f2=1;  
	int res=0;  //存放结果 
	for(int i=3;i<=n;++i){
		res=f1+f2;
		f2=f1;
		f1=res;
	}
	return res;	
}

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

二、递归法：

根据递推公式：F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)可直接得出

int fib(int n){
    if(n<2)  return n;
	return   fib(n-1)+fib(n-2); 
}

时间复杂度：因为成二叉树形式 ，所以时间复杂度为O(2^n)
空间复杂度：树约有n-1层,所以空间复杂度为O(n)

三、动态规划法：

1. 确定 dp数组以及下标的含义：dp[i] 的定义为：第 i 个数的斐波那契数值是 dp[i]
2. 确定递推公式：题⽬已经把递推公式直接给我们了：状态转移⽅程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
3. 初始化dp数组： dp[0] = 0， dp[1] = 1
4. 确定遍历顺序： dp[i] 是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2] ，所以遍历的顺序是从前到后遍历

int fib(int n){
    if(n<2)  return n;
	int dp[n+1];
	dp[0]=0;
	dp[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;++i){
		dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
	}
	return dp[n]; 
}

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)
根据斐波那契数列的性质，我们可以用 滚动数组来优化一下空间复杂度

int fib(int n){
    if(n<2)  return n;
	int dp[2]={0,1};
	int result=0;
	for(int i=2;i<=n;++i){
		result=dp[0]+dp[1];
		dp[0]=dp[1];
		dp[1]=result;
	}
	return dp[1]; 
}

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

方法四：快速矩阵幂

定义一个矩阵:

可以找到一个矩阵M（这里可以理解为从一个状态转移到另一个状态），使得：

设:

所以

由矩阵乘法可以得到：

af(n)+bf(n-1)=f(n+1)
cf(n)+df(n-1)=f(n)
最终求得:

由递推公式最终得到：

因此只要我们能快速计算矩阵 M 的 k 次幂，就可以得到 F(n)的值。
此处需要用到快速幂的算法，不明白的可以看一下快速幂算法_Sakeyuan的博客-CSDN博客:

//矩阵相乘 
vector<vector<int>> array_multiply(vector<vector<int>>& a, vector<vector<int>>& b){  
    vector<vector<int>> c{ {0, 0}, {0, 0} };
    for (int i = 0; i < 2; i++) {
        for (int j = 0; j < 2; j++) {
            c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j];
        }
    }
    return c;
}
vector<vector<int>> array_pow(vector<vector<int>>& a, int n) {   //矩阵快速幂 
    vector<vector<int>> ret{ {1, 0}, {0, 1} };     //单位矩阵 ，储存结果 
    while (n > 0) {
        if (n & 1) {
            ret = array_multiply(ret, a);
        }
        n >>= 1;
        a = array_multiply(a, a);
    }
    return ret;
}
 
int fib(int n) {
    if (n < 2) {
        return n;
    }
    vector<vector<int>> m{ {1, 1}, {1, 0} };
    vector<vector<int>> result = array_pow(m, n);
    return result[0][1];       // 由递推公式可以看出f(n)为 result[0][1]位置 
} 

时间复杂度：O(logn)
空间复杂度：O(1)

五、通项公式：

根据递推公式 F(n)=F(n - 1)+F(n - 2) 可以得出特征方程：

求得:

通解为：

带入f(0)=0,f(1)=1,解得：

最终得到通项公式：

int fib(int n) {
    double sqrt_5 = sqrt(5);
    double fib_n = pow((1 + sqrt_5) / 2, n) - pow((1 - sqrt_5) / 2, n);
    return round(fib_n / sqrt_5);  /*round()函数四舍五入*/
}